第四单元分数·其三：约分和通分篇【十大考点】-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年3月18日2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列第四单元分数·其三：约分和通分篇【十大考点】专题解读本专题是第四单元分数·其三：约分和通分篇。本部分内容主要是约分和通分，考点考题以计算为主，难度较大，建议作为本章核心内容，并根据学生实际掌握情况，选择性讲解部分内容，一共划分为十个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】约分 3【考点二】最简分数 5【考点三】约分的应用其一：互逆关系 7【考点四】约分的应用其二：知和型 8【考点五】约分的应用其三：知差型 10【考点六】约分的应用其四：差不变原理 11【考点七】通分 12【考点八】通分的应用其一：异分母分数大小比较 15【考点九】通分的应用其二：实际问题中的大小比较 18【考点十】通分的应用其三：三个数的大小比较 20典型例题【考点一】约分。【方法点拨】1.约分：利用分数的基本性质，将分子和分母同时除以同一个非零的数，这个过程叫做约分。2.最简分数：一个分数的分子和分母互质且都为整数时，我们称这个分数为最简分数。（互质数：只有公因数1的两个数。）3.注意：、约分的时候很容易一次约不到位，可以用短除法先找到最大公因数再约分，或者多约几次，直到互质再停，注意强调互质再停止约分。【典型例题】把下面的分数化成最简分数，能化成带分数的要化成带分数。

【答案】；；；；【分析】分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫作最简分数。根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，进行约分即可。假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。【详解】【对应练习1】先约分，再将假分数化成带分数或整数。

【答案】；；；；；2【分析】根据分数的基本性质进行约分，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。【详解】【对应练习2】下列分数中哪些没有化成最简分数？请把它们化成最简分数。

【答案】；；【分析】分子分母公因数只有1的分数是最简分数。那么，、和还没有化成最简分数，将它们的分子分母分别同时除以2、7和3，即可将它们化成最简分数。【详解】、和还没有化成最简分数。【对应练习3】下列分数中哪些是最简分数？把不是最简分数的化成最简分数。

【答案】、、、、是最简分数；化简：＝；＝；＝；＝【分析】一个分数的分子、分母互质，那么这个分数就是最简分数；把一个分数的分子、分母同时除以它们的最大公因数，得到的分数就是最简分数，据此解答。【详解】由分析可知：、、、、是最简分数。＝＝＝＝＝＝＝＝【考点二】最简分数。【方法点拨】一个分数的分子和分母互质且都为整数时，我们称这个分数为最简分数。（互质数：只有公因数1的两个数。）【典型例题1】其一。是以分母为12的最简真分数，则自然数可能是()。解析：2（或4、8）【对应练习】如果是一个最简真分数，那么a可取的整数共有多少个？分别是哪些整数？解析：5个；2，4，8，10，14【典型例题2】其二。一个最简真分数，它的分子与分母的积是18，这个分数是()或()。解析：；【对应练习1】一个最简真分数，它的分子与分母的积是21，这个分数是()或()。解析：

