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文档简介
第21章一元二次方程
第1讲一元二次方程及其解法
知识导航
一元二次方程的基本概念;
一元二次方程的基本解法;
可化为一元二次方程的解法.
【板块一】一元二次方程的概念
方法技巧
判断一个方程是不是一元二次方程,先化成一般形式ad+6x+c=0("关0),注意三点:含一个未知数,
未知数的最高次数是2,并且为整式方程.
题型一一元二次方程的概念
【例1】m为何值时,方程(m-3)x"'-7+(加+3)x+4=0,
⑴是一元一次方程;⑵是一元二次方程.
【解析】⑴/»=3,±V7,±2jl:
(2)m——3
题型二一元二次方程的一般形式
【例2】将下列关于x的方程化为一般形式,并写出二次项系数、-次项系数和常数项.
①Qx+1>=X(3X+4).@(2V3+x)(2V3-x)=x-3
【解析】:①/+1=0;二次项系数1、-次项系数0和常数项1.
②Y+x-15=0;二次项系数1、一次项系数1和常数项一15.
题型三一元二次方程的根
【例3】(襄阳中考)若正数a是一元二次方程/-5工+团=0的一个根,一a是一元二次方程
x2+5x-m=Q的一个根,则a的值是.
【解析】是一元二次方程5x+m=0的一个根,一。是一元二次方程V+5x—僧=0的一个根,
a2—5a+m=010,a?—5a—〃?=0②,①+②,得2(/-54)=0,.'.0=5,m=0,
又:〃>(),;.a=5,故答案为5.
【例4】已知a是方程x2-3x+l=0的根,求代数式2"J"、2"-的值.
3a
22
【解析】•/a是方程x?-3工+1=0的根,那么。2-34+1=0,a-3a=1fa+\=3a
后I、2a,(02-3«)+2a3-(a2+1)3
原[I=----------------------==-1.
-3a3。
【点评】利用方程根的定义,运用整体思想降次,分子可以转化为2/(旌-3a)+2/-("+l)=-3“.
针对练习1
1.若方程(机+2)即1+3wx+l=0是关于x的一元二次方程,则(8)
A.机=±2B.加=2C.m=-2D.机#±2
2.化方程(x+4)2=+13一般式为:,r2+(8->/2).r+3-0:
其二次项系数是1,一次项系数是…8-0一,常数项是3.
3.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2-l=0的一个根是0,则。的值为(A)
A18-1(71或-1Df
4.已知关于x的一元二次方程/+办+人=0有一个非零实数根一b,则a—6的值为(A)
A.1B.-1C.0D.-2
5.已知m是方程x?+3x-1=0的一个根,求w?+4"/+2/n+3的值.
【解析】’:小是方程炉+3x—1=0的,一个根,所以"+3机=1,m2=1-3/M.Znr=m*m2,
原式:(1-3加)+4机2+2m+3=/H2+3M?+3=1+3=4.
6.已知a,6是方程/+x-4=0的两个实数根,求/-5b?+10的值.
【解析】方是方程f+x-4=0的两个实数根,.\“+b=-l,a2=4-a,b2=4-b,
:.a3-5/?2+10=«(4-a)-5(4-ft)+10=5(a+Z>)-14=-19.
【板块二】一元二次方程的基本解法
方法技巧
•元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.因式分解法解•元二次方
程除了提公因式法,公式法(完全平方公式,平方差公式),还有十字相乘法.
题型一十字相乘法(二次项系数为1)
【例1]用因式分解法解方程:
(1)f+6x—7=0:(2)犬+7》+10=0;(3)/一2V一8=0;
【解析】(1)(x+7)(x—1)=0,x)=—7,x2=l.
(2)距=-2,x2=—5;
(3)y,=—2,%=4;
题型二十字相乘法(二次项系数不为1)
【例2】解方程:(1)6X2-23X+10=0;(2)-3r+22x-24=0;(3)4x2-31x-45=0.
【解析】(1)(2x-l)(3x-10)=0,2x—l=0或3x—10=0,解得乃=1,x=
23
4
(2)(x—6)(3x—4)=0,x=6,x.=—.
t3
(3)(A—9)(4x+5)=0,X1=9,x,=-2;
4
【点评】因式分解法解一元二次方程的步骤可简记为:“右化零,左分解,两因式,各求解”.
题型三灵活运用因式分解法解方程
【例3】解方程:(1)/+工=3+G;(2)(2一百)/一2(6—l)x—6=0.
【解析】(1)移项得,/+工一百(6+1)=0,十字相乘法得,(x-y/3)(x+V3+l)=0.
==
解得,Xtyf3»A\-y/3—1.
(2)方程两边同乘以2+百,得x—2(1+百)工一6(2+行)=0,
十字相乘法分解得,卜+(6+l)][x-3(V3+l)]=0.
所以X\———1»x_-3^3+3.
题型四绝对值方程
【例4】阅读下面的例题:解方程/一k一2=0
解:(1)当x20时,原方程化为f-x-2=0,解得:x,=2,x2=-1(不合题意,舍去).
