第二单元因数与倍数·提高篇【十一大考点】-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年2月24日2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列第二单元因数与倍数·提高篇【十一大考点】专题解读本专题是第二单元因数与倍数·提高篇。本部分内容包括因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数及其特征的复杂问题和实际应用，考点考题多以填空、选择、应用等题型为主，综合性较强，难度较大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题，一共划分为十一个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】连续偶数或奇数的和 3【考点二】倍数特征的复杂应用其一 4【考点三】倍数特征的复杂应用其二 5【考点四】倍数特征的复杂应用其三 6【考点五】复杂的猜数问题 7【考点六】质数的复杂应用其一 8【考点七】质数的复杂应用其二 9【考点八】分解质因数其一：基本问题 11【考点九】分解质因数其二：求因数的个数 14【考点十】分解质因数其三：求因数 16【考点十一】分解质因数其四：实际应用 16典型例题【考点一】连续偶数或奇数的和。【方法点拨】该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征，即相邻两个偶数或奇数相差2，首先求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。【典型例题】三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？【答案】73、75、77【分析】用“225÷3＝75”，求出中间的那个奇数，又因为两个连续的奇数相差“2”，进而分别求出另外2个奇数即可。【详解】答：这三个奇数分别是73、75、77。【点睛】解答此题的关键是求出中间的那个奇数，然后根据两个连续的奇数的特征来解答。【对应练习1】五个连续的奇数的和是75，这五个奇数分别是多少？【答案】11、13、15、17、19【分析】相邻的奇数之间相差2，用五个连续的奇数的和÷5，求出中间奇数，进而推算出其它奇数。【详解】75÷5＝1515－2＝1313－2＝1115＋2＝1717＋2＝19答：这五个奇数分别是11、13、15、17、19。【点睛】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。【对应练习2】如果三个连续自然数的和是150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇数的和是93，这三个连续奇数各是多少？【答案】49、50、51；29、31、33【分析】相邻两个自然数相差1，连续的奇数相差2，据此分析。【详解】150÷3＝50、50－1＝49、50＋1＝5193÷3＝31、31－2＝29、31＋2＝33答：三个自然数分别是49、50、51，三个连续奇数各是29、31、33。【点睛】关键是熟悉自然数和奇数的排列特点，不是2的倍数的数叫奇数。【对应练习3】小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？【答案】15岁【分析】中间的奇数是三个连续奇数的平均数，由相邻的奇数相差2可知，最大的奇数＝中间的奇数＋2，据此解答。【详解】39÷3＋2＝13＋2＝15（岁）答：小菊15岁。【点睛】利用平均数求出中间的奇数，并掌握相邻奇数的差为2是解答题目的关键。【考点二】倍数特征的复杂应用其一。【方法点拨】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

个位上是0或5的数是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。【典型例题】在3□2□中，□里可以填人适当的数字，使组成的四位数既是3的倍数又是5的倍数，这个数最大是多少？解析：3□2□=3825答：这个数最大是3825。【对应练习1】32□□0是有两个相同数字的五位数，它同时是2、3和5的倍数，这个五位数最小是多少？解析：32010【对应练习2】一个五位数27a8b，既能被3整除，又能被5整除，a与b可为哪些数字？解析：b=0，a为1、4、7b=5，a为2、5、8【对应练习3】一个四位数9A4B能同时被5和6整除，这个四位数是多少？解析：可能是9030、9330、9630、9930【考点三】倍数特征的复杂应用其二。【方法点拨】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

个位上是0或5的数是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。【典型例题】如果五位数□436□是45的倍数，那么这个五位数是多少？解析：我们可以把45分解成9×5，这个五位数要是45的倍数，就一定能被5和9整除，是5的倍数，末尾的数字一定是0或5，还要满足各位数字之和是9的倍数。当末尾数字填0时，首位数字填5，即54360当末尾数字填5时，首位数字填9，即94365答：这个五位数是54360和94365。【对应练习1】一个四位数8A1B能同时被5和6整除，这个四位数是多少？解析：8010。【对应练习2】在358后面补上三个数字组成一个六位数，使它能被4、5、9整除，这个六位数最小是多少？解析：358020。【对应练习3】一个六位数23A56A是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？解析：A为8或0，所以，商为2620或2711。【考点四】倍数特征的复杂应用其三。【方法点拨】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

