2024-2025学年高中数学第二章平面向量第3节平面向量的基本定理及坐标表示第2课时平面向量的正交分解及坐标表示教案含解析新人教A版必修4

PAGEPAGE10第2课时平面对量的正交分解及坐标表示[核心必知]1．预习教材，问题导入依据以下提纲，预习教材P94～P100的内容，回答下列问题．(1)在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量关于e1，e2的分解是唯一的吗？提示：唯一．(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量.依据平面对量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？提示：相同．(3)假如向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？提示：一一对应．(4)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b，a－b，λa的坐标？提示：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出的坐标吗？提示：能．＝(x2－x1，y2－y1)．2．归纳总结，核心必记(1)平面对量的正交分解把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解．(2)平面对量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，则(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．(3)向量i，j，0的坐标表示i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．(4)平面对量的坐标运算文字符号加法两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘向量实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)(5)平面对量共线的坐标表示前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0结论当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线[问题思索](1)在平面直角坐标系中，若a＝b，那么a与b的坐标具有什么特点？为什么？提示：若a＝b，那么它们的坐标相同，依据平面对量基本定理，相等向量在平面直角坐标系中的分解是唯一的，所以相等向量的坐标相同．(2)与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)，与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．(3)点的坐标与向量坐标有什么区分和联系？提示：区分：①表示形式不同，向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．②意义不同，点A(x，y)的坐标表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标既表示大小，又表示方向；另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)．联系：当平面对量的起点在原点时，平面对量的坐标与向量终点坐标相同．(4)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示为eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)吗？提示：不肯定，为使分式有意义，需分母不为0，可知只有当x2y2≠0时才能这样表示．(5)假如两个非零向量共线，你能通过其坐标推断它们是同向还是反向吗？提示：将b写成λa的形式，依据λ的符号推断，如a＝(－1,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(1,3)))＝－eq\f(1,6)(－1,2)＝－eq\f(1,6)a，故a，b反向．[课前反思](1)平面对量的正交分解：；(2)平面对量的坐标表示：；(3)平面对量的坐标运算：；(4)平面对量共线的坐标表示：.学问点1向量的坐标表示讲一讲1．(1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝eq\r(2)，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(eq\r(2)，eq\r(2))D．(－eq\r(2)，－eq\r(2))(2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是______．(填序号)①向量a可以表示为a＝mi＋nj；②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标．[尝试解答](1)由题意，a＝(eq\r(2)cos45°)i＋(eq\r(2)sin45°)j＝i＋j＝(1,1)．(2)由平面对量的基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝mi＋nj，所以①正确．当a＝时，均有a＝(x，y)，所以②错，③正确．答案：(1)A(2)①③类题·通法求点和向量坐标的常用方法(1)在求一个向量时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．练一练1．在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a1＝|a|cos45°＝2eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，a2＝|a|sin45°＝2eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，b1＝|b|cos120°＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，b2＝|b|sin120°＝3eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，c1＝|c|cos(－30°)＝4eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，c2＝|c|sin(－30°)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2.因此a＝(eq\r(2)，eq\r(2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq\r(3)，－2)．学问点2平面对量的坐标运算讲一讲2．(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标；(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．[尝试解答](1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．(2)法一：由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，所以＝3＝3(1,8)＝(3,24)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20；＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2，所以M(0,20)，N(9,2)，＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．法二：设点O为坐标原点，则由＝3，＝2，可得－＝3(－)，－＝2(－)，从而＝3－2，＝2－，所以＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)，＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)，即点M(0,20)，N(9,2)，故＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．类题·通法(1)平面对量坐标运算的方法①若已知向量的坐标，则干脆利用向量和、差及向量数乘运算的坐标运算法则求解．②若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算法则求解．(2)坐标形式下向量相等的条件及其应用①条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．②应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．练一练2．(1)已知3a－2b＝(3，－2)，a＝(x,2)，b＝(0，y)，则x，y的值分别为()A．－1,2B．1，－4C．1,4D．－1,4(2)设点N的坐标为(1,2)，点M的坐标为(3,2)，则向量的坐标为________．解析：(1)由3a－2b＝3(x,2)－2(0，y)＝(3x,6)－(0,2y)＝(3x,6－2y)＝(3，－2)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＝3，,6－2y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4.))(2)＝(3,2)－(1,2)＝(3－1,2－2)＝(2,0)．答案：(1)C(2)(2,0)学问点3向量共线的坐标表示讲一讲3．(1)下列各组向量是平行向量的有________．(填序号)①a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))，b＝(－2，－3)；②a＝(0.5,4)，b＝(－8,64)；③a＝(2,3)，b＝(3,4)；④a＝(2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，2)).(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，推断与是否共线？假如共线，它们的方向是相同还是相反？[尝试解答](1)①eq\f(1,2)(－3)－eq\f(3,4)(－2)＝－eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝0，∴a∥b.②0.564－4(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行．③24－33＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行．④22－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行．