第1章 三角形的证明（单元测试·培优卷）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第1章三角形的证明（单元测试·培优卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍，则下列判断正确的是（

）A．腰是底的2倍 B．底是腰的2倍 C．顶角是 D．底角是或2．如图，已知是等边三角形，点D是直线上一点，以为边向上作等边三角形，连接，则下列结论中错误的是（）当时，是的垂直平分线 当时，的面积最小当点D在直线上时， 当点D在直线上时，3．将两个全等的含30°角的三角尺按右图所示摆放在一起，为两个三角尺的直角顶点，在上，与交于点，若它们的最短边长为3，则以下结论错误的是（

）A． B． C． D．是等边三角形4．如图，在中，，D，E分别是线段上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是（

）

A． B． C． D．5．以的顶点为圆心，大于二分之一为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，，，，那么的长是（

）A． B． C． D．6．如图，在中，点为的中点，、分别是、的角平分线，分别交、于点、，且，，，连接，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．等腰直角三角形斜边长为，则面积为（

）A． B． C． D．8．如图，点A，点B分别在x轴和y轴上，，，则点B的坐标为（）A． B． C． D．9．如图，中，，点E，F分别为边，上的点，将沿折叠得，连接，，过点P作于点D，点D恰好是的中点．若，平分，则（

）A． B． C． D．10．如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论：①；②；③点到直线，直线，直线的距离相等；④．其中正确的结论个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则．12．如图，在边长为等边中，E是上一点且，D、P两点分别在、上移动，当时，才能使与全等．

13．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝．（用α含的式子表示）14．如图，已知等边三角形中，，等腰Rt中，，延长、交于点，连接，则．15．如图，在平面直角坐标系中，点A，A1，A2，…在x轴上，分别以OA，AA1，A1A2，…为边在第一象限作等边△OAP，等边△AA1P1，等边△A1A2P2，…，且A点坐标为(2，0)，直线y=kx+(k>0)经过点P，P1，P2，…，则点P2022的纵坐标为．16．有一块直角三角形纸板，如图所示，，，，，小亮通过作三角形两个内角的平分线找到一点，则点到直角三角形纸板三边的距离之和是．