个位上是0或5的数是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。【典型例题】一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？解析：这个自然数分别除以3、5、7余数都为2，那么这个数减去2就是3、5、7的倍数，即：这个数是3、5、7的最小公倍数再加上2。[3、5、7]=105105+2=107答：这个数最小是107。【对应练习1】已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。解析：[12，8]=2424×5+3=123（人）答：略。【对应练习2】甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？解析：由题意，和被5除余2，则余数之和为2；差被5整除，则余数相同。所以，甲的余数是1。【对应练习3】某数加上22的和除以9余4，这个数加上31的和除以9余几？解析：余2。【考点五】复杂的猜数问题。【方法点拨】猜数问题综合性稍强，需要熟悉因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等的定义及一些特殊数。【典型例题】小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？解析：249119【对应练习1】东东家电话号码前三位是521，第四位是最小的质数，第五位是最小的偶数，第六位是最小的奇数，末尾数字既是合数又是奇数，东东家电话号码是多少？解析：5212019【对应练习2】“天宫二号”空间实验室发射的年份是一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的偶数，十位上的数字比最小的质数小1，个位上的数字比最小的合数大2。“天宫二号”是哪一年发射的？解析：2016年【对应练习3】洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？解析：9127456【对应练习4】小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？解析：4091【考点六】质数的复杂应用其一。【方法点拨】1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。2.一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。3.100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。【典型例题】两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？解析：奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。两个质数的和是奇数，所以，一定有一个质数是偶数，偶数中只有2是质数。99=2+9797×2=194答：这两个质数的乘积是194。【对应练习1】两个质数的积是202，这两个质数的和是多少？解析：由于两个质数的积是202，因此这两个质数不可以都是奇数，所以必有一个是2，可得：所以这两个质数的和是：答：这两个质数的和是103。【对应练习2】两个质数的和是20，积是91，这两个质数分别是多少？解析：7+13=207×13=91答：这两个质数分别是7和13。【对应练习3】两个质数的和是39，求这两个质数的积。解析：2+37=742×37=74答：略。【考点七】质数的复杂应用其二。【方法点拨】1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。2.一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。3.100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。【典型例题】乐乐绘制了一幅山水画，这幅山水画是长方形，且长和宽都是质数，而且这幅画的周长是36分米，这幅山水画的面积可能是多少平方分米？【答案】77或65平方分米【分析】长方形周长÷2＝长与宽的和，再结合除了1和它本身以外不在有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。【详解】36÷2＝18（分米）18＝11＋7＝13＋511×7＝77（平方分米）13×5＝65（平方分米）答：这幅山水画的面积可能是77或65平方分米。【对应练习1】用长度是50厘米的铁丝围成一个长方形，长方形的长和宽均为整厘米数，且均为质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？【答案】46平方厘米【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2；50÷2＝25厘米；把25分成两个整厘米数，且是质数，25＝2＋23，即长是23厘米，宽是2厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。【详解】50÷2＝25（厘米）25＝2＋23即长方形的长为23厘米，宽为2厘米。2×23＝46（平方厘米）答：这个长方形的面积是46平方厘米。【点睛】熟练掌握和灵活运用长方形周长公式、面积公式以及质数的意义是解答本题的关键。【对应练习2】为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域画了一个长方形场地作为专用停车场，规划好后发现长和宽都是质数，并且周长是36米，你知道这个指定的长方形停车场的面积是多少平方米吗？【答案】65平方米或77平方米【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，将周长除以2，求出长和宽的和。又因为长和宽都是质数，找出符合题意的长和宽，再根据长方形面积＝长×宽，求出停车场的面积。【详解】36÷2＝18（米）5＋13＝18（米）7＋11＝18（米）5×13＝65（平方米）7×11＝77（平方米）答：这个长方形停车场的面积可能是65平方米或77平方米。【点睛】本题考查了长方形的周长和面积、质数的概念，熟记公式，掌握质数的概念是解题的关键。【对应练习3】用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少？【答案】99平方厘米【分析】根据长方形的周长公式，可得长＋宽＝40÷2＝20厘米，再根据质数和合数的定义，质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。找出符合要求的质数和合数，最后利用长方形的面积公式即可得解。【详解】40÷2＝20（厘米）长和宽的米数是由一个质数和一个合数组成的。20＝2＋18＝5＋15＝9＋112×18＝36（平方厘米）5×15＝75（平方厘米）9×11＝99（平方厘米）36＜75＜99答：它的面积最大是99平方厘米。【点睛】此题主要考查质数和合数的定义以及长方形的周长、面积的计算方法。【考点八】分解质因数其一：基本问题。【方法点拨】1.分解质因数：指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。2.注意：①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径；②100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。【典型例题】把下列各数分解质因数。111

