吉林省柳河县第三中学2025年初三适应性考试（三）数学试题含解析

吉林省柳河县第三中学2025年初三适应性考试（三）数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图的立体图形，从左面看可能是（）A． B．C． D．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b<0；②-1≤a≤-23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2A．1个B．2个C．3个D．4个3．－5的倒数是A． B．5 C．－ D．－54．如图，已知AB∥CD，DE⊥AF，垂足为E，若∠CAB=50°，则∠D的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°5．计算2a2＋3a2的结果是（）A．5a4 B．6a2 C．6a4 D．5a26．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（）A． B． C． D．7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为()A．15° B．35° C．25° D．45°8．为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%．为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量(单位：m1)，绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断：①年用水量不超过180m1的该市居民家庭按第一档水价交费；②年用水量不超过240m1的该市居民家庭按第三档水价交费；③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180m1之间；④该市居民家庭年用水量的众数约为110m1．其中合理的是()A．①③ B．①④ C．②③ D．②④9．关于x的方程x2﹣3x+k＝0的一个根是2，则常数k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为4，则的值为A．8 B． C．4 D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知是整数，则正整数n的最小值为___12．直线y=x与双曲线y=在第一象限的交点为（a，1），则k=_____．13．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是_____．14．如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：1；④S四边形AFOE：S△COD＝2：1．其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，P分别在x轴、y轴上，∠APO＝30°．先将线段PA沿y轴翻折得到线段PB，再将线段PA绕点P顺时针旋转30°得到线段PC，连接BC．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段BC的长为_____．16．当x=_____时，分式值为零．17．内接于圆，设,圆的半径为，则所对的劣弧长为_____(用含的代数式表示).三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注，辽阳青少年研究所随机调查了本市一中学100名学生寒假中花零花钱的数量(钱数取整数元)，以便引导学生树立正确的消费观．根据调查数据制成了频分组频数频率0.5～50.50.150.5～200.2100.5～150.5200.5300.3200.5～250.5100.1率分布表和频率分布直方图(如图)．(1)补全频率分布表；(2)在频率分布直方图中，长方形ABCD的面积是；这次调查的样本容量是；(3)研究所认为，应对消费150元以上的学生提出勤俭节约的建议．试估计应对该校1000名学生中约多少名学生提出这项建议．19．（5分）如图，在Rt△ABC中，，CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，BE=CD，连接CE，DE．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）若AC=2，，求DE的长．20．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．（10分）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）设OP=AC，求∠CPO的正弦值；（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．22．（10分）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：销售方式

粗加工后销售

精加工后销售

每吨获利(元)

1000

2000

已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工.①试求出销售利润元与精加工的蔬菜吨数之间的函数关系式；②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？23．（12分）如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E和点F，连接CD、BD．（1）求证：∠A＝2∠BDF；（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．24．（14分）如图，在中，，，点D是BC上任意一点，将线段AD绕点A逆时针方向旋转，得到线段AE，连结EC．依题意补全图形；求的度数；若，，将射线DA绕点D顺时针旋转交EC的延长线于点F，请写出求AF长的思路．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】

根据三视图的性质即可解题.【详解】解：根据三视图的概念可知,该立体图形是三棱柱,左视图应为三角形,且直角应该在左下角,故选A.本题考查了三视图的识别,属于简单题,熟悉三视图的概念是解题关键.2、D【解析】

利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x=-b2a∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-23∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选D．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3、C【解析】

若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【详解】解：5的倒数是．故选C．4、B【解析】试题解析：∵AB∥CD，且∴在中，故选B．5、D【解析】

直接合并同类项，合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.【详解】2a2＋3a2=5a2.故选D.本题考查了利用同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键.所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.6、C【解析】

解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，可列方程得，故选C．本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．7、A【解析】

