初中数学2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末-解答题压轴题专练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北师大版数学七年级下学期期末解答题压轴题专练1．（1）如图1，的三条边相等，三个内角也相等，点D、E、F分别在边上，且．请写出图中一对全等三角形，其全等的理由是；（2）如图2，中，，点D、E、F分别在边上，且，请判断的形状，并说明理由；（3）如图3，中，，点D在的延长线上，点E在边上，且．延长至点M，使得，过点M作的平行线，与边交于点F．若，请你求出线段的长度．2．【背景材料】在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究．【初步探究】（1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明；【深入探究】（2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由；【拓展应用】（3）创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点D的某条直线对称，与交于点F，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形．3．【初识图形】数学爱好者小明观察图形，并选取图形的一部分如图进行研究，发现，，他在的内部作一条射线，过点作于点，过点作于点，小明猜想．请问猜想是否正确，并说明理由；【迁移应用】如图，是等腰直角三角形，，，，求的面积；【拓展延伸】如图，在四边形中，，，，过点作于点，，，以线段为直角边构造等腰，请直接写出三角形的面积．4．在学习《三角形》时，某数学学习小组发现：在一个面积为100的长方形中，点E，F分别在边上，连接．当点F与点C重合时，如图所示，在不求出长方形边长的情况下，可以根据面积公式或三角形全等的性质求出的面积为定值．【提出问题】如图，点E，F都不与端点重合，若的面积是否为定值?【特例分析】（1）给和分别赋予不同的数值，通过特殊数值的计算判断的面积是否发生变化．请你根据上述思路，完成下面的表格．105102041【得出猜想】（2）通过特例分析，猜想：的面积定值．（填“是”或“不是”）【验证猜想】（3）①方法1：假设．，通过计算验证你的猜想．②方法2：如图，过点E作，交于点G，将长方形分成了长方形和长方形，连接．通过图形割补的方式也可以验证猜想，请将下列部分验证过程补充完整(填数值)．解：∵等底等高，．，．．【拓展应用】（4）在学校游园活动中，数学小组成员计划用三个雪糕简和彩绳在一个长12米，宽10米的长方形场地中，围出一块三角形区域作为游戏场地．如图，在长方形场地中，三个雪糕筒分别摆放在点B、E、F处，且的长为整数．若围出的游戏场地面积为52平方米，即请直接写出所有满足条件的长．5．在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．

(1)【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理①∵，平分，∴，；②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为．

(2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明．已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：．方法一：如图2，延长到点E，使，连接．方法二：如图3，过点D分别作的垂线，垂足分别为E，F．(3)【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值．6．【初步探究】（1）如图1，在中，点分别在边上，．这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你写出这组等角（不添加其他辅助线），并说明理由；【深入研究】（2）如图1，在上题的条件下，若，请你再添加一个条件，使．先写出这个条件，再加以证明．【变式探究】（3）如图2，等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时，①求的度数；②若，的面积为，点为边上（不与重合）的任意一点，连接、，直接写出的最小值（用含的代数式表示）．7．综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：（1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题：【观察发现】①如图11−1，当时，线段，的数量关系为，°；【类比探究】②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）．8．在学习《生活中的轴对称》时，我们探究了两个重要结论：结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，当，时，则有：．结论2：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．如图，当平分，，时，则有：．请利用上述结论，解决下列问题：如图1，在中，，，是的平分线，，垂足为点E，点P为线段上一动点．(1)若，则________；(2)①若点P为线段的垂直平分线与的交点，求的度数；②如图2，连接，若点P为的平分线与的交点，则________；(3)若为等腰三角形，则________．9．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求

的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”

【初步感知】（1）如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______(请直接写出答案)【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，

教学楼高度，求的长．【拓展探究】(3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究：和的数量关系和位置关系并说明理由．10．【初步感知】(1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；

【类比探究】(2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：

①与的位置关系为：；②线段、、之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．

11．“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法．如图1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．

(1)在题干的基础上，①如图2，点为上一点，作，，设，，求证：；②如图3，当点在延长线上时，猜想、之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想；(2)如图4，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值．12．已知：如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线、分别相交于点．

(1)如图1，当直线l与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；(2)当直线l与直线不垂直，且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系；(3)如图2，当直线与直线相交于点F时，延长，，分别交，于点E，D，直线与直线所夹的锐角为多少度时，线段之间仍满足（1）间中的数量关系？请说明理由．13．（1）如图1，在中，D是边上一点，且，若，则______．（2）如图2，在中，D是边上一点，，点E在线段上且，求证：．（3）如图3，在中，D是延长线上一点，，点E在射线上且，请画出E点的位置，此时和满足怎样的数量关系，请说明理由

