泉州市2025届高中毕业班适应性练习试卷及答案 4.23

泉州市2025届高中毕业班适应性练习卷2025.04高三数学参考答案与评分标准8540合题目要求的。题序12345678答案CDCABBDC36分18求.全部选对的得60分。题序91011答案ABBCDACD35分15分。12．0.7(7也可)13．422．10π914．7715.(13分)解法一：(1)估计“文化古迹游”路线游客满意度评分的众数为90+95

2=92.51分满意度评分在70,95内的频率为(0.008+0.012+0.020+0.040+0.070)×5=0.75<0.8，故第80百分位数位于[95,100]2分所以第80百分位数为95+0.8-0.750.25×5=96．(列式11扣1分)4分(2)由表可知，“文化古迹游”线路游客满意度评分不低于90分的概率为(0.070+0.050)×5=0.6=35分5依题意，X的可能取值为0,1,2,36分则PX=0=1-33=87分5125PX=1=C1⋅33=3628分51-5125PX=2=C2⋅32⋅1-3549分=551251/11）PX=3=3=2735125所以X的分布列为：10分X0123P812536125541252712511分所以EX=0×83654279125+1×125+2×125+3×125=．5(列式11分)13分解法二：(1)同解法一．4分(2)设事件A'线路游客的满意度评分不低于90由表可知，P(A)=(0.070+0.050)×5=0.6=3．5分5依题意，X表示事件AX~B3,37分5于是，X的分布列为P(X=k)=Ck⋅3⋅1-3k3-kk=0,1,2,3．9分55即：X0123P8125361255412527125(需要计算出每个X2分)11分所以E(X)=3×35=95．(答案也可以写为1.8)13分16.(15分)解：(1)因为an=n2+n+1an+1=(n+1)2+(n+1)+1=n2+3n+31分所以an+1-an=2n+22分所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2≠0n∈N∗(不等于0没写不扣分)3分所以{an+1-an}是一阶等差数列，4分所以{an}是二阶等差数列．(有判断是二阶等差数列得1分)5分(2)(ⅰ)因为{an}{an+1-an}是一阶等差数列．因为a1=1,a2=4,a3=9a2-a1=3,a3-a2=5，所以{an+1-an}是首项为32的等差数列，6分2/11）所以an+1-an=2n+1n∈N∗．7分当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+⋯+(a2-a1)+a1=(2n-1)+(2n-3)+⋯+3+18分=n(2n-1+1)2=n2．9分当n=1时，a1=1也符合上式，(没检验扣1分)10分所以{an}的通项公式是an=n2．11分

(ⅱ)因为an24an-1=

4n2-1n=1141+12分4n2-1=11114+2n-1-13分82n+1所以Sn=n1111114+81-3-2n-1-++⋯+14分352n+1=n114+81-2n+1=n=n

4+n2+n．(后面这三个答案皆可)15分4(2n+1)4n+217.(15分)解法一：(1)当a=1时，f(x)=ln(x+1)-ex+1(-1,+∞)，(写出定义域1分)1分则f(x)=1

x+1-ex2分令g(x)=1x(x)=-1x+1-e-ex<0，

(x+1)2所以f(x)=1

x+1-ex在区间(-1,+∞)内单调递减，(没证明直接写出单调递减扣1分)3分又f(0)=04分所以当x∈(-1,0)f(x)>0x∈(0,+∞)f(x)<0．所以f(x)的单调递增区间为(-1,0)(0,+∞)．5分((-∞,0)2分)(2)由题意可知a>0f(x)=1x=x+1-ae1-a(x+1)exx+1,(x>-1)6分3/11）令F(x)=1-a(x+1)exF(x)=-a(x+2)ex<0，故F(x)在定义域上单调递减．7分注意到F(-1)=1>0x→+∞,F(x)→-∞，=1故存在唯一的x0∈(-1,+∞)得F(x0)=0aexx0+18分故当x∈(-1,x0)F(x)>0f(x)>0x∈(x0,+∞)F(x)<0f(x)<0．所以f(x)在区间(-1,x0)(x0,+∞)内单调递减，所以当x=x0时，f(x)取到最大值f(x0)=ln(x0+1)-aex+19分故由题意等价于ln(x0+1)-aex+1≤lna，=1注意到aex注意到等号两边皆为正数，x0+1故取自然对数得x0+lna=-ln(x0+1),即lna=-x0-ln(x0+1)10分所以题意等价于2ln(x0+1)+(x0+1)-1

