2025版高考数学一轮复习课后限时集训62离散型随机变量的均值与方差正态分布理含解析北师大版

PAGE1-课后限时集训(六十二)离散型随机变量的均值与方差、正态分布(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．(2024·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则EX＝()A.eq\f(18,5)B．eq\f(21,5)C．4D．eq\f(24,5)B[由题意知，X的全部可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以EX＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,5)＋5×eq\f(3,10)＝eq\f(21,5).]2．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)听从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：正态分布N(μ，σ2)中，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.4%)A．0.0455 B．0.1359C．0.2718 D．0.3174B[因为P(－3＜ξ＜3)＝0.683，P(－6＜ξ＜6)＝0.954，所以P(3＜ξ＜6)＝eq\f(1,2)×(0.954－0.683)＝0.1355，故选B．]3．已知随机变量ξ的分布列为ξ－1012Pxeq\f(1,3)eq\f(1,6)y若Eξ＝eq\f(1,3)，则Dξ＝()A．1B．eq\f(11,9)C.eq\f(2,3)D．2B[∵Eξ＝eq\f(1,3)，∴由随机变量ξ的分布列知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)＋\f(1,6)＋y＝1，,－x＋\f(1,6)＋2y＝\f(1,3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,18)，,y＝\f(2,9)，))则Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(5,18)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,3)))2×eq\f(2,9)＝eq\f(11,9).]4．(2024·合肥二检)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定全部次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ＝()A．3B．eq\f(7,2)C.eq\f(18,5) D．4B[ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋A\o\al(3,3)C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，则Eξ＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(3,5)＝eq\f(7,2)，故选B．]5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球胜利，则停止发球，否则始终发到3次为止．设某学生每次发球胜利的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则EX＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞eq\f(5,2)或p＜eq\f(1,2).由p∈(0,1)，可得p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).]二、填空题6．设X为随机变量，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，若随机变量X的均值EX＝2，则P(X＝2)等于________．eq\f(80,243)[由X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，EX＝2，得np＝eq\f(1,3)n＝2，∴n＝6，则P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4＝eq\f(80,243).]7．(2024·海口模拟)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：kg)听从正态分布N(25,0.22)，随意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为________．(附：若Z～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.6826，P(|Z－μ|＜2σ)＝95.4%，P(|Z－μ|＜3σ)＝99.7%)0．8185[∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)×(0.683＋0.954)＝0.8185.]8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中随意取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则EX＝________.4．5[X的取值为3,4,5.又P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).所以随机变量X的分布列为X345P0.10.30.6∴E(X)＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5]三、解答题9．(2024·武汉模拟)某市中学某学科竞赛中，某区4000名考生的竞赛成果的频率分布直方图如图所示．(1)求这4000名考生的平均成果eq\x\to(x)(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)认为考生竞赛成果z听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成果eq\x\to(x)和考生成果的方差s2，那么该区4000名考生成果超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？(3)假如用该区参赛考生成果的状况来估计全市参赛考生成果的状况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成果不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s2＝204.75，eq\r(204.75)≈14.31；②Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝95.4%；③0.84154≈0.501.[解](1)由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴eq\x\to(x)＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，∴这4000名考生的平均成果为70.5分．(2)由题知Z听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝eq\x\to(x)＝70.5，σ2＝204.75，σ≈14.31，∴Z听从正态分布N(μ，σ2)，即N(70.5,14.312)．而P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝P(56.19＜Z＜84.81)＝0.683，∴P(Z≥84.81)＝eq\f(1－0.683,2)＝0.1585.∴竞赛成果超过84.81分的人数大约为0.1585×4000＝634.(3)全市参赛考生成果不超过84.81分的概率为1－0.1585＝0.8415.而ξ～B(4,0.8415)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－Ceq\o\al(4,4)×0.84154≈1－0.501＝0.499.10．(2024·辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进肯定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利润200元．(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位：台)，整理得下表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调，X表示当周的利润(单位：元)，求X的分布列及数学期望．[解](1)当n≥20时，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6000；当n≤19时，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2000，∴f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200n＋6000n≥20,600n－2000n≤19))(n∈N)．(2)由(1)得f(18)＝8800，f(19)＝9400，f(20)＝10000，f(21)＝10200，f(22)＝10400，∴P(X＝8800)＝0.1，P(X＝9400)＝0.2，P(X＝10000)＝0.3，P(X＝10200)＝0.3，P(X＝10400)＝0.1，X的分布列为X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1∴EX＝8800×0.1＋9400×0.2＋10000×0.3＋10200×0.3＋10400×0.1＝9860.B组实力提升1．(2024·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为()A.eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．eq\f(5,6)B[由题意知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).]2．(2024·杭州模拟)已知0＜a＜eq\f(1,2)，随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Paeq\f(1,2)－aeq\f(1,2)当a增大时，()A．Eξ增大，Dξ增大B．Eξ减小，Dξ增大C．Eξ增大，Dξ减小D．Eξ减小，Dξ减小B[由题意得，Eξ＝－a＋eq\f(1,2)，Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)＋1))2×a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)－1))2×eq\f(1,2)＝－a2＋2a＋eq\f(1,4)，又∵0＜a＜eq\f(1,2)，∴当a增大时，Eξ减小，Dξ增大．]3．2024年高考前其次次适应性训练结束后，某校对全市的英语成果进行统计，发觉英语成果的频率分布直方图形态与正态分布N(95,82)的密度曲线特别拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成果超过95分的概率是________．eq\f(3,8)[由题意可知每名学生的英语成果ξ～N(95,82)，∴P(ξ＞95)＝eq\f(1,2)，故所求概率P＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,8).]4．某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施状况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3kg)测试，成果在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成果在[9.9,11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成果合格的人数；(2)若从今年该市中学毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成果不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列、均值与方差．[解](1)由频率分布直方图，知成果在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.因为成果在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为eq\f(4,0.1)＝40.又成果在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成果合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.(2)ξ的全部可能取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市中学毕业男生中随机抽取一名成果合格的概率为eq\f