山东省淄博市2025届高三下学期模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1山东省淄博市2025届高三下学期模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）．A.R B. C. D.【答案】B【解析】,,,故选：B.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.125【答案】B【解析】，则，则，则.故选：B.3.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，因为，所以，解得，，即向量在向量上的投影向量为.故选：A.4.已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，所以该圆锥的表面积为.故选：C5.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）A.0.24 B.1 C.0.5 D.0.52【答案】C【解析】已知王同学第一天随机选择一家餐厅用餐，那么去A餐厅的概率为（因为只有A、两家餐厅，随机选择一家，去每家的概率都是）.又已知如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为（表示在第一天去A餐厅的条件下，第二天去A餐厅的概率）.根据条件概率公式（其中、为事件，表示与同时发生的概率），可得第一天去A餐厅且第二天去A餐厅的概率为：同理，第一天去餐厅的概率为.已知如果第一天去餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为（表示在第一天去餐厅的条件下，第二天去A餐厅的概率）.根据条件概率公式，可得第一天去餐厅且第二天去A餐厅的概率为：因为“第一天去A餐厅且第二天去A餐厅”与“第一天去餐厅且第二天去A餐厅”这两个事件是互斥的（即这两个事件不可能同时发生），所以根据互斥事件的概率加法公式（其中、为互斥事件，表示或发生的概率），可得王同学第二天去A餐厅用餐的概率为：故选：C6.已知函数满足，当时，，则（）A.2 B.4 C.8 D.18【答案】C【解析】因为，所以．因为，所以．故选：C.7.已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如下图所示：令，解得，故当时，对称轴为直线，则，因为，所以，又因为，，由可得，则，则，所以，.故选：D.8.数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（）A.曲线关于轴对称B.曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过C.曲线与有8个交点D.曲线所围成图形的面积小于2【答案】C【解析】对于A，在方程中，以替代方程不变，所以曲线关于轴对称，同理，以；替代方程均不变，所以曲线关于轴，坐标原点对称，如图，故A正确；对于B，曲线上点到轴的距离为，到轴的距离为，由，当且仅当时取等号，，故B正确；对于C，在第一象限内，，所以曲线在直线的下方，所以两者有4个交点，分别为，故C错误；对于D，如图，围成的正方形面积为，所以曲线围成图形的面积小于2，故D正确.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选借的得0分．9.随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（）A. B.是增函数C.是偶函数 D.的图象关于点中心对称【答案】AD【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，当增大时，减少，所以在上是减函数，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，若的图象关于点中心对称，则，因为服从正态分布，所以关于对称，所以，则，故D正确.故选：AD.10.如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则三棱锥的体积为定值C.若，则直线与直线所成角的最小值为60°D.若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为【答案】ABD【解析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，所以，即

，所以，又，所以，所以，所以，故A正确；因为，，所以点在直线上，又因为，，所以四边形是平行四边形，所心，又平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；点为的中点，坐标为，点的坐标为

，向量，向量，设直线与直线所成的角为，，又因为，当

时，，即直线与直线所成角的最小值为，故C错误；因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形，过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心，因为平面，所以，又，所以三棱锥外接球的半径，因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上，所以

的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆，又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为，所以

的轨迹的周长为

，故D正确.故选：ABD.11.过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（）A. B.C.数列的前项和为 D.【答案】ABD【解析】设直线，联立，得，则由，即，解得（负值舍去），故A正确；可得，，所以，故B正确；因为，则，故C错误；因为，，所以，设，则，可得在上单调递增，则时，，又，则，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的各项为正数，首项和为，若，则公比______．【答案】【解析】由，则，由，，则，整理可得，分解因式可得，解得或（舍去）.故答案为：.13.在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为______．【答案】【解析】已知，根据二倍角公式，则有.因为为锐角，即，等式两边同时除以可得：.已知，将其代入可得：，解得.因为为锐角，根据，可得.由正弦定理，已知，，，则.因为，根据大边对大角可知，又因为为锐角，所以也为锐角.根据，可得.因为，所以，则.故答案：14.如图，在的方格中，每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）.玩家从起点方格出发，每次可以向右或向下移动一格到达下一格.若遇到含有设置陷阱的方格，则被重置回起点，然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战，直至到达终点.若重置若干次以后始终未能到达终点，则挑战失败.该玩家挑战失败的概率为__________.【答案】【解析】由题知，玩家从起点方格出发，每次向右或向下移动一格，可以顺利到达终点，即为挑战成功，反之挑战失败.用表示第行第列含有陷阱的方格，则第1行含有陷阱的方格为，第2行含有陷阱的方格为，第3行含有陷阱的方格为，所以每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）共有个基本事件，具体如下：，，，，，，，，，，，，玩家挑战失败的基本事件有，，，，，，，共个，所以玩家挑战失败的概率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某地为调查大型水域的水质情况，设置若干站点检测水质指数（“M指数”．），以这些站点所测“M指数”的平均值为依据，接报此大型水域的水质情况．下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图，其中分组区间分别为：，，，，，，，．（1）规定：“指数”不超过50为“优质水源日”，否则称为“非优质水源日”．对该地区50名外出郊游的市民进行调查，得到如下列联表：男市民女市民合计优质水源日出游1230非优质水源日出游6合计50请完成上述列联表，并根据的独立性检验，能否认为优质水源日出游与性别有关？（2）从“指数”在第一组和第二组所有天数中选取3天的数据进行评价，记这3天的数据来自第一组的数据有天，求的分布列和数学期望．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）男市民女市民合计优质水源日出游121830非优质水源日出游14620合计262450，所以有的把握认为优质水源日出游与性别有关.（2）根据题意，第一组有天，第二组有天，所以的可能取值为，，，，，的分布列为0123.16.已知双曲线，离心率，点在双曲线上（1）求双曲线标准方程；（2）点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程．解：（1）由题意可得，则，即，又因为点在双曲线上，所以，解得：，所以双曲线的标准方程为：.（2）因为的周长为12，所以①，由双曲线的定义可得：，所以②，所以由①②可得：，由（1）知，，所以，因为直线的斜率不为，所以设，则联立直线与双曲线可得，当，即，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，所以，，所以，所以，解得：（舍去）或，所以，直线的方程为：，即.17.如图，在四棱锥中，，，点在上，且．（1）点在线段上，且平面，证明：为线段的中点；（2）若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度．解：（1）连接，过点作交于点，连接，又因为，所以，所以四点共面，因为平面，平面，平面平面，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以为线段的中点；（2）连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面所以平面又因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设，，设平面的法向量为，，所以，令，，所以，所以与平面所成的角的余弦值为，所以与平面所成的角的正弦值为，即，所以，化简可得：，解得：或，即或，所以或.18.已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：时，；（3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．解：（1）函数的定义域是，，当时，；当时，．所以，的增区间为，减区间为.（2）要证时，，即证在恒成立，令，，，令，，当时，，，所以在上单调递减，所以，则，所以在上单调递减，所，所以，综上，时，；（3）不等式等价于不等式，由可得：，设，，则，设，函数的定义域是，，设，则，令，则，时，，在上为增函数，时，，在上为减函数，∴在处取得极大值，而，∴，函数在上为减函数．于是当时，，当时，，∴当时，，为增函数，当时，，为减函数，故函数增区间为，减区间为，所以，所以，即∴，，于是在上为减函数，故函数在上的最小值为，所以，所以整数的最大值为．19.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①并且对的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，例如圆的参数方程为（为