第08讲 同底数幂的除法（解析版）

第08讲同底数幂的除法1.同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）注：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.2.零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）注：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.3.零指数幂及负整数指数幂任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.（、为整数，）；（为整数，，）（、为整数，）.注：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.4.科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法考点剖析（同底数幂的除法运算）例1：计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算即可．【详解】解：，故选：B．变式1-1：如果，那么．【答案】2【分析】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方．同底数幂相除：底数不变，指数相减；幂的乘方：底数不变，指数相乘．由此列出关于k的一元一次方程，即可求出k的值．【详解】解：，，解得，故答案为：2．变式1-2：计算：(1)；(2)．【答案】(1)0(2)【分析】本题考查整式的乘法与除法运算：（1）根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，整式的除法分别计算即可解答；（2）根据整式的除法进行计算．【详解】（1）；（2）．（同底数幂的除法逆用）例2：已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查同底数幂的除法及幂的乘方的逆运用，根据对相应的运算法则将变形为是解决问题的关键．【详解】解：∵，，∴，故选：C．变式2-1：若，则代数式的值为．【答案】1【分析】本题主要考查幂的乘方逆运算和同底数幂除法逆运算，先将变形为，再把变形为，然后整体代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：1．变式2-2：已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)试说明：．【答案】(1)16(2)62.5(3)见解析【详解】（1）．（2），即的值为62.5．（3）．理由如下：，，，．【易错点分析】本题解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则和除法法则，幂的乘方法则及公式的逆运用．（幂的混合运算）例3：计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可．【详解】解：．故选A．【点睛】本题考查幂的混合运算．掌握运算法则是解题关键．变式3-1：（1）当时，如果，则．（2）计算，则．【答案】54【分析】（1）根据零指数幂公式，负整数指数幂公式，同底数幂的乘除法法则先化简，再得出指数相等即可求解；（2）根据同底数幂的乘方先化简，再得出指数相等即可求解；【详解】解：（1）∵∴∴∴（2）∵∴∴∴故答案为：①5；②4．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方等知识，掌握相关法则或公式是解题的关键．变式3-2：计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据积的乘方运算法则进行计算；（2）根据积的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了乘方混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（零指数幂）例4：若，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查零指数幂的意义，根据零指数幂的定义即可判断．【详解】解：根据零指数幂的意义，，∴．故选：C．变式4-1：计算：．【答案】【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算减法即可，注意任何非零底数的零指数幂结果都为1．【详解】解：，故答案为：．变式4-2：阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1．试根据以上材料探索使等式成立的x的值．【答案】x的值为或【分析】根据题干提供的信息，分情况讨论求出x的值即可．【详解】解：①当时，解得，此时，所以符合题意；②当时，解得，此时，所以不符合题意；③当时，解得，且，所以符合题意；综上所述，x的值为或．【点睛】本题主要考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，特别注意．（负整数指数幂）例5：下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，零指数幂，负整数指数幂的意义等知识，掌握以上运算法则并能进行正确计算是解题的关键．根据同底数幂的除法法则，零指数幂，负整数指数幂的意义计算即可判断．【详解】解：A．，故不符合题意；B．，符合题意；C．，故不符合题意；D．，故不符合题意．故选：B．变式5-1：计算：．【答案】【分析】本题考查了积的乘方运算法则，零指数幂的性质，负指数幂的性质，正确掌握运算法则是解答本题的关键．利用积的乘方运算法则，零指数幂的性质，负指数幂的性质，分别计算出结果，然后整理得到最终答案．【详解】解：根据题意得：，故答案为：．变式5-2：计算：【答案】【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方；根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方进行计算即可求解．【详解】解：（整数指数幂的运算）例6：计算，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可．【详解】解：．故选：D【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．变式6-1：计算：．【答案】【分析】根据整数指数幂的运算法则计算即可．【详解】解：；故答案为：【点睛】本题考查的负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键．变式6-2：计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】（1）根据同底数幂的乘法，积的乘方进行计算，然后合并同类项即可求解；（2）根据幂的乘方，积的乘方进行计算，然后根据同底数幂的除法进行计算即可求解；（3）根据幂的乘方，积的乘方进行计算即可求解；（4）根据负整数指数幂，零次幂进行计算即可求解；（5）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；（6）根据积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的除法进行计算即可求解；（7）根据负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方进行计算即可求解；（8）根据零次幂，负整数指数幂，逆用积的乘方进行计算即可求解．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【点睛】本题考查了幂的混合运算，负整数指数幂，零次幂，掌握幂的运算法则是解题的关键．（科学记数法）例7：随着科技的不断发展，我国北斗芯片研发技术达到国际领先水平，目前，国产北斗芯片尺寸已可达12纳米（即1纳米＝0.000000001米），则数据12纳米用科学记数法表示为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．【详解】解：1纳米米，根据科学记数法要求的小数点从原位置移动到1后面，动了有9位，从而用科学记数法12纳米表示为米，故选：D．变式7-1：我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为：【答案】【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．科学记数法确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．【详解】的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个，故答案为：变式7-2：科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式，可以方便地表示绝对值较大的数或较小的数.请看下面用科学记数法解决实际问题的实例．科学研究发现，与我们日常生活密不可分的一个水分子的质量大约是0.00000000000000000000000003kg．(1)用科学记数法表示此数；(2)6g水中大约有多少个水分子？(3)通过进一步研究科学家发现：一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知氧原子的质量约为.求一个氢原子的质量．【答案】(1)；(2)个；(3)kg【分析】（1）根据科学记数法的表示方法解答即可；（2），再除以（1）题的结果求解即可；（3）用一个水分子的质量减去一个氧原子的质量，再除以2即可求解．【详解】（1）（2）因为，所以水中大约有水分子：（个）（3）一个氢原子的质量为：．【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，涉及科学记数法、负整数指数幂的运算等知识，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是关键．过关检测选择题（共6题，每题4分）1．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了幂的相关运算，掌握运算法则是解题关键．【详解】解：，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误；故选：C2．芝麻是世界上最古老的油料作物之一，如果一粒芝麻质量约为千克，将用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．【详解】解：，故选：B．3．若，则有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，根据同底数幂的除法法则进行计算，建立关于m，n的方程求解即可．【详解】解：，，，故选：B．4．下列四个算式：①；②；③；④．其中计算不正确的是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．②③【答案】B【分析】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方法则逐个解题【详解】解：①，错误，②，正确，③，错误，④，正确故①③错误，故选：B．5．若，则的值为(

