小题突破导数常考小题归纳【切线单调性极值最值与不等式】【原卷】

【导数常考小题题型归纳】【真题+模拟精选】总览总览题型梳理题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：在某点出的切线方程】知识讲解知识讲解1.明确切线的定义：切线是指一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。对于函数，在点处的切线，是当割线的两个端点无限趋近于该点时，割线的极限位置所确定的直线。2.求切线斜率：根据导数的几何意义，函数在点处的导数就是曲线在点处切线的斜率。所以，首先需要对函数求导，然后将代入导函数中，得到切线的斜率。3.确定切点坐标：已知要求切线方程的点为，其中。这个点既在曲线上，也在切线上。4.使用点斜式求切线方程：点斜式方程为，将求得的斜率和切点坐标代入点斜式方程，即可得到曲线在点处的切线方程。例题精选例题精选【例题1】（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【例题2】（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【例题3】（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为．相似练习相似练习【相似题1】（2019·天津·高考真题）曲线在点处的切线方程为.【相似题2】（2019·全国I卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为．【相似题3】（2015·新课标Ⅱ·高考真题）已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=．【题型2：过某点的切线方程或未知切点的切线问题】知识讲解知识讲解1.判断该点是否在曲线上 把该点的坐标代入曲线方程，如果等式成立，则该点在曲线上；否则，该点不在曲线上。2.当点在曲线上时 设切点坐标为，因为点在曲线上，所以。 对函数求导，得到导函数。 根据导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率。 由点斜式可得切线方程为。3.当点不在曲线上时 设切点坐标为，则。 对函数求导，得到导函数，那么切线斜率。 由点斜式写出切线方程。 因为切线过已知点，将其代入切线方程可得。 又因为，所以得到关于的方程，解这个方程求出的值。 将的值代入和，再利用点斜式即可写出切线方程。例题精选例题精选【例题1】（2007·全国·高考真题）已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（

）A．3 B．2 C．1 D．【例题2】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．【例题3】（2020·全国I卷·高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.相似练习相似练习【相似题1】（2004·湖南·高考真题）经过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是．【相似题2】（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（e，1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.【相似题3】（2008·江苏·高考真题）直线是曲线的一条切线，则实数．【题型3：切线的条数问题】知识讲解知识讲解1.设切点设切点坐标为，其中。因为切线是在切点处与曲线相切的直线，所以设出切点是解题的关键第一步。2.求切线方程对函数求导，得到导函数。根据导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率。由点斜式可得切线方程为。3.代入已知点如果是过某已知点作曲线的切线，将该点代入切线方程，得到。4.转化为方程求解将代入上式，得到关于的方程。此时方程的解的个数就是切线条数。一般来说，这个方程可能是一个超越方程或高次方程，需要通过分析函数的性质来确定解的个数。5.分析函数性质构造函数：将关于的方程变形为的形式，构造函数。求导分析单调性：对求导，分析其单调性和极值情况。通过判断函数的单调性和极值与的关系，来确定函数与轴的交点个数，即方程的解的个数，从而得出切线条数。例题精选例题精选【例题1】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【例题2】（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（