；【对应练习2】一个最简真分数，它的分子、分母的乘积是24，这个分数是()或()。解析：；【典型例题3】其三。如果一个最简真分数，分子分母的和是9，那么这样的最简真分数有()个。解析：分子和分母的和是9，这样的最简真分数有：；；，共计3个。【典型例题4】其四。分数单位是的最简真分数有()个。解析：4【对应练习1】分数单位是的最简真分数有()个，其中最小的是()。解析：4；【对应练习2】分母是7的最简真分数有()个。解析：6【对应练习3】分数单位是的最简真分数有()个。解析：2【典型例题5】其五。分母是10的所有最简真分数的和是()。解析：＋＋＋＝2【对应练习1】分母是8的最简真分数的和是()。解析：分母是8的最简真分数：、、、；＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝2【对应练习2】分母是5的最简真分数的和是()。解析：分母是5的最简真分数有：、、、，＋＋＋＝＝＝＝2【对应练习3】分母是12的最简真分数有()，它们的和是()。解析：、、、；2【考点三】约分的应用其一：互逆关系。【方法点拨】根据约分的意义，利用乘除法的互逆关系求原分数。【典型例题】一个分数，用2约分一次，再用3约分一次，得到，原来这个分数是()。解析：2×3×2＝12、3×3×2＝18，原来这个分数是。【对应练习1】化简一个分数时，用2约了两次，用3约了两次，得。化简之前原来的分数是()。解析：＝＝化简之前原来的分数是。【对应练习2】把一个分数用2约分一次，用5约分一次，得，这个分数原来是()。解析：＝＝即这个分数原来是。【对应练习3】化简一个分数时，用2约分一次，又用3约分一次，再用5约分一次，得，原来的分数是()。解析：＝＝【考点四】约分的应用其二：知和型。【方法点拨】知和型，即原来的分子分母和÷化简后的分子分母和=分子分母同时除以的数（一份数）。【典型例题】一个分数约分后是。约分之前分子与分母的和是160，约分前的分数是()。解析：160÷（3＋5）＝160÷8＝20＝＝约分前的分数是。【对应练习1】一个分数，分子与分母的和是60，这个分数约分后是，原分数是()。解析：60÷（2＋3）＝60÷5＝1212×2＝2412×3＝36所以，原来这个分数是。【对应练习2】的分子加上一个数，分母减去同一个数，所得的新分数约分后得。这个新分数约分之前是多少？解析：13＋53＝6666÷（3＋8）×3＝66÷11×3＝6×3＝1866－18＝48答：这个新分数约分之前是。【对应练习3】一个分数分子和分母和是54，约分后是，原来分数是几？解析：分子：54×＝54×＝12分母：54×＝54×＝42答：原来分数是。【对应练习4】一个分数，分子与分母的和是63，如果分母加上17，这个分数约分后是，原分数是()。解析：63＋17＝8020＋60＝80，符合题意。60－17＝43所以原分数是。【考点五】约分的应用其三：知差型。【方法点拨】知差型，即原来的分子分母差÷化简后的分子分母差=分子分母同时除以的数（一份数）。【典型例题】一个分数的分母比分子大24，约分后是，这个分数是。解析：一份数：24÷（8－5）＝8；这个分数是。【对应练习1】一个分数，它的分母比分子大24，约分后是，这个分数原来是()。解析：【对应练习2】一个分数的分子和分母相差54，约分后是，这个分数是多少？解析：

＝54÷6＝9答：这个分数是。【对应练习3】某分数的分母加上2，分子减去2，所得的新分数的分母与分子的差是123，约分后得。原来的这个分数是多少？解析：原来的分数是【考点六】约分的应用其四：差不变原理。【方法点拨】分子和分母同减或同加约分后得到一个新的分数，原分数分子和分母差不变，根据差不变原理先求出一份数，再求出对应的分数，最后再根据加减法的互逆关系求出这个数。【典型例题】的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？解析：差：30-23=7一份：7÷（4-3）=7约分前为减去：23-21=2答：同时减去的这个数是2。【对应练习1】将的分子和分母都减去同一个数得到一个新分数，新分数约分后是，减去的数是多少？解析：答：减去的数是9。【对应练习2】分数的分子和分母同时加上一个数后，约分得，分子和分母同时加上的数是多少？解析：（13-5）÷（2-1）-5=3答：同时加上的这个数是3。【对应练习3】将的分子和分母都减去同一个数得到一个新分数，新分数约分后是，减去的数是()。解析：新分数的分母与分子的差与原分数分母与分子的差相等，为；所以新分数的分子就是16，减去的数是。【考点七】通分。【方法点拨】1.通分：将两个或者两个以上的分数的分母化为相同的数的过程叫做通分。2.通分的方法：（1）利用短除法或者枚举法找到分母的最小公倍数；（2）计算每个分数的分母化为最小公倍数时的变化情况，分子也随之变化。3.注意：通分也不改变分数的大小。【典型例题】把下列各组分数通分。（1）和

（2）和（3）和

（4）和【答案】（1）、；（2）、（3）、；（4）、【分析】带分数化假分数的方法：用整数部分乘分母加分子，再根据通分的方法：通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。【详解】（1）、（2）、（3）、（4）、【对应练习1】把下面各组分数通分。和

和

和

和【答案】和；和和；和【分析】通分的方法：通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后根据分数的基本性质，把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。【详解】和＝＝和＝＝和＝＝和＝【对应练习2】通分。和

和

和

和【答案】和；和；和；和【分析】通分的方法：通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。【详解】＝＝，＝＝；＝＝，＝＝；＝＝，＝；＝＝，＝＝。【对应练习3】把下面每组中的两个分数通分。和

和

和

和和

和

和

和【答案】＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；把异分母分数分别化为与原来分数相等的同分母分数的过程，叫做通分；先找到分母的最小公倍数，然后根据分数的基本性质进行通分。【详解】＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝【考点八】通分的应用其一：异分母分数大小比较。【方法点拨】如果分母相同，就直接比分子，分子大的分数值就比较大；如果分子相同，就直接比分母，分母小的分数值就比较大；分子分母都不相同的分数的大小比较，将比较的几个分数通分，使分母相等，再根据分子的大小来比较。【典型例题】比较各组分数的大小。和