)A． B．1或 C．或1或3 D．或1【答案】B【分析】本题考查零指数幂公式，和1的n次方的结果等知识，可按当时与当时两种情况讨论，掌握乘方结果是的三种情况：即①底数不为0，指数是0，②底数是1，③底数是，指数为偶数是解题的关键．【详解】解：①当，即时，，即∴；②当，即时，则有(i)；(ii)且为偶数；(i)由解得：，(ii)解得：，此时，为奇数，不合题意，∴；综上所述：或，故选：B．6．已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（

）A． B． C．11 D．19【答案】B【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算即可得出结果．【详解】解：x3a-2b=x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2，然后整体代入即可得原式=33÷42=．故选:B．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是明确同底数幂的除法和幂的乘方的法则，然后逆用代入计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．填空题（共8题，每题4分）7．计算．【答案】【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，熟知零指数幂和负整数指数幂的计算法则是解题的关键，注意任何非零底数的零指数幂结果都为1．【详解】解；，故答案为：．8．计算：．【答案】【分析】本题考查整式的运算中积的乘方及整式除法，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．先算积的乘方，再从左到右依次计算；【详解】解：，故答案为：．9．每立方厘米的空气质量约为，用科学记数法表示为．【答案】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．10．已知，，则的值是．【答案】/【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆运算、幂的逆运算．根据同底数幂的除法的逆运算、幂的逆运算法则求解即可．【详解】解：∵，，∴故答案为：．11．已知，则“★”所表示的式子是．【答案】【分析】本题考查了整式除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．由题意可知，“★”所表示的式子是被除数除以商，根据同底数幂的除法法则计算即可．【详解】，，，故答案为：12．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于．

【答案】2【分析】本题主要考查了整式的加减计算，同底数幂除法的逆运算，先分别表示出经过取走和取出后，甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为，，，再由题意可得最后三个袋子中的球都是21个，由此得到，即，最后根据进行计算求解即可．【详解】解：经过取走和取出后，甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为，，，∵一共有个球，且最后三个袋子中的球的数量相同，∴最后三个袋子中的球都是21个，∴，∴，∴，故答案为：2．13．已知，，，则、、三个数的大小关系是．【答案】【分析】先把、、都化为六次方根的形式，再比较大小即可.【详解】解：，，，又，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，分数指数幂的含义，无理数的大小比较，掌握分数指数幂的运算法则是解本题的关键.14．若am=20，bn=20，ab=20，则=．【答案】1【分析】先根据可得，再结合可得，由此结合可得，由此可得，进而可求得答案．【详解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键．解答题（共5题，前三题每题8分，后两题每题10分）15．计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先将每项单独求出来，再进行有理数加减运算；（2）先将每项单独求出来，再进行同底数幂乘除运算【详解】（1）解：，，；（2）解：，，，．【点睛】本题考查幂的乘方，积的乘方，有理数加减法，同底数幂乘除，负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键．16．若（，，，都是正整数），则，利用上面结论解决下面问题：(1)已知，求的值．(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可．【详解】（1）解：，；（2）解：，，．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法与除法，掌握同底数幂的乘法与除法法则是解题的关键．17．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题．例1：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即（m，n都是正整数），则，所以．例2：“若，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘方公式，即（m，n都是正整数），则，所以．(1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值．(2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：小贤的作业计算：．解：．①小贤的求解过程逆用的幂的乘法公式是________；A．

B．

C．②计算：．【答案】(1)4(2)①C，②4【分析】本题主要考查同底数幂相乘和幂的乘方，（1）利用给定的逆向运用同底数幂的乘法公式和逆向运用同底数幂的乘方公式即可求得；（2）①利用积的逆运算即可；，②结合①的运算法则即可求得答案．【详解】（1）解：逆向运用同底数幂的乘法公式和逆向运用同底数幂的乘方公式得，，∵，∴，得．（2）①由可得小贤的求解过程用到，故选：C．②．18．我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如，对于任意自然数n，可以证明．理由如下：设，则，∴，∴，∴，∴．(1)根据以上规定求出：_____；_____；(2)①说明等式成立的理由；②并计算；(3)类比猜想：．【答案】(1)3，0(2)①见解析；②14(3)6【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则，正确将原式变形分析是解题关键．（