）.A． B． C． D．【例题3】（2024·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．相似练习相似练习【相似题1】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【相似题2】（2425高三下·湖南永州·开学考试）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是.【题型4：公切线问题，切线垂直问题】知识讲解知识讲解1.明确两条曲线的方程 设两条曲线分别为和，清楚它们的具体表达式，以便后续进行求导等运算。2.分别求两条曲线的导数 对求导得，对求导得。导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，所以和分别表示两条曲线在任意点处切线的斜率。3.设公切线与两条曲线的切点 设公切线与曲线的切点为，与曲线的切点为。 则，。4.根据导数几何意义写出公切线方程 对于曲线，在点处的切线方程为，即。 对于曲线，在点处的切线方程为，即。5.利用公切线的条件建立等式 因为是公切线，所以两条切线方程表示的是同一条直线，那么它们的斜率和截距都相等。 可得方程组。6.分析方程求解及公切线条数 通过解方程组来确定和的值。 一般情况下，将进行变形，用表示（或反之），代入中，得到一个关于（或）的方程。 然后分析这个方程解的个数： 若方程有唯一解，则公切线有条。 若方程有两个不同的解，则公切线有条。 若方程无解，则公切线不存在。 在分析方程解的个数时，可能需要对得到的方程进行进一步的变形和分析，比如构造函数，通过研究函数的单调性、极值、最值等性质来确定函数零点的个数，即方程解的个数，从而确定公切线条数。例题精选例题精选【例题1】（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【例题2】（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.【例题3】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是．相似练习相似练习【相似题1】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则．【相似题2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则.【相似题3】（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则.【题型5：求函数的单调性与参数范围】知识讲解知识讲解导数求函数单调性知识讲解：对于函数，在某区间内，若，函数单调递增；若，函数单调递减。导数为零的点是驻点，驻点对单调性判断有重要意义。解题思路对函数求导得。令，求驻点。依据驻点划分定义域区间，判断各区间正负。根据正负确定函数在各区间单调性。已知单调性求参数范围知识讲解：已知函数单调性求参数范围，是将其转化为导数对应的不等式恒成立问题，再求解参数范围。解题思路若函数在区间单调递增，则在区间恒成立；若单调递减，则在区间恒成立。把（或）转化为含参数不等式。通过分离参数、构造函数等方法解不等式，得出参数取值范围。例题精选例题精选【例题1】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【例题2】（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．【例题3】（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.相似练习相似练习【相似题1】（2014·大纲版·高考真题）若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是.【相似题2】（2025·湖北鄂州·一模）已知函数在上单调递减，则a的取值范围为.【相似题3】（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是．【题型6：函数的极值与最值】知识讲解知识讲解导数求函数极值知识讲解：函数极值点处导数为0（但导数为0的点不一定是极值点）。若在点左侧，右侧，则为极大值点；反之，左侧，右侧，为极小值点。解题思路对函数求导得。令，求解得到可能的极值点。以这些点划分区间，判断各区间正负，确定是极大值点还是极小值点，进而求出极值。导数求函数最值知识讲解：函数在闭区间$[a,b]$上的最值，可能在端点处取得，也可能在极值点处取得。解题思路按求极值步骤求出函数在开区间内的极值。计算函数在区间端点与的值。比较极值与端点值，其中最大的为最大值，最小的为最小值。例题精选例题精选【例题1】（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．【例题2】（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1【例题3】（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．相似练习相似练习【相似题1】多选题（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．【相似题2】（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是．【相似题3】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）函数的最小值为.【题型7：三次函数的性质】知识讲解知识讲解1.表达式：三次函数的一般形式为（）。2.单调性 当时，函数先递减后递增再递减，或先递增后递减再递增。 当时，函数先递增后递减再递增，或先递减后递增再递减。 其单调性可通过求导来确定，对求导得，根据导数的正负来判断函数的单调性。3.极值：三次函数可能有两个极值点，也可能没有极值点。令，根据判别式来判断： 当时，函数有两个不同的极值点。 当时，函数无极值点。4.对称性：三次函数的图像是中心对称图形，其对称中心的横坐标为，将代入函数可得到对称中心的纵坐标。5.零点个数 当时，若函数的极大值大于且极小值小于，则函数有三个不同的零点；若极大值等于或极小值等于，则函数有两个零点；若极大值小于或极小值大于，则函数有一个零点。 当时，情况与时类似，只是极大值与极小值的大小关系相反。6.渐近线：三次函数没有渐近线。7.值域：当时，值域为；当时，值域也为。8.拐点：三次函数的二阶导数，令，解得，所以三次函数的拐点为，这也是函数的对称中心。在拐点处，函数的凹凸性发生改变。例题精选例题精选【例题1】多选题（2024·广东江苏·高考真题）设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，【例题2】多选题（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【例题3】多选题（2025·河北石家庄·一模）函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，的极小值为0B．若有3个零点，，，则C．若，则为奇函数D．当时，在区间上单调递增相似练习相似练习【相似题1】多选题（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数满足，，则（