x0+1≤011分设t=x0+12lnt+t-1

t≤0，(t+1)2设函数G(t)=2lnt+t-1(t)=21t,t>0Gt+1+=>0，t2t2故G(t)在区间(0,+∞)单调递增，12分又因为G(1)=00<t≤1．13分因为lna=-x0-ln(x0+1)=-lnt-t+1h(t)=-lnt-t+1(0<t≤1)，则h'(t)=-11+tt-1=-t<0，所以h(t)为关于t[0,+∞),所以当0<t≤1lna的取值范围为[0,+∞)14分故所求的a的取值范围为[1,+∞)．15分解法二：(1)同解法一；(2)由题意得f(x)≤lnaln(x+1)+1≤lna+aex，其中a>0,x>-16分ln(x+1)+x+1≤lna+aex+x7分注意到x+1>0ln(x+1)+eln(x+1)≤ex+lna+(x+lna)8分令t1=ln(x+1),t2=x+lna,t1+et≤t2+et．9分考察函数F(t)=t+etF(t)=1+et>0，故F(t)在区间R单调递增，10分因此题意等价于F(t1)=t1+et≤t2+et=F(t2)t1≤t211分从而题意等价于ln(x+1)≤x+lnaln(x+1)-x≤lna12分考察函数G(x)=ln(x+1)-x,x>-1，4/11）其导函数为(x)=1x+1-1=-xx+1,(x>-1)，故可得在区间x∈(-1,0)(x)>0,G(x)单调递增；而在区间x∈(0,+∞)(x)<0,G(x)单调递减，13分所以当x=0时，G(x)取到最大值G(0)14分lna≥G(0)=0a≥1．故所求a的取值范围是[1,+∞)．15分解法三：(1)同解法一；(2)由f(x)≤lnax=0时，f(x)≤lna-a+1≤lnalna+a≥16分设F(a)=lna+a为关于a的单调递增函数，7分且注意到F(1)=1a≥1．8分a≥1时，f(x)≤lna，a≥1时，ln(x+1)-aex+1≤lna,(x>-1)9分即证lna+ex⋅a-1-ln(x+1)≥0．将aG(a)=lna+ex⋅a-1-ln(x+1)10分导函数(a)=1

