江苏省南京市五校共同体2024-2025学年高一下学期第一次阶段检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省南京市五校共同体2024-2025学年高一下学期第一次阶段检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知点，则与向量方向相反的单位向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由点，可得，且，则与向量方向相反的单位向量.故选：B.2.计算的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.3.已知向量，满足，，，则（）A. B. C.8 D.40【答案】B【解析】因为向量，满足，，，所以，则.故选：B．4.设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为（）A.－8 B.8 C.6 D.－6【答案】A【解析】由已知得，三点A，B，D共线，存在实数使，，，解得.故选：A.5.已知分别为三个内角的对边，且，则是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.钝角三角形【答案】D【解析】因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，因为，可得，所以，又因为，所以，所以为钝角三角形.故选：D.6.若，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，，，，，.故选：B.7.在中，，，为线段上一点，且满足，若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∵，∴，∵三点共线，∴，故，∴.∵，∴，∵，，，∴.故选：B.8.已知，且，则有（）A.最大值 B.最小值C.取不到最大值和最小值 D.以上均不正确【答案】D【解析】由可得：，展开得：，即（*），因且，故，由（*）可得：.由，因，则，由，可得：，当且仅当时，即时，时，等号成立，故时，有最大值为.故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.）9.在中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】BC【解析】对于A：，则，故三角形有2个解，故A错误；对于B：三角形三边确定，三角形唯一，故B正确；对于C：由余弦定理得，所以，解得或（舍），所以能唯一确定三角形，故C正确；对于D：由余弦定理得，所以，，方程无解，所以无法构成三角形，故D错误.故选：BC.10.已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（）A.与共线 B.与的夹角余弦值为C.向量在向量上的投影向量为 D.若，则【答案】BD【解析】对于A，，又，，与不共线，故A错误；对于B，，又，，故B正确；对于C，向量在向量上的投影向量为，故C错误；对于D，，则，故D正确.故选：BD.11.已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（）A.的取值范围是B.若D是AC边上的一点，且，则的面积的最大值为C.若三角形是锐角三角形，则的取值范围是D.若O是的外心，，则【答案】BCD【解析】因为，由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，即，且，所以.对于选项A：因为，且，则，可得，所以，故A错误；对于选项B：因为，则，可得，即，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的面积的最大值为，故B正确；对于选项C：因为，又因为，解得，可得，则，所以，故C正确；对于选项D：因，则，可知点在优弧上（端点除外），因为，则，又因为，且，可得，即，又因为，即，解得，当且仅当时，等号成立，可得，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．【答案】【解析】由，得．又与的夹角为钝角，∴，得，若，则，即．当时，与共线且反向，不合题意．综上，k的取值范围为.13.在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于点，且，则的最小值为___________.【答案】18【解析】在中，由的平分线交于点，得，而且，则，化简得，即，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为18.14.已知，函数，，在上单调，则的取值范围是______________.【答案】【解析】因为，因为，当时，，因为函数在上单调，则，所以其中，解得，所以，解得，又因为，则．当时，；当时，；因此的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知，，.（1）若与垂直，求实数值；（2）若与方向相同，求实数的值.解：（1）已知，展开可得.因为，所以，则，解得.因为与垂直，所以.展开可得：，将，，代入上式可得：，化简得，解得.（2）因为与方向相同，所以与共线.则存在实数，使得，即.由此可得方程组，将代入可得：，即，，解得.因为，所以，则.16.已知，函数.（1）若，求函数最值及对应的的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为，，所以===，∵x∈，∴，当，即时，，当，即时，.（2）方法一：∵），，故的取值范围为.方法二：∵），，故的取值范围是.17.在①，②，且，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角所对的边分别.已知______．（1）求角的大小；（2）若是的中点，，求面积的最大值．解：（1）选择条件①：∵，∴，由余弦定理得，∵，∴.选择条件②：∵，，，∴，故，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，即.选择条件③：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴.（2）∵是的中点，∴，即，∴，即，∴，∵，∴，故，当且仅当时，等号成立，∴面积，即面积的最大值为.18.如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，.（1）若，求的面积；（2）证明：；（3）若，求面积的取值范围.解：（1）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记，在中，由余弦定理，，所以，则，所以，又因为等边三角形，所以，且，所以，则的面积为.（2）在中，由正弦定理可得，即且，由于，故，由于三角形中，，因此，得证.（3）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设，在中，由余弦定理，，，在中，由正弦定理，，即，所以，结合，，又因为，所以，所以，即的面积的取值范围为．19.如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记.（1）在仿射坐标系中.①若，求；②若，且，的夹角为，求；（2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C