数学选修2-3-第一节

【课标要求】1.1

基本计数原理了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．会用这两个原理分析和处理一些简单实际计数问题．1．2．第1页了解两个计数原理内容及它们区分．(难点)两个计数原理应用．(重点)应用两个计数原理时，合理选择分类还是分步．(易混点)

【关键扫描】1．2．3．第2页分类加法计数原理与分步乘法计数原理自学导引分类加法计数原理分步乘法计数原理做一件事，完成它有n类方法，在第一类方法中有m1种不一样方法，在第二类方法中有m2种不一样方法，…，在第n类方法中有mn种不一样方法，那么完成这件事共有N＝_________________种不一样方法.做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不一样方法，做第二个步骤有m2种不一样方法，…，做第n个步骤有mn种不一样方法，那么完成这件事共有N＝_________________种不一样方法.m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn第3页想一想：两个原理中对“完成一件事”要求有什么不一样？提醒分类加法计数原理中，每一类方案中每一个方法都能“完成一件事”；分步乘法计数原理中，只有两步全部完成，才算“完成一件事”．第4页分类加法计数原理与分步乘法计数原理区分与联络名师点睛分类加法计数原理分步乘法计数原理关键词分类分步本质每类方法都能独立地完成这件事，它是独立、一次性且每次得到是最终结果，只需一个方法就可完成这件事每一步得到只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺乏任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事各类(步)关系各类方法之间是互斥、并列、独立，即“分类互斥”各步之间是关联、独立，“关联”确保连续性，“独立”确保不重复，即“分步互依”第5页题型一分类加法计数原理应用在全部两位数中，个位数字大于十位数字两位数共有多少个？[思绪探索]该问题与计数相关，完成这件事只要两位数个位、十位确定了，这件事就算完成了，所以只要考虑十位或个位上数字情况进行分类即可．【例1】第6页解法一依据题意将十位上数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8情况分成8类，在每一类中满足题目条件两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理，符合题意两位数个数共有：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二依据题意将个位上数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9情况分成8类，在每一类中满足题目条件两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个．由分类加法计数原理，符合题意两位数个数共有，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．第7页规律方法分类加法计数原理要求每一类中各种方法都是相互独立，且每一类方法中每一个方法都能够独立地完成这件事．在应用该原了解题时，首先要依据问题特点，确定好分类标准．分类时应满足：完成一件事任何一个方法，必属于某一类且仅属于某一类．第8页

书架上层放有15本不一样数学书，中层放有16本不一样语文书，下层放有14本不一样化学书，某人从中取出一本书，有多少种不一样取法？解要完成“取一本书”这件事有三类不一样取法：第1类，从上层取一本数学书有15种不一样取法；第2类，从中层取一本语文书有16种不一样方法；第3类，从下层取一本化学书有14种不一样方法．其中任何一个取法都能独立完成取一本书这件事，故从中取一本书方法种数为15＋16＋14＝45.【变式1】第9页已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上点，问：(1)点P可表示平面上多少个不一样点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限内点？[思绪探索]完成“确定点P”这件事，需要依次确定点P横、纵坐标，应利用分步乘法计数原理求解．解

(1)确定平面上点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a值，有6种不一样方法；第二步确定b值，也有6种不一样方法．依据分步乘法计数原理，得到平面上点P个数为6×6＝36.题型二

分步乘法计数原理应用【例2】第10页(2)确定平面上第二象限内点P，可分两步完成：第一步确定a值，因为a＜0，所以有3种不一样方法；第二步确定b值，因为b＞0，所以有2种不一样方法．由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内点P个数为3×2＝6.规律方法利用分步乘法计数原理处理问题应注意：(1)要按事件发生过程合理分步，即分步是有先后次序；(2)各步中方法相互依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．第11页

乒乓球队10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不一样出场安排共有多少种？解按出场位置次序逐一安排．第一位置队员安排有3种方法；第二位置队员安排有7种方法；第三位置队员安排有2种方法；第四位置队员安排有6种方法；第五位置队员安排只有1种方法．由分步乘法计数原理知，不一样出场安排方法有3×7×2×6×1＝252(种)．【变式2】第12页现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为责任人，有多少种不一样选法？(2)每班选一名组长，有多少种不一样选法？(3)推选两人做中心讲话，这两人需来自不一样班级，有多少种不一样选法？题型三

两个原理综合应用【例3】第13页[规范解答](1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不一样选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种) (4分)(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以，共有不一样选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．(8分)第14页(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不一样选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不一样选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不一样选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不一样选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不一样选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不一样选法．所以，共有不一样选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)． (12分)第15页【题后反思】(1)在处理详细应用题时，首先必须搞清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”详细标准是什么，选择合理标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，能够防止计数重复或遗漏．(2)对于一些比较复杂既要利用分类加法计数原理又要利用分步乘法计数原理问题，我们能够恰当地画出示意图或列出表格，使问题愈加直观、清楚．第16页

在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不一样选法？解分四类求解：(1)从3名只会下象棋学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；(2)从3名只会下象棋学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；【变式3】第17页(3)从2名只会下围棋学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；(4)从2名既会下象棋又会下围棋学生中选1名参加象棋比赛，剩下一名参加围棋比赛，有2×1＝2种选法．依据分类加法计数原理，一共有6＋6＋4＋2＝18种不一样选法．第18页分类讨论思想是计数原理主要思想，尤其表达在两个原理综合应用上，对于“完成某件事”大多依据实际进行合理分类．尤其对于涂色问题，因为问题处理稍显复杂，既能考查两个原理应用，又能表达分类讨论思想，倍受命题者青睐．方法技巧分类讨论思想在计数原理中应用【示例】如图有4个编号为1、2、3、4小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中一个，而且相邻小三角形颜色不一样，共有多少种不一样涂色方法？第19页[思绪分析]明确用5种颜色涂4个区域，分别考虑1、3同色和1、3不一样色两种情况分类讨论说明．解分为两类：第一类：若1、3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法．故N1＝5×4×1×4＝80(种)．第二类：若1、3