山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用，选择性必修第三册第六章计数原理.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列求导数的运算中正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】A：，故A错误；B：，故B错误；C：，故C错误；D：，故D正确；故选：D.2.已知函数（是的导函数），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则，又因为，当时，，解得，所以.故选：D.3.重庆市高考综合改革实施方案中规定：高考考试科目按照“”的模式设置，“3”为语文、数学、外语3门必选科目；“1”为由考生在物理、历史2门科目中选考1门作为首选科目；“2”为由考生在思想政治、地理、化学、生物4门科目中选2门作为再选科目.现由甲、乙2位同学选科，若他们的首选科目相同，再选科目恰有一门相同的不同选法的种数为（）A.24 B.36 C.48 D.72【答案】C【解析】第一步：甲乙首选科目相同，有种方法；第二步：从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选一科中选一科作为甲乙的相同科目，有种方法；第三步：甲从剩下的三科中选一科，有种方法；第四步：乙从剩下的两科中选一科，有种方法.所以共有种不同方法.故选：C4.函数在区间上的最大值是，则的值为()A.3 B.1C.2 D.－1【答案】B【解析】由题意可知，，令，解得或（舍）.当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以,,，则最大，所以当时，函数取得最大值为.由题意可知，，解得,所以的值为.故选：B.5.已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则，由得，或；由得，，则当或时单调递增；当时单调递减.则时取得极大值；时取得极小值.函数有三个零点，即函数与直线图像有3个不同的交点，则实数m的取值范围是故选：A6.如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，则，得.因为，所以当时，，即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.故选：C7.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，，，而，当时，，单调递减，∵，所以，即.故选：B.8.若函数=有大于零的极值点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】原命题等价于有大于零的零点，显然在上单调递增，又因为时，，所以，所以故选：A.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】令，可得，故A正确；含的项为，故，B错误；令，，又，故，C正确；令，，又，故，D正确.故选：ACD.10.设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（）A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值【答案】AB【解析】有的图象可得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以函数在上单调递增，故A正确；函数在上单调递减，故B正确；函数在处无极值，故C错误；函数在处取得极小值，故D错误.故选：AB.11.设函数则下列说法正确的是（）A.当时，的图象位于x轴下方 B.存在单调递增区间C.有且仅有两个极值点 D.在区间上有最大值【答案】AB【解析】因为函数，可得函数的定义域为，且，令，可得，当时，；当时，，当时，，由，所以，即，所以在上单调递减，因为时，，当时，的图象在轴的下方，所以A正确；当时，，所以，又因为，所以存在使得，所以当时，；当时，，所以上单调递减，在上单递增，当时，函数取得极小值，无极大值，所以函数只有一个极值点，且在区间上先减后增，没有最大值，所以C、D错误.故选：AB.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】，则，又，故切线方程为，即.故答案为：.13.甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，有______种不同的冠军获得情况.【答案】64【解析】由题意可知数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军各有4种情况，故有种情况.故答案为：14.已知函数，则的最小值是____________.【答案】【解析】由函数，则函数的最小正周期为，又由，可得函数为奇函数，只需考虑在上的最值即可，又由，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以函数在上的最大值为，因为函数为奇函数，所以函数的最小值为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的展开式中，所有二项式系数的和为32．（1）求的值；（2）若展开式中的系数为，求的值．解：（1）∵所有二项式系数的和为32，∴，∴．（2）二项式展开式的通项公式为，令，∴展开式中的系数为，∴，解得．16.6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？（3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？解：（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，所以共有.（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；再分到4个项目，即可得共有；（3）先考虑全部，则共有种排列方式，其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；甲参加项目同时乙参加项目共有种，根据题意减去不满足题意的情况共有种.17.已知函数.（1）若在处取得极小值，求实数的值；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，得，此时，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为.（2）由（1）知，，因为在上单调递增，所以在上恒成立.因，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以，故实数的取值范围为.18.已知函数.（1）求函数的单调性与极值；（2）若关于的方程有两个解，求实数的取值范围.解：（1）依题意，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减故当时，函数的极大值为，无极小值；（2）令，得.当时，，则在上单调递增.因此函数至多只有一个零点，不符合题意，当时，由，得，因此在上是单调递增，在上是单调递减，所以.一方面，当从右边趋近于0时，趋向于；当x趋向于时，，因此，趋向于；另一方面，由，得，即，因此，，很明显在上是单调递增且，根据题意得：，所以.即方程有且只有一个大于1的正实根.设，由（开口向下）且，对称轴为，得，解得.所以实数的取值范围是；综上，在单调递增，单