2024年广东省深圳市南山区中考一模数学试题（含答案）

第第页2024年广东省深圳市南山区中考一模数学试题一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上）1．如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（）A．2023 B．−2023 C．12023 D．2．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）．A． B． C． D．3．2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（）A．0.186×105 B．1.86×14．一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD=（）A．3.5cm B．3cm C．4cm D．6cm 第4题图 第6题图5．一元一次不等式组x−2>1x<4A．−1<x<4 B．x<4 C．x<3 D．3<x<46．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155°,∠2=30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°7．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等 B．菱形的四条边相等C．正五边形的其中一个内角是72° D．单项式πab8．某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数．年龄（岁）12岁13岁14岁15岁16岁人数（个）283在下列统计量，不受影响的是（）A．中位数，方差 B．众数，方差C．平均数，中位数 D．中位数，众数9．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，驽马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．x240=x+12C．240x−12=150x 10．在平面直角坐标系xoy中，点(1,m)，(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c（a>0A．32<t<2 B．1<t<3 C．0<t<1 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分．共15分）11．若a2=3b12．已知一元二次方程x2−5x+2m=0有一个根为2，则另一根为13．如图，一束光线从点A−2,5出发，经过y轴上的点B0,1反射后经过点Cm,n，则2m−n 第13题图 第14题图 第15题图14．如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B,CB为⊙A的直径，点C在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k15．如图，在四边形ACBD中，对角线AB、CD相交于点O，∠ACB=90°，BD=CD且sin∠DBC=35，若∠DAB=2∠ABC，则AD三、解答题：（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题9分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．计算：|−317．先化简(x−1−3x+1)÷x218．2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x<70；B：70≤x<80；C：80≤x<90；D：x≥90，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生人数为______人，扇形统计图中m的值为______；（2）补全条形统计图；（3）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？（4）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．19．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元.（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？20．研究发现课堂上进行当堂检测效果很好，每节课40分钟，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y1的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y2的关系如图2所示（其中（1）老师精讲时的学生学习收益y1（2）求学生当堂检测的学习收益y2（3）问“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习收益总量W最大？（W=y21．如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以AB为直径的半圆O，MN为台面截线，半圆O与MN相切于点P，连接OP与CD相交于点E．水面截线CD=63cm，MN∥CD，（1）如图（1）求水深EP；（2）将图（1）中的老碗先沿台面MN向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得A、C重合，求此时最高点B和最低点P之间的距离BP的长；（3）将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时∠BOP=75°，求滚动过程中圆心O运动的路径长．22．“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段．（1）【问题情景】：如图（1），正方形ABCD中，点E是线段BC上一点（不与点B、C重合），连接EA．将EA绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF，求∠FCD的度数．以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，①小聪：过点F作BC的延长线的垂线；②小明：在AB上截取BM，使得BM=BE；请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．（2）【类比探究】：如图（2）点E是菱形ABCD边BC上一点（不与点B、C重合），∠ABC=α，将EA绕点E顺时针旋转α得到EF，使得∠AEF=∠ABC=α（a≥90°），则∠FCD的度数为______（用含α的代数式表示）（3）【学以致用】：如图（3），在（2）的条件下，连结AF，与CD相交于点G，当α=120°时，若DGCG=1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，∴OB=2023，∴点B表示的数是−2023，故答案为：B．【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；D.是中心对称图形，故此选项符合题意；故答案为：D【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.3．【答案】B【解析】【解答】解：186000=1.86×105.

故答案为：B

【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.4．【答案】B【解析】【解答】解：由图可知AB=7−1=6cm，在△ACB中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，∴CD=1故答案为：B．【分析】由图求得AB的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：x−2>1①x<4②

由①得：x＞3，

由②得：x＜4，

∴故答案为：D

【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.6．【答案】C【解析】【解答】解：如图，

∵AB∥OF，∴∠1+∠BFO=180°，∴∠BFO=180°−155°=25°，∵∠POF=∠2=30°，∴∠3=∠POF+∠BFO=30°+25°=55°；故答案为：C【分析】根据直线平行性质可得∠1+∠BFO=180°，根据补角可得∠BFO=25°，再根据三角形外角性质即可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故A选项错误，是假命题，不符合题意；

