山东省聊城2025届市高三一模数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1山东省聊城2025届市高三一模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，故，故选：C2.已知复数，则共轭复数A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则其共轭复数.本题选择B选项.3.曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为，所以，曲线在处的切线方程为，该切线交轴于点，交轴于点，因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选：D.4.已知角，向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，向量，，若，则，可得，故.故选：B.5.已知等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先分析充分性：在等比数列中，，所以假设，，所以，等比数列为递减数列，故充分性不成立；分析必要性：若等比数列的公比为，且是递增数列，所以恒成立，即恒成立，当，时，成立，当，时，不成立，当，时，不成立，当，时，不成立，当，时，成立，当，时，不成立，当，时，不恒成立，当，时，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此时成立，所以必要性成立.故选：B.6.设是椭圆的左焦点，，是上的任意两点，周长的取值范围为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令椭圆右焦点为，则，所以周长：当且仅当共线时取等号，则，即，又，因此，则，解得，所以C的离心率为.故选：A.7.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若是增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】要使奇函数是增函数，则需要在上单调递增，且，当时，恒成立，因为，此时的对称轴，所以只需即可，即.故选：B8.在四棱锥中，，、分别为、的中点，经过、、三点的平面交于点，为上一点，且平面，为等边三角形，，，则经过、、、四点的球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的一个法向量为，，直线的一个方向向量为，则，取，可得，设，所以，，因为平面，则，解得，所以，，即点，设经过、、、四点的球的球心为，由可得，解得，故球半径为，因此，经过、、、四点的球的表面积为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，，则（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.直线是曲线的一条对称轴D.将的图象向右平移个单位得到的图象【答案】BD【解析】因为，对于A选项，函数的最小正周期为，A错；对于B选项，当时，，所以，在上单调递增，B对；对于C选项，因为，故直线不是曲线的一条对称轴，C错；对于D选项，将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，D对.故选：BD.10.将四个不同的小球，放入四个编号为、、、的盒子中，每个小球放入各个盒子的可能性都相等，设表示空盒的个数，表示号盒子中小球的个数，则（）A.每个盒子中恰有球的概率为B.事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立C.随机变量的方差为D.随机变量的均值为【答案】BCD【解析】对于A选项，每个盒子中恰有球的概率为，A错；对于B选项，记事件号是空盒，事件号是空盒，则，，所以，，故事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立，B对；对于C选项，由题意可知，故，C对；对于D选项，由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，则，，，，因此，，D对.故选：BCD.11.设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（）A.直线经过一定点 B.抛物线的焦点为C.点到坐标原点的距离不小于 D.的面积的最小值为【答案】ACD【解析】对于A：化简为，无论为何值时，令，可得定点为，A选项正确；对于B：的焦点在轴且，所以，所以抛物线的焦点为，B选项错误；对于C：设，与抛物线方程联立有，设，，有，，由，所以的斜率分别为，又因为,则两切线，，联立两直线方程解得，所以，点到坐标原点的距离为，当时点到坐标原点的最小距离为，所以C正确；对于D：P到l的距离为，所以，当时，此时取最小值，故D正确；故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设实数，函数为奇函数，则______________.【答案】【解析】实数，且函数为奇函数，则，由奇函数的定义可得，即，整理可得，则，因为，解得，所以，，故.故答案为：.13.在中，已知，，，则的面积为______________.【答案】【解析】因，故，如图，过点作射线交线段于点，使，则，则，在中利用余弦定理得，，解得，在中利用余弦定理得，，则，则.故答案为：.14.在一块黑板上共有10个点，其中任意3点都不共线，现将任意两点用红色线段或绿色线段连结起来，在所得到的图形中三边同色的三角形至少有______________个.【答案】20【解析】拉姆齐数基础：拉姆齐数

表示在6个点的完全图中，无论如何用两色着色边，必然存在一个同色三角形.但本题涉及10个点，需进一步分析.Goodman定理的应用：Goodman定理指出，对于偶数

，双色完全图中同色三角形的最少数目为：,当

时，，代入得：这表明无论如何着色，至少存在20个同色三角形。构造性验证：将10个点分为两组（每组5个），组内边全红，组间边全绿,此时同色三角形仅来自组内，每组有

个红色三角形，共

个。这说明存在一种着色方式使得同色三角形恰为20个。根据Goodman定理，无论何种着色，同色三角形数量下限即为20。结论：在所得到的图形中，三边同色的三角形至少有20个。故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤.15.某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为.（1）求的值和样本容量；（2）估计所有参赛学生的平均成绩；（3）假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？性别奖励合计获奖未获奖男女合计附：，解：（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得，解得，样本容量为.（2）所有参赛学生的平均成绩为：.（3）由题意可知，获奖人数为人，由题意可得如下列联表：性别奖励合计获奖未获奖男女合计所以，，所以，依据小概率值的独立性检验，男生与女生的获奖无差异.16.在三棱锥中，为等边三角形，，，为的中点，为线段上一点，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因，，，所以，所以，在中，根据正弦定理得，又，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以为中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解：取中点，连接，因为为的中点，所以，，因为，即，所以，因为为等边三角形，且，所以，，又，所以，所以，以为原点，分别以为轴的正向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围.解：（1）的定义域为.

求导可得：.令，其判别式.

当，即时，因为，所以，则，所以在上单调递增.

当，即或时，方程的两根为，.(根同号)，.因为，当时，，则，，此时，，在上单调递增.当时，，则，，且，此时在和上，，，单调递增；在上，，，单调递减.

综上所得，当时，在上单调递增.当时，在和上单调递增；在上，单调递减.（2）因为有两个不同的极值点，所以且，解得.由韦达定理可知，，代入上式可得：.已知，即，可得，即.令，对求导得.因为，所以，在上单调递增.又，所以的解集为，即实数的取值范围是.18.已知圆，圆，动圆与、都外切.（1）求圆心的轨迹方程；（2）设，、是圆心轨迹上的不同两点，过点作，垂足为，若直线与的斜率之积等于，求动点轨迹的长度.解：（1）设圆的半径为，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为圆与圆、圆都外切，则，，所以，所以点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右支，设双曲线的标准方程为，则，可得，，则，所以，，所以，圆心的轨迹方程为.（2）若直线与轴垂直，则直线与曲线只有一个公共点，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立可得①，则且，可得且，由韦达定理可得，，整理可得，即，整理可得，若，此时，方程①为，由于，解得，此时直线与点的轨迹只有一个公共点，不合乎题意，所以，，所以，直线的方程为，故直线过定点，因为，取线段的中点，则，所以点在以点为圆心，半径为的圆上运动，由题意可得，可得，易知直线的方程为，联立可得，直线交轴于点，交圆于、两点，，则，所以，，易知点的轨迹为劣弧（不包括端点），其长度为.19.若各项为正数的无穷数列满足：对于都有，其中为非零常数，则称数列为“平方等差数列”.（1）判断无穷数列和是否是“