）A．B．对于任意，有三个零点C．对于任意，有两个极值点D．存在，使得点为曲线对称中心【相似题2】多选题（2025·江西宜春·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（

）A．有3个零点B．的图象关于点对称C．既有极大值又有极小值D．经过点且与的图象相切的直线有2条【相似题3】多选题（2425高三下·甘肃白银·开学考试）已知函数，则下列命题中正确的是（

）A．0是的极小值点B．当时，C．若，则D．若存在极大值点，且，其中，则【题型8：函数的零点问题】知识讲解知识讲解1.求函数的导数：对给定的函数求导，得到。通过导数来分析函数的单调性、极值等性质。2.分析函数单调性：根据的正负性确定函数的单调区间。令，解得的区间为函数的单调递增区间；令，解得的区间为函数的单调递减区间。3.确定函数的极值点和极值：令，求出函数的极值点。将极值点代入中得到对应的极值。这些极值对于判断函数零点的个数非常关键。4.分析函数的端点值或极限值：计算函数在区间端点处的值，或者考虑当趋近于正无穷、负无穷时函数的极限值。结合函数的单调性和极值，来确定函数与轴的交点情况。5.根据零点存在定理判断零点个数：如果函数在某区间两端点的值异号，即，那么在区间内至少存在一个零点。再结合函数的单调性和极值情况，进一步确定零点的具体个数。例题精选例题精选【例题1】（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例题2】（2015·新课标Ⅰ·高考真题）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例题3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．相似练习相似练习【相似题1】（2024·广东·一模）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【相似题2】（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是.【相似题3】（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是.【题型9：构建函数比较大小】知识讲解知识讲解1.观察式子特征，构造函数 分析结构相似性：观察待比较大小的两个式子，寻找它们结构上的相似之处，以此为依据构造函数。例如，若两个式子都形如与，且和中的次数、运算关系有规律，可尝试构造。比如比较与的大小，可构造。 考虑常见函数模型：联系常见函数及其导数性质，如指数函数（）、对数函数（）、幂函数（）等。若式子中出现，可构造，其导数。2.对构造函数求导 运用求导公式和法则：准确运用求导公式、、等，以及求导的四则运算法则，，对构造函数求导。例如，对求导，根据上述公式和法则可得。3.分析导数性质，确定函数单调性 判断导数正负：根据给定的的取值范围，分析导数的正负情况。例如在中，当时，，所以；当时，，则。 确定函数单调性：由导数正负确定函数单调性。当时，函数在对应区间单调递增；当时，函数在对应区间单调递减。所以在上单调递减，在上单调递增。4.利用函数单调性比较大小 找到对应自变量值：确定所比较大小的两个数在构造函数定义域内对应的自变量，。例如要比较与的大小，此时。 依据单调性判断：根据函数单调性，若且函数在区间单调递增，则；若函数单调递减，则。对于，因为在单调递增，，，所以，即。例题精选例题精选【例题1】（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【例题2】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【例题3】（2025·山西临汾·二模）设，则（

）A． B． C． D．相似练习相似练习【相似题1】（2025·云南·一模）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【相似题2】（2025·海南·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【相似题3】（2024·甘肃·模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【题型10：不等式的恒成立问题】知识讲解知识讲解1.变量分离 将不等式中的参数与变量分离，使不等式一边只含有参数，另一边只含有变量及其函数形式。例如对于不等式（）恒成立，可变形为（）。这样就把问题转化为求右边函数在给定区间上的最值问题。2.构造函数 根据分离变量后的式子，构造一个新的函数。如上述例子中构造函数（）。构造函数时要注意函数的定义域，需与原不等式中变量的取值范围一致。3.求导分析函数单调性 对构造的函数求导，得到。利用求导公式和法则准确计算导数。例如对于，根据除法求导法则，，，，，可得。 接着分析在定义域内的正负性。通过对进一步分析（如再求导判断其单调性等），确定的单调区间。例如设，对求导得，当时，，在单调递增，，即，所以在单调递增。4.求函数最值 根据函数单调性，求出函数在给定区间上的最值