a+ex，因为a≥1且ex>0(a)>0G(a)为单调递增，11分所以G(a)≥G(1)=ex-1-ln(x+1)．x>-1时，ex-1-ln(x+1)≥012分考察函数H(x)=ex-x-1H(x)=ex-1，可得当x∈(-1,0)H(x)<0H(x)单调递减；当x∈(0,+∞)H(x)>0H(x)单调递增；所以H(x)≥H(0)=013分即ex≥x+1x≥ln(x+1)．所以G(1)=ex-1-ln(x+1)≥x-ln(x+1)≥014分a的取值范围是[1,+∞)．15分18.(17分)养的关注．解法一：(1)因为∥ABAB⊂平面ABF⊄平面ABF1分5/11）则∥平面ABF．2分又因为⊂平面PCDABF∩平面=l∥l．3分因为⊂平面ABCDl⊄平面ABCD，所以l∥平面．(漏掉条件酌情扣1-2分)4分(2)(ⅰ)因为四边形BC⊥AB，因为平面⊥平面ABP面∩平面ABP=AB,BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ABP．5分在△ABP中，AB=1,AP=2,∠=60°，由余弦定理得BP2=AB2+AP2-2AB⋅AP⋅cos60°=3，所以BP=3AB2+BP2=AP2AB⊥BP．6分由(1)得l∥平面ABCDl交PC于点GBG,FG即平面ABF∩平面=FG,平面ABF∩平面PBC=BG，如图1∥FG∥ABF到AB的距离等于点G到AB的距离．因为AB⊥BC,AB⊥BP,BP∩BC=B,BP,BC⊂平面PBC，所以AB⊥平面PBC，又因为BG⊂平面PBC以AB⊥BG．故只需BG△AFBBG⊥PC时，BG最小．7分因为BC⊥平面ABP以BC⊥BP以PC=2，在Rt△BCP中，BG⊥PCBG⋅PC=BC⋅BPBG=3，2所以在Rt△BGC中，CG=BC2-BG2=1CG=124CP．8分以BBPBABC所在的直线为x,y,z角坐标系B-xyz．则P(3,0,0),A(0,1,0),C(0,0,1),D(0,1,1)．由AB⊥平面PBC,PC⊂平面PBCAB⊥PC．又因为BG⊥PCAB∩BG=BAB,BG⊂平面AFGB，6/11）所以PC⊥平面AFGB9分则PC=(-3,0,1)为平面ABF的一个法向量．10分设n=(x,y,z)为平面的一个法向量，AD=(0,0,1)AP=(3,-1,0)，n⋅AD=0z=0x=1,y=3n=(1,3,0)11分由3x-y=0n⋅AP=0则cos<n,PC12分>=n⋅PC=-34|n||PC|设二面角P-AF-B的平面角为θsinθ=1-cos2<n,PC>=13，4所以二面角P-AF-B的正弦值为13．13分4解法二：(1)同解法一；4分(2)(ⅰ)因为四边形BC⊥AB，因为平面⊥平面ABP面∩平面ABP=ABBC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ABP．5分在△ABP中，AB=1,AP=2,∠=60°，由余弦定理得BP2=AB2+AP2-2AB⋅AP⋅cos60°=3，所以BP=3AB2+BP2=AP2AB⊥BP．6分以BBP,,BC所在的直线为x,y,z坐标系B-xyz．则P(3,0,0),A(0,1,0),C(0,0,1),D(0,1,1)．

=(0,1,0),PD=(-3,1,1)F在PDPF=λPD,(0<λ<1)，

则BF=BP+PF=BP+λPD=(3,0,0)+λ(-3,1,1)=(3-3λ,λ,λ)，⋅)2点F到AB的距离为|BF47分|2-(BF=4λ2-6λ+3=4λ-32+34||2当λ=3时F到AB△AFB的面积最小．8分4=333此时，BF4,．9分4,4设n1=(x1,y1,z1)为平面ABF的一个法向量，y1=0n1⋅=0由1+31+33，n1⋅BF4x4y=04z1=0取x1=-3,z1=1n1=(-3,0,1)．10分设n2=(x,y,z)为平面的一个法向量，AD=(0,0,1),AP=(3,-1,0)，n2⋅AD=0z=0x=1,y=3n由2=(1,3,0)．11分3x-y=0n2⋅AP=0n1⋅n2=-3则cos<n1,n2>=12分|n1||n2|47/11）设二面角P-AF-B的平面角为θsinθ=1-cos2<n1,n2>=13，4所以二面角P-AF-B的正弦值为13．13分4(ⅱ)由(ⅰ)知FG∥ABFG=34=34AB=1，因为AB⊥BGABGF为直角梯形．又BG=323S2×1+×梯形ABGF=1432=7316．14分1,2,⋅⋅⋅,n是距离点P由近及远的n个等分点，(这句不写不扣分)设过点i截四棱锥P-的截面交PC于点GiBP于点BiAP于点Ai，则截面AiBiGii∥平面ABGFi=1,2,⋅⋅⋅,n．SPGii=i2梯形ABGi则PG=

n+1Sn+1以．梯形ABGFi2即SS．15分梯形ABGi=i2梯形ABGF=73n+116(n+1)2n(2n+1)所以1Si=1=73

16×7312+22+⋅⋅⋅+n2n96n×16分(n+1)2(n+1)i=1=73731．17分962-<n+14819.(17分)a2=b2+c2c2a=2解法一：(1)依题意得，(离心率11分)2分2