根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A=50°，再根据平行线的性质可得∠ACD=∠A=50°，由圆周角定理可行∠D=∠A=50°，再根据三角形内角和定理即可求得∠DBC的度数.【详解】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，∵DC//AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠D=∠A=50°，∴∠DBC=180°-∠D-∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，故选A.本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键.8、B【解析】

利用条形统计图结合中位数和中位数的定义分别分析得出答案．【详解】①由条形统计图可得：年用水量不超过180m1的该市居民家庭一共有（0.25+0.75+1.5+1.0+0.5）=4（万），

×100%=80%，故年用水量不超过180m1的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；

②∵年用水量超过240m1的该市居民家庭有（0.15+0.15+0.05）=0.15（万），

∴×100%=7%≠5%，故年用水量超过240m1的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误；

③∵5万个数据的中间是第25000和25001的平均数，

∴该市居民家庭年用水量的中位数在120-150之间，故此选项错误；

④该市居民家庭年用水量为110m1有1.5万户，户数最多，该市居民家庭年用水量的众数约为110m1，因此正确，

故选B．此题主要考查了频数分布直方图以及中位数和众数的定义，正确利用条形统计图获取正确信息是解题关键．9、B【解析】

根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入得4-6+k=0，然后解关于k的方程即可.【详解】把x=2代入得，4-6+k=0，解得k=2.故答案为：B.本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的定义，把已知代入方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值是解题的关键.10、A【解析】【分析】设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，根据三角形的面积公式得到，即可求出．【详解】轴，，B两点纵坐标相同，设，，则，，，，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1【解析】

因为是整数，且，则1n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为1．【详解】∵，且是整数，

∴是整数，即1n是完全平方数；

∴n的最小正整数值为1．

故答案为：1．主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．12、1【解析】分析：首先根据正比例函数得出a的值，然后将交点坐标代入反比例函数解析式得出k的值．详解：将(a，1)代入正比例函数可得：a=1，∴交点坐标为(1，1)，∴k=1×1=1．点睛：本题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式，属于基础题型．根据正比例函数得出交点坐标是解题的关键．13、k≥-1【解析】

首先讨论当时，方程是一元一次方程，有实数根，当时，利用根的判别式△=b2-4ac=4+4k≥0，两者结合得出答案即可．【详解】当时，方程是一元一次方程：，方程有实数根；当时，方程是一元二次方程，解得：且.综上所述，关于的方程有实数根，则的取值范围是.故答案为考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略这种情况.14、①②④．【解析】

根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵EC垂直平分AB，∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE，∵OA∥DC，∴=，∴AE=AD，OE=OC，∵OA=OB，OE=OC，∴四边形ACBE是平行四边形，∵AB⊥EC，∴四边形ACBE是菱形，故①正确，∵∠DCE=90°，DA=AE，∴AC=AD=AE，∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确，∵OA∥CD，∴，∴，故③错误，设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=1a，∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a∴S四边形AFOE：S△COD=2：1．故④正确.故答案是：①②④．此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题.15、22【解析】

只要证明△PBC是等腰直角三角形即可解决问题.【详解】解：∵∠APO＝∠BPO＝30°，∴∠APB＝60°，∵PA＝PC＝PB，∠APC＝30°，∴∠BPC＝90°，∴△PBC是等腰直角三角形，∵OA＝1，∠APO＝30°，∴PA＝2OA＝2，∴BC＝2PC＝22，故答案为22．本题考查翻折变换、坐标与图形的变化、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△PBC是等腰直角三角形．16、﹣1．【解析】试题解析：分式的值为0,则：解得：故答案为17、或【解析】

分0°＜x°≤90°、90°＜x°≤180°两种情况，根据圆周角定理求出∠DOC，根据弧长公式计算即可．【详解】解：当0°＜x°≤90°时，如图所示：连接OC，

由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=2x°，

∴∠DOC=180°-2x°，

∴∠OBC所对的劣弧长=，

当90°＜x°≤180°时，同理可得，∠OBC所对的劣弧长=．

故答案为：或．本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、⑴表格中依次填10，100.5，25，0.25，150.5，1；⑵0.25，100；⑶1000×（0.3+0.1+0.05）=450（名）．【解析】

