河南省南阳市2023-2024学年高二下学期5月阶段检测考试数学试题（解析版）

南阳地区2024年春季高二年级阶段检测考试卷数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册至选择性必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某木块的位移与时间之间的函数关系式为，则时，此木块的瞬时速度为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.【详解】因为，所以，则，所以时，此木块的时速度为.故选：C2.已知，等比数列，，，…，的第4项为（）A.12B.C.9D.【答案】B【解析】【分析】根据等比中项的性质求出，即可求出公比，从而求出等比数列的第项.【详解】因为等比数列，，，…，则解得或，又，所以，则，所以公比，等比数列的第项为.故选：B3.在校运动会中，班甲同学和其他三位同学参加短跑接力赛，甲在短跑接力赛中跑第一棒、第二棒的概率分别为，且甲跑第一棒、第二棒时，班赢得短跑接力赛的概率分别为，则班赢得短跑接力赛的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用条件概率公式结合全概率公式求解即可.【详解】用，分别表示甲在短跑接力赛中跑第一棒、第二棒，用表示班赢得短跑接力赛，由题意得，，，，所以由全概率公式得，故B正确.故选：B4.已知函数，则（）A.B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出，再根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得.【详解】因为，则，所以，所以.故选：C5.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用排除法，根据函数的定义域、符号性逐项分析判断.【详解】由题意可知：的定义域为，对于选项A：因为的定义域为，不合题意，故A错误；对于选项B：因为，不合题意，故B错误；对于选项C：当x趋近于时，趋近于0，不合题意，故C错误；故选：D.6.点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意分析可知，则点P到直线的距离的最小值即为点到直线的距离，运算求解即可.【详解】因为的定义域为，且，令，解得，则，可得点，且点到直线的距离，所以点P到直线的距离的最小值是.故选：A.7.有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天.这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为（）A.32B.36C.48D.56【答案】B【解析】【分析】按周六分配到的精通日语的人数分类，结合组合计数列式计算即得.【详解】周六分配一名精通日语的志愿者有种不同方法，周六分配两名精通日语的志愿者有种不同方法，所以分配方法总数为36.故选：B8.若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，双曲线的左焦点坐标，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算.【详解】圆：的圆心，半径，双曲线：则，，，设左焦点为，则，即，所以，当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（）A.有两个极大值点B.有一个极小值点C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据题意可知的单调性，结合单调性逐项分析判断.【详解】由题意可知：当时，；当时，；可知在内单调递增，在单调递减，可知：，，且的极大值点为，极小值点为，故AB正确；CD错误.故选：AB.10.数列满足，下列说法正确的是（）A.可能为常数列B.数列可能为公差不为0的等差数列C.若，则D.若，则的最大项为【答案】AD【解析】【分析】令，确定方程的解判断A；利用等差数列定义计算判断BCD.【详解】对于A，令，由，可得，解得，A正确；对于B，若数列为公差不为0的等差数列，由，得，则不会是非零常数，B错误；对于C，，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，则，C错误；对于D，，则，即，当时，；当时，，且数列递减，因此数列的最大项为，D正确.故选：AD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.存在，使得在上单调递减B.对任意，在上单调递增C.对任意，在上恒成立D.存在，使得在上恒成立【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，利用导数判断单调性，结合构造函数，逐项判断即得.【详解】，因为，所以不存在，使得在上单调递减，故A错误；，因为，，所以，即，故B正确；当，时，，设，，则，所以在上单调递增，所以，即，故C正确；当时，令，则，令，则，又，所以在上单调递减，在上单调递增，即，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的大小为______.【答案】【解析】【分析】设直线与平面所成角为，由计算可得.【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，又，所以.故答案为：13.已知函数不是单调函数，则a的取值范围为________．【答案】或【解析】【分析】求出函数的导数，分类讨论解或即可.【详解】函数的定义域为，求导得，当时，由，得，由，得，函数在上递减，在上递增，即不单调函数，因此；当时，由，得，由，得或，在上递减，在上递增，不是单调函数，因此；当时，恒成立，在上递增，不符合题意；当时，由，得，由，得或，在上递减，在上递增，不是单调函数，因此，所以a的取值范围为或.故答案为：或14.已知函数在R上连续，且存在导函数，对任意实数x，满足，当时，．若，则x的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】令，分析可知为奇函数，且在R上单调递增，根据题意利用单调性解不等式即可.【详解】令，可知的定义域为，且在R上连续，因为，则，即，可知为奇函数，又因为当时，，则在内单调递增，结合为奇函数可知在内单调递增，且在R上连续，则在R上单调递增，若，则，整理得，即，可得，解得，所以x的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知曲线在处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求曲线过点的切线方程.【答案】（1），；（2）或【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的切线及切点，结合导数的几何意义求解即得.（2）由（1）的结论，设出切点坐标，再建立方程求出切点坐标即得.【小问1详解】依题意，，即，又，所以，解得，所以.小问2详解】由（1）知，，，由，得不是切点，设切点为，显然，则，联立得，解得或，即或，当时，，切线方程为，当时，，切线方程为所以曲线过点的切线方程为或.16.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）设，记数列前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用作差法得到，即可求出的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证.【小问1详解】因为，当时，所以；当时，所以，所以，经检验当时也成立，所以.【小问2详解】由（1）可得，所以，当时，，且，所以单调递增，所以．17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意首先求导数，然后利用分类讨论法，分别对和的情况讨论的符号，从而即可判断函数的单调性；（2）恒成立等价于；当时，无最大值，当时，，进而令，则，由导数判断单调性且由解不等式可得的取值范围.【小问1详解】由题意知函数的定义域为，.当时，恒成立，在上单调递减；当时，由，得，由，得.所以在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】由（1）知，当时，时，，则不一定成立，故不满足题意.当时，.令，则，，所以在上单调递减，在上单调递增，而所以时，，且.所以的解集为，所以，即，故的取值范围为.18.已知函数，．（1）证明：．（2）证明：．（3）若，求的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）设，求导，分析函数单调性，求函数的最小值，得到最小值大于或等于0即可.（2）利用（1）的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可.（3）首先由条件同构方程，得到，再利用变量转化，变形，并构造函数，利用导数求函数的最大值.【小问1详解】设，则，由，得；由，得.所以函数在上递减，在上递增.所以，所以恒成立.即恒成立.【小问2详解】由（1）得，（当时取“”）所以.设，则，由；由，所以在上单调递减，在上单调递增，所以（当时取“”）因为，中，“”成立的条件不一致，所以.【小问3详解】由题意可知，，即，函数是增函数+增函数，所以单调递增，所以，即，所以，，设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据（1）的结果，对不等式进行放缩，第3问的关键是将方程两边同构成，根据函数的单调性得到等式，这是解题的关键.19.若函数存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数.（1）判断函数与是否为亲密函数，并说明理由；（2）若与互为亲密函数，求的取值范围.附：.【答案】（1）互为亲密函数，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理判断零点所在区间，由定义证明亲密函数；（2）利用导数求出的零点为1，所以在上有解，则时，有，通过换元构造函数，利用导数求值域，得