17．如图所示，点A、B分别是坐标轴上的点，且，轴，点D在x轴负半轴上，，连接OC、BD相交于点E，若四边形ACED的面积为，OE长为1，则点A的坐标为．18．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合，连接DE，请你探究：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）已知四边形，，．（1）如图1，若，则________；（2）如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接．①求的度数；②若，，求的长．20．（8分）在平面直角坐标系中，已知点A，B关于轴对称．（1）如图1，若，，求点的坐标；（2）如图2，若点，点，点为轴正半轴上一点，，连接．点在的延长线上，且，求证．21．（10分）如图，点是等边的边上一点，，点在上，，点在的延长线上，连接．（1）如图1，求的度数；（2）如图1，求证：；（3）如图2，分别是上两个动点，满足，当最小时，直接写出的大小为________（用含的式子表示）．22．（10分）已知，在平面直角坐标系中，直线经过，两点，点C为上一点，横坐标为，直线经过C，两点，交y轴于点E．（1）求点C坐标．（2）猜想的度数并说明理由．（3）若M为直线上一点，N为x轴上一点，以A，M，N为顶点的三角形与全等，直接写出点M的坐标．23．（10分）如图，，，，且、，三点共线，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）请判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．24．（12分）如图（1），平分，．（1）试说明与的位置关系，并予以证明；（2）如图（2），当时，点E，F分别在和的延长线上运动，试探讨和的数量关系；（3）如图（3），和的延长线交于点G，过点D作交于点H，若，问当为多少度时，．参考答案：1．D【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，一元一次方程实际问题．根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分两种情况解答即可得到本题答案．【详解】解：∵等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍∴①设等腰三角形底角为，顶角为，∴，解得，则底角为，②设等腰三角形底角为，顶角为，∴，解得：，则顶角为，A和B选项根据本题所给条件无法得出，故选：D．2．B【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是证明全等；先证明全等，再根据选项确定即可；【详解】∵和都是等边三角形，即，在和中，，，D正确；，C正确；当时，故是的垂直平分线，故A正确；故错误的为B，故选：B．3．A【分析】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识．利用全等三角形的性质，等边三角形的判定解决问题即可．【详解】解：，，，是等边三角形，，∴，，，，，，故选项B，C，D正确．故选：A．4．C【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．分别根据选项中的四个条件求出的大小即可得到答案．【详解】解：，，，是的外角，，，，当时，，，，，故选项A可以确定是等腰三角形，故不符合题意；当时，则，，，，，故选项B可以确定是等腰三角形，故不符合题意；当时，则，，，，，故选项C不可以确定是等腰三角形，故符合题意；当时，则，，，，，故选项D可以确定是等腰三角形，故不符合题意．故选C．5．C【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据角平分线的作图可得，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质可得答案．【详解】解：在中，∴∴∴在中，∴∴∴，∴；故选：C．6．D【分析】如图所示，延长到H，使得，连接，先求出，再证明得到，利用三角形三边的关系得到，再证明，得到垂直平分，则，即可得到．【详解】解；如图所示，延长到H，使得，连接，∵，，∴，∵点为的中点，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，即，∵、分别是、的角平分线，∴，∵，∴，∴，又∵，∴垂直平分，∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．A【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得该等腰直角三角形的直角边为，再利用三角形的面积公式即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：依题意得：该等腰直角三角形的直角边为：，面积为：，故选A．8．C【分析】本题主要考查图形与坐标及含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解【详解】解：∵，，∴，∴点，故选：C．9．C【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．延长交于点，连接，利用等腰三角形的性质求得，，由，点D恰好是的中点，求得，再求得，由折叠的性质即可求解．【详解】解：延长交于点，连接，∵，平分，∴是线段的垂直平分线，，，∴，∵，点D恰好是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，由折叠的性质，得，∴，∴，故选：C．10．D【分析】由角平分线的定义得到，再由平角的定义可得，即，由此即可判断①；根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，则，由此即可判断②；根据角平分线的性质即可判断③；由平行线和角平分线的定义证明，得到，同理可得，由此即可判断④．【详解】解：∵分别平分，∴，∵，∴，即，∴，故①正确；∵的两条角平分线，相交于点∴，∵，∴，∴，故②正确；∵分别平分，∴点G到直线的距离等于点G到直线，点G到直线的距离等于点G到直线的距离，∴点到直线，直线，直线的距离相等，故③正确；∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴，故④正确；故选D．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，等角对等边，三角形内角和定理，平行线的性质等等，熟知角平分线的性质和定义是解题的关键．11．【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明得到，则．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．12．2或【分析】根据D、P两点不同的位置，分两种情况，当得到，再求出的长即可；当时，得到即可得出结果．【详解】解：为等边三角形，，如图，当时，

，；如图，当时，

，故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，根据动点的位置分两种情况求解是解答本题的关键．13．180°﹣α．【分析】根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即可得到结论．【详解】解：延长AE至M，使EM＝AE，连接AF，FM，DM，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△AEC与△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵点F在BD的垂直平分线上，∴FB＝FD，在△MDF与△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案为：180°﹣α．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．/【分析】作CH⊥BE，根据已知条件求出CH，DH，利用勾股定理即可求出CD的长．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=2，∠BAC=60°∵是等腰Rt△∴AB=BD=2∵，∴∠E=30°，∴AE=2AB=4，BE=∴C点AE的中点∴CE=2如图，作CH⊥BE∴CH=，∵BC=CE=2∴BH=∴DH=BD-BH=2-∴CD=故答案为：．【点睛】此题主要考查三角形内长度求解，解题的关键是熟知等边三角形的性质、等腰直角三角形、勾股定理及二次根式的运算．15．32023【分析】先利用等边三角形的性质求得P点坐标为(，3)，再求得直线的解析式为y=x+，设P1点坐标为(x，x+)，利用含30度角的直角三角形的性质求得P1点的纵坐标为9=32，找出规律，即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥轴于点D，∵等边△OAP，且A点坐标为(2，0)，∴OA=OP=2，OD=DA=，∠POD=60°，∴PD=3，∴P点坐标为(，3)，∵直线y=kx+(k>0)经过点P，∴3=k+，解得：k=，∴直线的解析式为y=x+，过点P1作PE⊥轴于点E，设P1点坐标为(x，x+)，∴AE=x-2，P1E=x+，∵∠P1AE=60°，∠AP1E=30°，∴P1E=AE，∴x+=(x-2)，解得：x=5，∴P1点的纵坐标为9=32，同理，P2点的纵坐标为27=33，，∴点P2022的纵坐标为32023．故答案为：32023．【点睛】本题是有关点的坐标的规律题，考查了待定系数法求直线的解析式，等边三角形的性质，勾股定理等，利用数形结合的思想解决问题，与含30度角的直角三角形相结合，使问题得以解决．16．【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】如图所示，连接，，，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，∴，，，，，，则．