B、菱形的四条边相等，B选项正确，是真命题，符合题意；

C、正五边形的内角度数都相等，等于5−2×180°5=108°，故C选项错误，是假命题，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】根据平行线的性质，菱形的性质，正多边形的性质以及单项式的系数和次数判断即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为20−2−8−3=7，故该组数据的众数为15岁，总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15，则中位数为：15+152故统计量不会发生改变的是众数和中位数，故答案为：D．【分析】根据中位数，众数的定义即可求出答案.9．【答案】D【解析】【解答】解：设快马x天可追上慢马，此时慢马所行时间为（x+12）天，

由题意得240x=150故选：D．【分析】设快马x天可追上慢马，根据路程相等得：快马追赶时间×快马速度=（慢马先行驶的时间+快马追赶时间）×慢马的速度，据此列出方程即可求解．10．【答案】A【解析】【解答】解：y=ax2+bx+c（a>0），对称轴为x=t=−b2a，

∵m=a+b+c，n=9a+3b+c，m<n<c，

∴a+b+c<9a+3b+c<c.

∴a+b<9a+3b<0.

∵a>0，

∴1+b故答案为：A.

【分析】把两个点坐标带入抛物线的表达式，根据m<n<c，得a+b+c<9a+3b+c<c.利用不等式的性质，再结合a>0整理可得3211．【答案】6【解析】【解答】解：∵a2=3b故答案为：6.

【分析】根据比例的性质即可得到结论.12．【答案】3【解析】【解答】解：一元二次方程x2−5x+2m=0有一个根为2，设另外一个根为x2，

则2+x2=5，

∴x故答案为：3.

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x113．【答案】－1【解析】【解答】如图，过点A作AG⊥y轴，点C作CF⊥y由题意知，∠ABG=∠CBF，∠AGB=∠CFB∴△AGB∼△CFB∴BF∵A−2,5，∴AG=2，BG=5−1=4∴BF∴BF∴2m−n=−1故答案为：−1【分析】过点A作AG⊥y轴，点C作CF⊥y轴，垂足分别为G，F，根据相似三角形判定定理可得△AGB∼△CFB，得比例线段BFCF=BGAG，由A−2,514．【答案】24【解析】【解答】解：设Ca,∵⊙A与x轴相切于点B，∴BC⊥x轴，∴OB=a,BC=ka，则点D到∵CB为⊙A的直径，∴AC=1∴S△ACD解得：k=24，故答案为：24．【分析】设Ca,ka，则OB=a,BC=ka15．【答案】1【解析】【解答】解：过D作DE⊥BC于E，交AB于F，如图所示：设∠ABC=α，∠ABD=β，∴∠DAB=2∠ABC=2α，∠DBC=α+β，∠BDF+α+β∵BD=CD，DE⊥BC，∴∠DCB=∠DBC=α+β，CE=BE，在△DAO和△BCO中，由三角形内角和定理可知∠ADO+2α=α+β+α，即∵∠ACB=90°，∴∠ACO+α+β∴∠ACD=∠FDB，在△DAC和△BFD中，∠ACD=∠FDB∴△DAC≌△BFDASA∴BF=AD，∵AC⊥CB，∴AC∥DE，则BECE=BF∴F是AB的中点，∴AD故答案为：12【分析】过D作DE⊥BC于E，交AB于F，设∠ABC=α，∠ABD=β，由直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质，在△DAO和△BCO构成的8字形中，由三角形内角和定理可知∠ADO=β，从而由三角形全等判定得到△DAC≌△BFDASA，进而BF=AD，最后由平行线分线段成比例确定F是AB16．【答案】解：原式==4．【解析】【分析】根据实数的绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可求解。17．【答案】解：(x−1−===x+1∵原式即运算过程中的分母不能为0，