=1+1a2b28/11）解得a2=4E的方程为x2b=2+4c=2y22=1．3分(2)(ⅰ)设直线l:y=kx+ml与E的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)．联立y=kx+m去y得，(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=04分y2x24+2=1Δ=(4km)2-4(2m2-4)(1+2k2)=8(4k2-m2+2)>0时，由韦达定理，x1+x2=-4mk1+2k2,x1x2=2m2-41+2k25分因此AB=x1-x2+y1-y2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2-4mk-42m22-41+2k21+2k2|m|原点O到直线l的距离d=1+k222(1+k2)(2+4k2-m2)1+2k2=6分7分因此S△AOB=12×|AB|×d=12×22(1+k2)(2+4k2-m2)1+2k2×|m|1+k2=≤2(2+4k2-m2)m21+2k28分2[(2+4k2-m2)+m2]=2．9分2(1+2k2)当且仅当2+4k2-m2=m2m2=2k2+1时等号成立.所以△AOB的面积为2．10分(ⅱ)根据(ⅰ)k的好直线有且仅有两条．设lMN,PQ:y=k1x±2k1+1lMQ,NP:y=k2x±2k2+111分y=k1x+2k2+1联立lMN,lMQ的方程：yxM=y=k2x+2k2+12k1+1-2k2+1k2-k1，y=k1x+2k2+1联立lMN,lNP的方程：yxN=y=k2x-2k2+12k1+1+2k2+1k2-k112分因此|MN|=1+k1|xM-xN|=1+k222k2+1|k2-k1|13分直线lMN,lPQ的距离d=22k1+11+k114分因此S四边形MNPQ=|MN|⋅d=1+k122k2+1|k2-k1|⋅22k1+11+k1=4(2k1+1)(2k2+1)|k1-k2|=44k1k2+1+2(k1+k2)|k1-k2|15分≥4-4k1k2+2(k2+k2)|k1-k2|=42(k1-k2)2|k1-k2|=4216分(或者=44k1k2+1+2(k1+k2)|k1-k2|=44k1k2+1-4k1k2+2(k1-k2)2|k1-k2|9/11）=44k(k1-k2)22当且仅当kk2=-12+2=4(2k1k2+1)2(k1-k2)2+2≥4216分42．(取等条件不写扣1分)17分解法二：(1)同解法一；3分(2)(ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2)OOB的方程为y2x-x2y=04分|x1y2-x2y1|点A到OB的距离d=5分x2+y2|x1y2-x2y1|因此S△AOB=1=112×|OB|×d=2

x2+y22x2|x1y2-x2y1|．(用面积公式S△AOB=12×|OB|×|OA|1-cos2∠AOB3分)6分xi点A(x1,y1),B(x2,y2)4+x1y1x2y2x2x2于是1=4+4+=16+22yi2=1(i=1,2)．7分y1y2x2y1x1y2x1x2y1y224++24+8+8=(x2y1-x1y2)2(x2y1-x1y2)2

8≥9分8因此1

2|x2y1-x1y2|≤2x1x2+2y1y2=0时等号成立．所以△AOB的面积为2．10分(ⅱ)同解法一的lMN:y=kx±2k1+1l:y=kx±2k2+111分可知平行四边形MNPQ的对角线交点为坐标原点，则所求四边形MNPQ的面积S=4S△=4×1

2|xMyN-xNyM|=2|xMyN-xNyM|y=k1x+2k2+1联立lMN,lMQ直线方程：，y=k2x+2k2+1解得