14．【问题背景】中，，，点D为直线上一点．【初步探究】(1)如图，当点D在线段上时，连接，过点A作于点A，且，过点E作于H点，交于F点．求证：．请将证明过程补充完整：

证明：，，即．，，（________________________），______（________________________）．为等腰直角三角形，，，在中，，．在与中，，（________________________）．【推广探究】(2)如图，若点D为边BC延长线上一点，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【拓展应用】(3)若，，其它条件不变时，______．15．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；，，∵，，，，，，∵，__________；②，，则__________；【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．16．在中，．

(1)【特例感知】如图1，如果平分交于点D，，垂足E在的延长线上，则线段和有怎样的数量关系？请说明理由；(2)【问题探究】如图2，点D是边上一点，连接，过点A作于点E，过点C作，交的延长线于点F，则线段和有怎样的数量关系？请说明理由；(3)【拓展应用】如图3，点D是边上一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接，若，则

．17．在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题：已知：如图，在正方形中，，点G是射线上的一个动点，以为边向右作正方形，作于点H．（1）填空：°；（2）若点G在点B的右边．①求证：；②试探索：的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．（3）连接，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求的度数；

18．如图，已知是等腰直角三角形，点P以的速度从点B出发沿着射线运动，连接．以为直角边向右作等腰直角，其中，连接，设运动时间为t秒．

(1)当时，则cm，°；(2)在点P的运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；(3)请用含t的代数式直接写出的面积．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页北师大版数学七年级下学期期末解答题压轴题专练参考答案1．（1）（答案不唯一），；（2）等腰三角形，理由见解析；（3）14【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，找条件证明全等三角形是解题的关键．（1）由题意得：及，即可证明；（2）证明，则，即可证明结论；（3）证明，则，则．【详解】解：（1）由题意得：，∵，∴，在和中，，∴，故答案为：（答案不唯一），；（2）为等腰三角形，理由如下：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴为等腰三角形；（3）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，由（2）可知：时，，在和中，，∴，∴，∴.2．（1）见解析（2）成立，理由见解析（3）见解析【分析】本题考查全等三角形的综合问题，掌握证明全等是解题的关键．（1）由得，再用证明，继而得证；（2）根据第（1）问的证明过程可知，只需保证即可，从而得解；（3）证明，得到，再分别求出，继而得到它们相等，从而得到为等腰三角形．【详解】解：（1）证明：∵，∴，∴．在和中，∴，∴；（2）当时，仍成立．理由：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，（3）如图，在等腰直角三角形和中，，，，∵与关于沿着过点D的某条直线对称，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴为等腰三角形．3．【初识图形】正确，理由见解析；【迁移应用】；【拓展延伸】的面积为或或．【分析】【初识图形】由，则，通过，，得，然后证明即可；【迁移应用】过点作于点，同理可证，然后用面积公式即可求解；【拓展延伸】分三种情况讨论即可；本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，垂直的定义，勾股定理的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】【初识图形】如图，∵，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴；【迁移应用】如图，过点作于点，∵是等腰直角三角形，，∴，，∵，，∴，，∴，在和中，∴，∴，∴；【拓展延伸】如图，当时，过作，使得，连接，过作交延长线于点，交于点，∴，同上理：，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴；如图，过作于点交于点，同（）理，∴，又，∴，∴，如图，过作交延长线于点，过作交BA延长线于点，则同（）理，∴，，∵，∴由勾股定理得：，∴，∴，∴，综上可知：的面积为或或．4．（1）41；（2）是；（3）①见解析；②见解析；（4）长为2或4或8【分析】题目主要考查三角形面积的计算及二元一次方程的应用，理解题意，结合图形求解是解题已关机（1）根据题意利用长方形的面积减去三角形的面积即可求解；（2）结合表格即可得出结果；（3）①根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可证明；②根据题意结合图形即可求解；（4）根据题意及（3）①证明方法得出，然后结合题意求解即可【详解】解：（1）当时，，∴，∴，故答案为：41；（2）通过特例分析，猜想：的面积是定值；故答案为：是；（3）①，，∴，，∴；②解：∵等底等高，，．∵，．；故答案为：50；9；（4）由（3）①得：，整理得：，∵的长为整数．∴当时，；当时，（舍去）；当时，；当时，；∴长为2或4或8．5．(1)，；；(2)证明见解析；(3)的最大值为．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）由，平分，直接得出，；设，，，由的周长为32，得出，由的周长为23，得出，即可求解；（2）方法一，延长到点E，使，连接，可证明，得出，，再由角平分线的性质得到，进而得到，得出，即可求证；方法二，过点D分别作的垂线，垂足分别为E，F，通过分别证明，，从而得到，，即可求证；（3）延长交的延长线为点，可证明，进而得到，根据题意得到，当以为底边，为高时，有最大值，即有最大值，即可求解．【详解】（1）解：如图：