(2)＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．法一：∵(－2)(－6)－34＝0，∴与共线，通过视察可知，和方向相反．法二：∵＝－2，∴与共线且方向相反．答案：(1)①类题·通法(1)向量共线的判定方法①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.②利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0干脆求解．(2)三点共线的实质与证明步骤①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满意方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一样的．②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(ⅰ)证明向量平行；(ⅱ)证明两个向量有公共点．练一练3．(1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k为何值时，(ka＋b)∥(a－3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？(2)已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．①求实数x的值，使向量与共线；②当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(－3,2)，∴ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．由题意得(k－3)(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3).此时ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)，∴当k＝－eq\f(1,3)时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反．(2)①＝(x,1)，＝(4，x)．∵∥，∴x2＝4，x＝±2.②由已知得＝(2－2x，x－1)，当x＝2时，＝(－2,1)，＝(2,1)，∴和不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，∴∥，此时A，B，C三点共线．又∥，∴A，B，C，D四点在一条直线上．综上，当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是平面对量的坐标表示及运算、平面对量共线的坐标表示．2．本节课要重点驾驭以下三个问题(1)向量的坐标表示，见讲1；(2)向量的坐标运算，见讲2；(3)向量共线的坐标表示，见讲3.3．要正确理解向量平行的条件(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．(2)a∥b⇔a1b2－a2b1＝0，其中a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．(3)a∥b⇔eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)，其中a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)且b1≠0，b2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．课下实力提升(十八)[学业水平达标练]题组1向量的坐标表示1．给出下列几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应多数个相等的向量，故③错误．2．已知向量＝(1，－2)，＝(－3,4)，则eq\f(1,2)等于()A．(－2,3)B．(2，－3)C．(2,3)D．(－2，－3)解析：选A＝－＝(－3,4)－(1，－2)＝(－4,6)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－4,6)＝(－2,3)．3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，∴＝(2,3)，BC＝(－3,3)．∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)题组2平面对量的坐标运算4．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为()A．(－7,6)B．(7,6)C．(6,7)D．(7，－6)解析：选D设D(x，y)，由＝，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，∴D(7，－6)．5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3,5)D．(2,4)解析：选B∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3，－5)，故选B.6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))所以m－n＝－3.答案：－37．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝eq\f(1,3)，＝－eq\f(1,3)，求点C，D和的坐标．解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．∵＝eq\f(1,3)，＝－eq\f(1,3)，∴(x1＋1，y1－2)＝eq\f(1,3)(3,6)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝－eq\f(1,3)(－3，－6)＝(1,2)．则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0.))∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此＝(－2，－4)．题组3向量共线的坐标表示8．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2解析：选B由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)4－32＝0，解得λ＝eq\f(1,2).9．已知A，B，C三点共线，＝－eq\f(3,8)，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．解析：设点C的纵坐标为y.∵A，B，C三点共线，＝－eq\f(3,8)，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－eq\f(3,8)(y－2)．∴y＝10.答案：1010．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且＝eq\f(1,3)，＝eq\f(1,3)，求证：∥.证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．因为＝eq\f(1,3)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，所以(x1＋1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，故Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))；因为＝eq\f(1,3)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，所以(x2－3，y2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，故Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)).所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).又因为4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq\f(8,3)(－1)＝0，所以∥.11．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a＋b－2c；(2)求满意a＝mb＋nc的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴－m＋4n＝3且2m＋n＝2，解得m＝eq\f(5,9)，n＝eq\f(8,9).(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0.∴k＝－eq\f(16,13).[实力提升综合练]1．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λb＝0，则m＝()A．0B．2C．0或2D．0或－2解析：选C∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋λm2＝0，,1＋2λ＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,m＝0或2，))故选C.2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析：选D∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，假如c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，明显c与d不平行，解除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)等于()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－2D．2解析：选A由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为________．解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵∥，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满意的条件为________．解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线．∵＝－＝(3,1)，＝－＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，即m≠eq\f(1,2)，∴m≠eq\f(1,2).答案