375【答案】111＝3×37；375＝3×5×5×5【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般从简单的质数试着分解。【详解】111＝3×37375＝3×5×5×5【对应练习1】把下面各数分解质因数。45

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104【答案】45＝3×3×528＝2×2×7104＝2×2×2×13【分析】分解质因数就是把这个数分解成几个质数相乘的式子。【详解】45的质因数有3，5所以45＝3×3×528的质因数有2，7所以28＝2×2×7104的质因数有2，13所以104＝2×2×2×13【对应练习2】把下面的各数分解质因数。36

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105【答案】36＝2×2×3×3；57＝3×19；105＝3×5×7【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。【详解】36＝2×2×3×3；57＝3×19；105＝3×5×7【对应练习3】用短除法将下列各数分解质因数。56

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96【答案】56＝2×2×2×7；64＝2×2×2×2×2×2；84＝2×2×3×7；96＝2×2×2×2×2×3【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。【详解】56＝2×2×2×7；64＝2×2×2×2×2×2；84＝2×2×3×7；96＝2×2×2×2×2×3。【点睛】此题主要考查用短除法分解质因数，要注意分解质因数的书写形式。【考点九】分解质因数其二：求因数的个数。【方法点拨】如果一个比较简单的数已经分解为质因数，那么找这个数的因数个数，可以把该数求出来再找因数。【典型例题】已知A＝2×2×3×3，那么A的因数一共有（

）个。A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】根据A＝2×2×3×3，求出A的值，再根据求一个数因数的方法，写出A所有的因数，最后数出因数的个数即可。【详解】A＝2×2×3×3＝3636的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；共有9个因数。故答案为：D【点睛】掌握找一个数的因数的方法是解题的关键。【对应练习1】已知甲数=2×3×5，那么甲数的因数共有（）个。A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】由求一个数因数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数因数的个数，由此即可得出答案．因为甲数=2×3×5所以甲数的全部因数的个数是：（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）．故选C．【对应练习2】已知A=3×7×10，则A一共有（）个因数。A．6 B．12 C．16 D．20【答案】C【详解】试题分析：A的因数包括1和它的质因数，以及质因数相乘的积；据此找出即可．解：A=3×7×10=2×3×5×7，则A的因数有：1、2、3、5、7、2×3=6、2×5=10、2×7=14、3×5=15、3×7=21、5×7=35、2×3×5=30、2×3×7=42、2×5×7=70、3×7×5=105、2×3×5×7=210，共16个；故选C．点评：此题也可以运用规律解答：把给定的数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求因数的个数．【对应练习3】一个数既是45的因数，又是3的倍数，这个数共有（

）种可能。A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先找出45的因数，再找出45的因数里面有几个是3的倍数。【详解】45＝1×45＝3×15＝5×945的因数有1、45、3、15、5、9，其中45、3、15、9是3的倍数；所以一个数既是45的因数，又是3的倍数，这个数共有4种可能。故答案为：C【点睛】此题是考查因数和倍数的意义，注意不要忽略a、b、c为非0自然数这点。【考点十】分解质因数其三：求因数。【方法点拨】该类题型首先分解质因数，再根据连续自然数的特点求出这些数。【典型例题】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。解析：210分解质因数：210=2×3×5×7可知这三个数是5、6和7。【对应练习1】三个连续自然数的积是1716，这三个自然数是_____、_____、_____。解析：1716=2×2×3×11×13=11×(2×2×3)×13由此可以看出这三个数是11，12，13。答：三个连续自然数是11，12，13。【对应练习2】四个连续自然数的乘积是360，这四个自然数分别是多少？解析：360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×6答：这四个连续的自然数分别是3，4，5，6。【对应练习3】6个相邻自然数的乘积是60480，求这六个自然数。解析：60480=2×2×2×2×2×2×3×3×5×7=4×5×6×7×8×9答：这六个自然数是4，5，6，7，8，9。【考点十一】分解质因数其四：实际应用。【方法点拨】该类题型要注意题目中的限制条件，再根据分解质因数进行因数分解。【典型例题1】其三。盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？解析：48=2×2×2×2×3不一次拿出可以分为以下4组：48=2×24=3×16=4×12=6×8答：有8种不同拿法，每次分别拿出2、3、4、6、8、12、16、24个。【对应练习1】五（3）班共有40名学生，现在要把这些学生分成人数相等的若干小组（不能分成40组），有几种分法？每组最多有多少人？解析：40=2×20=4×10=5×8=8×5=10×4=20×2答：有6种分法，每组最多20人。【对应练习2】把63个玻璃