∵，平分，∴，，故答案为：，；设，，，∵的周长为32，∴，∴，∵的周长为23，∴，∴，故答案为：．（2）证明：方法一：如图2，延长到点E，使，连接，

∵点D是的中点，∴，在和中，∵，∴，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴；方法二：如图3，过点D分别作的垂线，垂足分别为E，F，

∵平分，，∴，在和中，，∴，∴，∵点D是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（3）解：延长交的延长线为点，如图：

∵平分，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∵的面积分别为，∴，∵点E为中点，∴，∵，∴，∴，当以为底边，为高时，有最大值，即有最大值，∴的最大值为：，∴的最大值为．6．（1），理由见解析（2）（答案不唯一），证明见解析（3）①；②的最小值是【分析】（1）利用三角形内角和等于180度得，再根据平角定义得到，又由于，即可得出结论；（2）若添加条件：，利用可证明；（3）①方法一：在上截取，连接．证明．得到，从而得到，且，即可求解；方法二：过点作，交于点，交于点．证明．同理可证明，得到，从而得到．即可得出．再根据又，则，从而得到，．然后根据，求得，即可求解；②可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点，所以，当点、点、点三点共线且时，取最小值，即转化为求等边的高．因为的面积是，根据三角形面积公式可求得，即可求解．【详解】解：（1）这组等角是：理由如下：在中，．点在边上，．（2）若添加条件：证明：（已证）在和中，（3）①是等边三角形，．是等边三角形，据（1）可知方法一：在上截取，连接．，．又，．在和中，，．，，且，方法二：过点作，交于点，交于点．则，．在和中，．同理可得，．又，，即．又，，，．又，，．②的最小值是．如图，由可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点，所以，当点、点、点三点共线且时，取最小值，即转化为求等边的高．因为的面积是，所以，所以．即的最小值是．【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系，垂线段最短，熟练掌握利用垂线段最短求最短路径问题是解题的关键．7．（1）①，90；②，理由见解析；（2）32【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出．（2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可．【详解】解：（1）①∵，∴，即，又∵，，∴，∴，，∵，，，∴∴，故答案为：，90．②，理由如下：∵，∴即，∵∴，在和中，∴，∴∴∴，（2）如图，过A作交延长线于G，∵，∴∵∴又∵∴∵∴即在和中，∴∴，∴∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键．8．(1)5(2)①；②(3)或或【分析】（1）根据题中给出的结论，根据已知可得，从而证明即可求出最后结果；（2）①根据三角形内角和以及角平分线定义求出，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，利用等边对等角可求出，结合（1）中即可求出结果；②先证明，根据题中1结论可得，，利用三角形内角和以及角平分线定义即可求出结果；（3）根据等腰三角形定义分三种情况：①当时；②当时；③当时，利用三角形内角和以及三角形外角性质即可求出结果．【详解】（1）解：是的平分线，，，即，，，，，，，故答案为：5；（2）解：①中，，，，是的平分线，，，若点P为线段的垂直平分线与的交点，，，，，，由（1）可知，，；②如图，与相交于点F，由（1）可知，，，，，，，是的平分线，由结论1，可得：，，，平分，，，故答案为：①；②；（3）解：①当时，，，，；②当时，，；③当时，，，综上所述，的度数为或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键．9．（1）；（2）；（3），，证明见解析【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论；（2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论．（3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论．【详解】解：（1）如图，延长到点，使，

∵是的中点，，，，，在中，，，；（2）如图，延长交于点，

∵的中点为D，∴，∵由题意可得：，而，∴，∴，，∵，，∴，是的垂直平分线，∴；（3），，理由如下：如图，延长，使，连接，

∵为的中点，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．10．(1)见解析(2)平行(3)有最小值，5【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明；（2）①由（1）得，得出，，，则；②因为，，所以；（3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题．【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，∴，，，∵，∴即在和中，，∴；（2）平行，，理由如下：由（1）得，∴，，∴，∴，∵，，∴；（3）有最小值，理由如下：如图，在射线上取一点，使得，连接，