∴x+1≠0，x2－4≠0，

∴x=1代入后原式=1+1=2.【解析】【分析】按照分式的混合运算法则运算即可，有括号是先算括号里面的.括号里面先通分，再化简.最后代入求值时，选取的数字需要使整个运算过程有意义.18．【答案】（1）50，30（2）解：C组人数为：50-10-15-5=20人，补全统计图如图所示：（3）解：600×20+5答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有300人；（4）解：如图，共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种，故P一男一女​​​​​​​【解析】【解答】解：（1）根据题意得，本次抽取的人数为：5÷10%∵B组人数为15人，∴15÷50×100%故答案为：50；30；【分析】（1）由D组人数及所占百分比得出总人数，然后利用B组人数除以总人数即可得出结果；（2）用总人数减去各组人数得出C组人数，然后补全统计图即可；（3）总人数乘以C、D组所占比例即可；（4）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果，再根据概率公式即可求出答案.19．【答案】（1）解：设一台甲型自行车利润为x元，一台乙型自行车利润为y元.3x+2y=650x=150∴一台甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为100元.（其他做法请酌情给分）（2）解：设需要购买x台甲型自行车，则乙型自行车购买(20−x)台.500x+800(20−x)≤13000x≥10∴最少需要购买10台甲型自行车.【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系：3台甲型自行车的利润+2台乙型自行车的利润=650元，1台甲型自行车的利润+2台乙型自行车的利润=350元.设一台甲型自行车利润为x元，一台乙型自行车利润为y元，代入等量关系即可得到方程，求解即可.

（2）根据题意可得：甲的数量+乙的数量=20，甲的总进价+乙的总进价≤13000，设需要购买x台甲型自行车，代入得一元一次不等式，求解即可.注意设未知数时不能带"至少"二字.20．【答案】（1）y（2）解：当0≤x≤8时，设y2把0，0代入，得64a+64=0，解得a=−1．∴y2当8<x≤20时，y2∴y2（3）解：设学生当堂检测的时间为x分钟0≤x≤20，学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为40−x分钟．当0≤x≤8时，w=−x∴当x=7时，W最大当8<x≤20时，W=64+240−x∵W随x的增大而减小，∴当x=8时，W最大综合所述，当x=7时，W最大=129，此时即老师在课堂用于精讲的时间为33分钟，学生当堂检测的时间为7分钟时，学习收益总量最大．【解析】【解答】解：设y1把1,2代入，得k=2，∴y1自变量的取值范围为0≤x≤40，故答案为：y1【分析】（1）由图设该函数解析式为y1（2）分情况讨论：当0≤x≤8时，设y2=ax−82+64，根据待定系数法将点(0，0)代入可得y（3）设学生当堂检测的时间为x分钟0≤x≤20，学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为40−x分钟，结合二次函数的性质即可求出答案.21．【答案】（1）解：连接OC，如图所示：∵半圆O与MN相切于点P，∴OP⊥MN，∵MN∥CD，∴OP⊥CD，∴CE=1在Rt△OCE中，由勾股定理可得

OE=O∴EP=OP−OE=6−3=3cm；（2）解：如图，连接BP，过B点作BF∥AD，与PO的延长线相较于点F，∵AD∥BF，∴∠OAE=∠OBF，在△AOE和△BOF中，∠OAE=∠OBFAO=BO∴△AOE≌△BOFASA由（1）知OE=3cm，CE=33∴OE=OF=3cm，CE=AE=BF=33∴PF=OP+OF=6+3=9cm在Rt△BFP中，由勾股定理可得

BP=P（3）解：如图所示：由（1）可知OE=3cm，OC=6cm，∴在Rt△COE中，∠COE=60°，∵∠BOP=75°，∴∠AOC=180°−60°−75°=45°，由题意可得，圆心O运动的路径长为AC的长度45180【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线性质可得OP⊥MN，再根据直线平行性质可得OP⊥CD，根据垂径定理可得CE，再根据勾股定理可得OE，再根据边之间的关系即可求出答案.

（2）连接BP，过B点作BF∥AD，与PO的延长线相较于点F，根据直线平行性质可得∠OAE=∠OBF，再根据全等三角形判定定理可得△AOE≌△BOFASA，则OE=OF=3cm，CE=AE=BF=3（3）根据补角可得∠AOC，再根据弧长公式即可求出答案.22．【答案】解：（1）任选一个思路求解即可，下面两种思路求解如下：小聪解题思路：过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，如图1，∵将EA绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴AE=EF，∠AEF=90°，∵FG⊥BC，∴∠G=90°=∠B=∠AEF，∴∠BAE+∠AEB=90°=∠AEB+∠FEC，∴∠BAE=∠FEC，∴△ABE≌△EGF(AAS)，∴BE=CF，AB=EG，∵AB=BC，∴BC=EG，∴BE=CG，∴CG=FG，∴∠FCG=45°，∴∠FCD=45°；小慧解题思路：在AB上截取BM，使得BM=BE，连接EM，如图所示：∵BM=BE，AB=BC，∴∠BME=∠BEM=45°，AM=EC，∴∠AME=135°，又∵AE=EF，∠BAE=∠FEC，∴△