故答案为：．17．【分析】首先根据全等三角形的判定定理，即可证得，可得，，，可证得，再根据直角三角形的性质可证得，根据三角形的面积公式，即可求得，最后根据勾股定理可求得，据此即可解答．【详解】解：，在与中，，，，，，，，，，，，，，点A的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得是解决本题的关键．18．【分析】①根据直角三角形及折叠的性质可得，，，，由等角对等边及等腰三角形的性质可得，，利用线段间的数量关系进行等量代换即可得；②作射线MB，使得，过点G作，过点P作交于点C，连接PB，利用勾股定理可得，，由含角的直角三角形的性质可得，根据题意得出最小值即为的最小值，即当P、G、B三点共线时，PC的长度，在中，利用勾股定理求解即可得出PC的长度，即为最小值．【详解】解：①∵，∴，∵点C沿BE折叠与AB上的点D重合，∴，∴，，，∴，∴，，∴，∴，即；②如图所示：作射线MB，使得，过点G作，过点P作交于点C，连接PB，在中，，，∴，，∵，，∴，∴，即当P、G、B三点共线时，取得最小值，在中，∵，，，∴，∴，，∴的最小值为；故答案为：①；②．【点睛】题目主要考查折叠的性质及等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．19．(1)(2)①；②【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）设，则，根据等边对等角解题即可；（2）①运用等边对等角解题即可；②作，为垂足，利用角的直角三角形的性质解题即可．【详解】（1）解：设，则，∵，∴∴，故答案为：；（2）①解：∵，∴为等边三角形，∴，又∵，∴，，∴；②解：作，为垂足，∵，平分，∴∵，∴，∴，∴．20．(1)(2)证明见解析【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形等等：（1）根据轴对称的性质可得轴，，进而证明是等腰直角三角形，得到，则；（2）先求出，再由轴对称的性质得到，，则，证明，得到，即可证明．【详解】（1）解：设于y轴交于C，∵点A，B关于轴对称，，∴轴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）证明：∵，点，∴，∵点A，B关于轴对称，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，21．(1)(2)详见解析(3)【分析】利用等边三角形的性质得，结合三角形外角定理和三角形内角和定理即可求得答案；在上取点，使得，连，利用“边角边”证明，则有和，进一步证得即可；以为边作等边，连接，有，结合可证得，有，则当、、共线时，最小，即可求得．【详解】（1）解：是等边三角形，，，；（2）在上取点，使得，连，如图，，，，，∴，，．，，∴，；（3）以为边作等边，连接，如图，则，∵，∴，∵，∴，，当、、共线时，最小，此时．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、三角形外角定理、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、以及距离最小的问题，解题的关键是作辅助线和熟练全等三角形的证明．22．(1)点C的坐标为(2)，理由见解析(3)点M的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，再求得横坐标为时，纵坐标的值，即可求解；（2）利用勾股定理分别求得，和，利用勾股定理的逆定理即可求解；（3）分两种情况讨论，当与重合时，可求得点M的坐标；作交轴于点，过点作于点，此时与全等