（1）由频数直方图知组距是50，分组数列中依次填写100.5，150.5；0.5-50.5的频数=100×0.1=10，由各组的频率之和等于1可知：100.5-150.5的频率=1-0.1-0.2-0.3-0.1-0.05=0.25，则频数=100×0.25=25，由此填表即可；（2）在频率分布直方图中，长方形ABCD的面积为50×0.25=12.5，这次调查的样本容量是100；（3）先求得消费在150元以上的学生的频率，继而可求得应对该校1000学生中约多少名学生提出该项建议．．【详解】解：填表如下：（2）长方形ABCD的面积为0.25，样本容量是100；提出这项建议的人数人．本题考查了频数分布表，样本估计总体、样本容量等知识．注意频数分布表中总的频率之和是1．19、(1)见解析；（2）1【解析】

分析：(1)根据平行四边形的判定与矩形的判定证明即可;(2)根据矩形的性质和三角函数解答即可.详解：（1）证明：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，∴．∴CD∥BE．又∵BE=CD，∴四边形CDBE为平行四边形．又∵，∴四边形CDBE为矩形．（2）解：∵四边形CDBE为矩形，∴DE=BC．∵在Rt△ABC中，，CD⊥AB，可得．∵，∴．∵在Rt△ABC中，，AC=2，，∴．∴DE=BC=1．点睛：本题考查了矩形的判定与性质，关键是根据平行四边形的判定与矩形的判定解答.20、则不等式组的解集是﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示见解析.【解析】

先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．【详解】解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤3，则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示为：.本题考查了解一元一次不等式组，熟知确定解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.也考查了在数轴上表示不等式组的解集.21、（1）详见解析；（2）；（3）【解析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA，由平行线的性质得到∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，等量代换得到∠COP=∠BOP，由切线的性质得到∠OBP=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）过O作OD⊥AC于D，根据相似三角形的性质得到CD•OP=OC2，根据已知条件得到，由三角函数的定义即可得到结论；

（3）连接BC，根据勾股定理得到BC==12，当M与A重合时，得到d+f=12，当M与B重合时，得到d+f=9，于是得到结论．【详解】（1）连接OC，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA，

∵AC∥OP，

∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，

∴∠COP=∠BOP，

∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴∠OBP=90°，

在△POC与△POB中，，

∴△COP≌△BOP，

∴∠OCP=∠OBP=90°，

∴PC是⊙O的切线；

（2）过O作OD⊥AC于D，

∴∠ODC=∠OCP=90°，CD=AC，

∵∠DCO=∠COP，

∴△ODC∽△PCO，

∴，

∴CD•OP=OC2，

∵OP=AC，

∴AC=OP，

∴CD=OP，

∴OP•OP=OC2

∴，

∴sin∠CPO=；

（3）连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴AC⊥BC，

∵AC=9，AB=1，

∴BC==12，

当CM⊥AB时，

d=AM，f=BM，

∴d+f=AM+BM=1，

当M与B重合时，

d=9，f=0，

∴d+f=9，

∴d+f的取值范围是：9≤d+f≤1．本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22、（1）应安排4天进行精加工，8天进行粗加工（2）①=②安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为元【解析】

解：（1）设应安排天进行精加工，天进行粗加工，根据题意得解得答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工.（2）①精加工吨，则粗加工（）吨，根据题意得=②要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，解得又在一次函数中，，随的增大而增大，当时，精加工天数为=1，粗加工天数为安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为元.23、（1）见解析；（2）1【解析】

（1）连接AD，如图，利用圆周角定理得∠ADB=90°，利用切线的性质得OD⊥DF，则根据等角的余角相等得到∠BDF=∠ODA，所以∠OAD=∠BDF，然后证明∠COD=∠OAD得到∠CAB=2∠BDF；

（