∵和是等边三角形，∴，，∴，∴，由三角形内角和为，可知：，，∴，又∵，∴，∵，∴，在和中，，，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，，即点E在的角平分线上运动，在射线上截取，连接，在和中，，，∴，则，由三角形三边关系可知，，即当点E与点C重合，时，有最小值，∵，∴，∴最小值为5．

【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．11．(1)①见解析；②猜想：，证明见解析(2)【分析】（1）①根据，代入数据即可求解；②作，，根据，代入数据即可求解；（2）作点关于直线的对称点，则，，过作于，过作于，根据求得，进而根据求得，由，可得当，，共线，且时，和最小，最小值为的长，即可求解．【详解】（1）①∵∴即

∴②猜想：理由如下：，作，，∵即即∴

（2）作点关于直线的对称点，∴，∵点在延长线上，则、、、共线，∴，过作于，过作于，∵∴∴∵即∴∵当，，共线，且时，和最小，最小值为的长，此时

【点睛】本题考查了三角形高的定义，垂线段最短，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键．12．(1)(2)不成立，或(3)，理由见解析【分析】（1）作于点，然后证明，即可得出结论；（2）分别画出两种情形，结合全等三角形的判定与性质进行解答即可；（3）当与夹角为时．，在上截取点G．使．连接，分别证明，，进而得出结论．【详解】（1）解：结论：，理由如下：作于点，

∵，∴，在和中，，∴，∴，同理可证，∴，∴；（2）不成立，如下图，结论：，

理由：延长角于，∵，∴，，∴，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∴，即；如下图：

同理可证：；（3）当与夹角为时．，证明：∵，分别平分、，∴，∴，在上截取点G．使．连接，

在和中，∵，∴（），∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴（），∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理结合“截长补短法”构造全等三角形是解本题的关键．13．（1）；（2）见解析；（3），理由见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质得，等量代换得，从而；（2）在上取点F，使得，连结，根据证明即可；（3）在射线上取点F，使得，连结，根据证明即可．【详解】（1）∵，∴．∵，∴，∴；故答案为：5；（2）证明：在上取点F，使得，连结∵，∴，∵，∴

又∵∴∴

（3）解：点E的位置如图所示．，理由如下：在射线上取点F，使得，连结∵，∴，又∵∴∴

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．14．(1)三角形内角和定理；；同角的余角相等；；全等三角形的对应边相等(2)见解析(3)4或8【分析】（1）利用同角的余角相等得到，利用等腰直角三角形的性质得到，再利用证明即可得到结论；（2）利用同角的余角相等得到，利用等腰直角三角形的性质得到，再利用证明即可得到结论；（3）分两种情况讨论，利用已经得到的结论以及等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：，，即．，，（三角形内角和定理），（同角的余角相等）．为等腰直角三角形，，，在中，，．在与中，，，（全等三角形的对应边相等）．故答案为：三角形内角和定理；；同角的余角相等；；全等三角形的对应边相等；（2）证明：，，即．，，（三角形内角和定理），（同角的余角相等）．为等腰直角三角形，，，在中，，即为等腰直角三角形，．在与中，，，（全等三角形的对应边相等）．（3）解：当点D在线段上时，∵为等腰直角三角形，且，∴，∴，∵，∴；当点D为边延长线上一点时，∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴；故答案为：4或8．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确运用全等三角形的判定判断两个三角形全等是解题的关键．15．（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3）【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．（1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案；②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到；（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系；（3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案．【详解】解：（1）①，，∵，，，，，，∵，，，∴；故答案为：②由①知，，∵，，∴；故答案为：；（2）结论：．理由如下：，，，，，，，∵，，，，；（3）延长，过点作于，如图所示：，，，，，∴，，，，延长，过点作于，如图所示：，，，，由平行线间的平行线段相等可得，．故答案为：．16．(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）延长交于点F，根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出，再由全等三角形的即可证明；（2）过点A作于点G，根据矩形的判定和性质及全等三角形的判定和性质得出，再由等量代换求解即可；（3）过点A作，，结合图形得出，代入求解即可．【详解】（1）解：．理由如下：延长交于点F．

∵平分交于点D，，∴,∴∵，∴在和中∴∴；（2）理由如下：过点A作于点G．

∴四边形是矩形∴，，∵，∴，∴，∵∴，∴；（3）过点A作，，

．【