山东省齐鲁名校教研共同体2025届高三下学期第五次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1山东省齐鲁名校教研共同体2025届高三下学期第五次联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B.2.已知为奇函数，则实数（）A. B.2 C.1 D.0【答案】D【解析】函数的定义域为，，，因为函数是奇函数，所以，所以，得.故选：D3.在等比数列中，是和的等差中项，则的公比为（）A.1 B. C.1或 D.1或【答案】C【解析】在等比数列中，是和的等差中项，设公比为，所以，所以，因为，所以，解得：1或，故选：C.4.已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】向量，，所以，在上的投影向量的模为：，解得.故选：B.5.已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（）A.15 B.19 C.21 D.23【答案】C【解析】第一种情况，5个小球只包含1种颜色，有3种情况；第二种情况，5个小球包含2种颜色，两种颜色的球的个数组合为或，所以包含2种颜色取法种数有；第三种情况，5个小球包含3种颜色，3种颜色的球的个数组合为或，所以包含3种颜色的取法种数有.所以共有种方法.故选：C6.设甲：曲线表示焦点在x轴上的椭圆，乙：是第一或第四象限角，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】由条件可知，若甲正确，则，即可，即，且，得是第一或第四象限角，即甲是乙的充分条件；反过来，若是第一或第四象限角，则，即，此时，即所以，则甲也是乙的必要条件.所以甲是乙的充要条件.故选：C7.已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆柱与圆锥的底面半径分别为，母线长分别为，高均为，由题意可得：，即，化简可得：，故选：A.8.已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】是的根，，即，①是的根，，即，存在函数使得，，②是定义在上的增函数，在上单调递增，由①②可得，，又，即，，即.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知A，B，C，D四点均在双曲线上，则四边形ABCD可能为（）A.等腰梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【答案】AC【解析】等腰梯形和矩形都是轴对称图形，而双曲线也是轴对称图形，A.取与轴对称的两组点，，，，，顺次连结这四点，可以构成等腰梯形，故A正确；C.同样取与轴对称的两组点，，，，，顺次连结这四点，可以构成矩形，故C正确；而菱形和正方形不仅是轴对称，而且是中心对称，并且对角线互相垂直，而双曲线是等轴双曲线，渐近线互相垂直，所以双曲线上连结两组关于原点对称的直线的夹角为锐角，不可能垂直，所以不能构成菱形和正方形，故BD错误.故选：AC10.某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】根据所给空间几何体的形状，可得空间几何体利用现放置方式能通过C，现在放置方式由在向物体后方旋转90度可通过B，由现在位置向右旋转90度再向后方旋转180度可通过A，以任何方式均不能通过D.故选：ABC.11.设函数，则（）A.在区间上有5个零点B.在区间上有4个极值点C.的图象有1条对称轴在区间上D.的图象有3个对称中心在区间上【答案】ABD【解析】对于A，由，可得或，又，所以或或或，或，故A正确；对于B，由，可得，令，即，因为，又，故有4个解，结合二次函数知识可得在每个解的左右两边导数符号不同，所以函数在区间上有4个极值点，故B正确；对于C，由B可知，由余弦函数的图象可得函数的极值点关于对称，又，所以函数关于原点对称，又，所以函数关于对称，又，所以函数关于对称，又，可得是函数的周期，所以的图象在区间上没有对称轴，的图象有3个对称中心在区间上，故C错误，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的值域为，且，则________.【答案】【解析】由指数函数的性质可知，若，则，为常数，不合题意；若，则，不合题意；若，则，因为函数的值域为，则，又，则，解得，所以.故答案为：.13.已知点，，若圆与的中垂线相切，则_____.【答案】或【解析】因为，，所以点，的中点的坐标为，直线的斜率为，所以中垂线的斜率为，所以的中垂线的方程为，即，圆的圆心为，半径，因为直线与圆相切，所以，所以，所以或.故答案为：或.14.已知为等比数列，且，.从，，…，这2025个数中任取两个数，则这两个数之和能被3整除的概率为________.【答案】【解析】由题意可知，记取到的两个数分别为，则，其中为整数，所以当为奇数时，为3的倍数，当为偶数时，不是3的倍数，因此为奇数时满足条件，此时与的奇偶性不相同，从1到2025包含1012个偶数和1013个奇数，所以与的组合共有种，所以所求的概率为故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某校开设农耕劳动教育课，共设置了两类课程：农作物种植和田间管理，学校对选择这两类课程的学生人数进行了统计，数据记录在如下表格.男生女生农作物种植课程16080田间管理课程40120（1）根据小概率值的独立性检验，判断男生和女生在选择课程的偏好上是否有差异.（2）选择农作物种植课程的学生被分为6个小组，各小组种植的农作物存活率分别为，，，，，.学校为了解存活率的偏差情况，需计算偏差系数w，其值越大，对大偏差数据的体现越明显.现给出两种计算偏差系数的方式：①，②，请比较哪一种方式对大偏差数据的体现更明显.附：.0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）由已知得，，依据小概率值的独立性检验，可以判定男生和女生在选择课程的偏好上有差异；（2），根据①：.根据②：.，，，，方式②对大偏差数据的体现更明显.16.如图，在三棱柱中，底面ABC是等腰直角三角形，且，D，E分别是，的中点，且平面ABC.（1）证明：侧面为矩形；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：如图，连接DE，由题知，E是的中点，，平面，平面，.又，平面，.D，E分别是BC，的中点，，.侧面为矩形.（2）解：连接AD，以D为坐标原点，以直线DB，AD，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.易知，，，，，，则，，.设平面的法向量为，则，取.设平面的法向量为，则，取.，平面与平面的夹角的余弦值为.17.已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是的外心.（1）求.（2）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（i）证明：是直角三角形；（ii）求的面积.解：（1）是的外心，即，.只需考虑，即，又在第一象限，，.（2）（i），，由余弦定理知，两式相加可得，，直角三角形.（ii）设，，则，，可知，，.易知AB与复平面的实轴垂直，又，与复平面的虚轴垂直，，，又，点A在第一象限，.，，，，，的面积为.18.已知函数，其中.（1）若有两个零点，求a的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）若有两个极值点，（），证明：.解：（1）令，可得，设，则，有两个零点，等价于关于t的方程有两个不等实根.所以，解得，或，又，所以，即a的取值范围是.（2）.若，则恒成立，所以在上单调递增.若，令，得，.当时，，当时，.故在区间和上单调递增，在区间上单调递减.（3）由（2）知，且，是方程的两个根，所以，，又，所以，即.因为，所以待证式等价于，即要证，即证，亦即证.设，则.设，当时，，在上单调递减，所以当时，，则，在上单调递减，因为，所以，证毕.19.对于抛物线，给定一点，若抛物线上存在两点，，使得，且不与轴垂直，则称弦是拋物线的一条“伴随弦”.已知抛物线存在“伴随弦”.（1）求的取值范围.（2）求伴随弦的中点的轨迹方程.（用表示）（3）伴随弦的弦长是否有最大值？若有，求出最大值（用表示）；若没有，请说明理由.解：（1）设，则点，在圆上，由，得.由题意知，存在使得这个关于的方程有两个不相等的非负根.转化为直线与抛物线在轴上及其右侧有两个交点，只需抛物线的对称轴在轴的右侧，