和

和【答案】；；【分析】异分母异分子分数比较大小时，先将分母通分，得到同分母分数；同分母分数比较大小时，分子大的分数大，分子小的分数小。据此可得出答案。【详解】，，则；，，则；，，则【对应练习1】先通分，再比较大小。和和和。【答案】和，；和，；和，；【分析】先将每一组的分数化成同分母分数，用这一组分数的两个分母的公倍数作公分母即可。然后再按照同分母分数比较大小的方法进行比较即可。【详解】＝＝，＝＝，＞，即。＝＝，＝＝，＜，即。＝＝，＝＝，＜，即【对应练习2】把下面每组分数通分后再比较大小。和

和

和【答案】＞；＞；＞【分析】用两个分数分母的最小公倍数作公分母，然后根据分数的基本性质，把异分母分数通分成同分母分数，再根据同分母分数大小的比较方法，比较大小。【详解】因为＝，所以＞；因为＝，＝，所以＞；因为＝，＝，所以＞。【对应练习3】先通分再比较每组分数的大小。和

和

和

和【答案】＜；＞；＜；＜【分析】分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变，12和8的最小公倍数为24，的分子和分母同时乘2，的分子和分母同时乘3；16和32的最小公倍数为32，的分子和分母同时乘2；5和4的最小公倍数为20，的分子和分母同时乘4，的分子和分母同时乘5；20和8的最小公倍数为40，的分子和分母同时乘2，的分子和分母同时乘5，再根据“同分母分数比较大小时，分子越大分数值越大，分子越小分数值越小”比较两个分数的大小关系，据此解答。【详解】（1）＝＝＝＝因为＜，所以＜。（2）＝＝因为＞，所以＞。（3）＝＝＝＝因为＜，所以＜。（4）＝＝＝＝因为＜，所以＜。【考点九】通分的应用其二：实际问题中的大小比较。【方法点拨】如果分母相同，就直接比分子，分子大的分数值就比较大；如果分子相同，就直接比分母，分母小的分数值就比较大；分子分母都不相同的分数的大小比较，将比较的几个分数通分，使分母相等，再根据分子的大小来比较。【典型例题】张叔叔和李叔叔参加工厂的技能比赛。张叔叔加工完所有零件的时，李叔叔加工完所有零件的。在这段时间里，谁的比赛成绩更好一些？【答案】李叔叔【分析】比较张叔叔和李叔叔的工作量，即可得出相同时间内，谁的工作量大，谁的成绩就更好一些。分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小；分子、分母都不相同时，化成同分母或同分子的分数进行比较。【详解】＝＝＝＝＜，所以＜。答：在这段时间里，李叔叔的比赛成绩更好一些。【对应练习1】甲乙两个打字员打同一份稿件，甲打字员平均每秒打0.8个字。乙打字员平均每秒打个字。哪位打字员的速度快一些？【答案】乙打字员【分析】根据小数与分数的关系，把0.8化为分数形式，即0.8＝，再根据异分母分数比较大小的方法，先通分化为同分母分数比较大小的方法进行比较即可。【详解】，即0.8＜。答：乙打字员速度快。【对应练习2】有一块菜地，计划用总面积的种黄瓜，种茄子，种西红柿。这三种蔬菜哪一种蔬菜的种植面积最大？哪一种蔬菜的种植面积最小？【答案】茄子；黄瓜【分析】把总面积看作单位“1”，计划用总面积的种黄瓜，种茄子，种西红柿，单位“1”一样，所以只需要比较三种蔬菜占总面积的分率的大小，利用通分法，即可得解。【详解】，，所以＞＞。答：茄子的种植面积最大，黄瓜的种植面积最小。【点睛】此题主要考查分数的意义以及异分母分数比较大小的方法。【对应练习3】郑州地铁的吉祥物叫“晶晶”，是一只可爱的小象。新郑机场站商店购进一批数量相同的小号、中号、大号“晶晶”吉祥物玩偶，第一天小号玩偶售出，中号玩偶售出，大号玩偶售出。这天哪种玩偶的销量最好？【答案】小号玩偶【分析】小号、中号和大号三种玩偶购进的数量相同，只要通过比较、、这三个分数，哪个分数大，则对应的玩偶售出的数量较多，据此解答。【详解】因为，所以，因此小号玩偶的销量最好。答：小号玩偶的销量最好。【点睛】解答本题的关键是掌握异分母异分子分数大小的比较方法。【考点十】通分的应用其三：三个数的大小比较。【方法点拨】如果分母相同，就直接比分子，分子大的分数值就比较大；如果分子相同，就直接比分母，分母小的分