(2)当x<0时,原方程化为/+x-2=0,解得:x,=l,(不合题意,舍去),为=-2,
...原方程的根是%=2,初=-2.
请参照例题解方程/一|改一11-1=0
【解析】当时,同x=0,X1=0(舍去),x.=l
当x<l时,则f+x—2=0,Xi=l(舍去),x2=—2,.*.X]=1(x2=—2.
题型五含参数的一元二次方程
【例5】(17年武汉中考题改编)已知关于x的一元二次方程以2+(/一1丘一“=。的的一个根为加.若2
<w<3,求〃的取值范围.
【解析】分解得,(ax-1)(x+a)=0,解得x=-a或x=1.
a
当"z=-q时,一3V〃V—2:
当用=工时,-<a<-
a32.
【点评】解含参数的一元二次方程首先尝试因式分解法,若不能,就用公式法.
针对练习2
1.给出一种运算:对于函数少=£',规定V=〃x"T.例如:若函数》=/,则有了=4/.已知函数y=x)
则方程V=12的解是西=2,三=一2.
2.用适当的方法解方程
(2)?-4x-3=0;(3)?+5x+3=0⑷一Lf+x+2=0;
(1)x(x-4)=2-8x;;
2
(5)X2-8X+15=0;(6)3y+10丁-8=0;(7)瓜2-瓜-&x+2=0.
解:(1)解:句=2+2鱼用=2-2J2
(2)Xi=2+yfl,*2=2-J7;
-5+V13-5-V13
(3)Xi=--------,x->—----;---
2-2
(4)M=1+y[5,x->—1—y[5;
(5)工|=3,冗=5;
2
(6)(y+4)(3y—2)=0,“=—4,%=§;
x甘金亚
(7)
3.解方程:(1)x—3忖—4=0;(2)x—6x—|x—3|+3—0.
【解析】解法1:显然xWO.当x>0时,f—3x-4=0,所以》=4,%=-1(舍去).
x〈0时,x'+3x—4=0,所以汨=-4,x?=l(舍去).所以原方程的根为x=4,x=-4.
(2)将原方程化为卜-3「一k-3|-6=0,因式分解得(|x-3|-3)(|x-3|+2)=0,
所以|x-3|-3=(),解得w=0,三=6.
4.解卜.列关于x的方程:
(1)/一(%+2)x+2A=0;⑵一一(2/+1)x—/—/+2=0;
【解析】(1)xt=k,x,=2i
(2)x}--t-2,X2=-f+1
5.(1)已知方程d—ax+Q—1)=0的一根。,且3W。<4,则"的取值范围是;
(2)已知关于x的方程f—(2加-l)x+〃J—加一2=0的一根大于2,另一根小于1,求,”的取值范围.
【解析】⑴4—V5:
(2)解得x=/„+l或团一2,,:m+i>nt-2,1>2且阳一2V1,二1<加<3.
【板块三】可化为一元二次方程的解法
方法技巧
利用换元法,整体思想来解方程
题型一某些特殊的高次方程
【例1】(1)解方程:(Y+x)?—5(x?+x)+4=0;
(2)已知实数a,b满足(/+〃7—3(/+〃)—10=0,试求/+〃的值.
【解析】(1)设y=/+x,则_/—5y+4=0,整理,得(夕―1)口—4)=0,解得必=1,8=4.
,,-1+J?
当+x=1即X?+X-1=0时,解得:X[1,2=----2--
当炉+》=4即x2+x-4=0时,解得:£,4=苫叵.
(2)设”乞+/,则小一3尤-10=0,整理,得(x—5)(x+2)=0,
22
解得须=5,X2=-2(舍去),^a+b=5.
【点评】利用换元法,可以将某些特殊的高次方程转化为一元二次方程.
题型二某些特殊的分式方程
【例2】已知实数x满足x?+4+x+L=0,求x+1的值.
XXX
【解析】原方程化为(x+gj+(x+g)—2=0,令x+g=/,则-2=0,解得八=一2,4=1.
当为=1时,x+-=\,方程没有实数根,舍去.所以x+工的值为-2.
XX
[例3]解方程:晨+区+*丁-4=H;
lx2+2x-83x2+9x12
【解析】设f"X=居则原方程可化为与+2_=旦,解得凶=±%=_L,
x+x-423y1232
-,5土病
可求为=-1,4=14,24=------
【点评】利用倒数型换元.
【针对练习3]
L设°,人是一个直角三角形两条直角边的长,且(/+尸川2+〃+1)=12,则这个直角三角形的斜边长
为/,
Q
2.若2X2-5XH----------5=0,贝[]2--5x7的值为_____________.
2x2-5x+]
【解析】令2--5x=y,则卜+心―=5,解得,V|=l,p.=3,所以2”一5.—1=()或2
»+1
3.解下列方程:
(1)(x'一3x)~—2(y—3JC)—8=0;(2)(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)=120;
(3)2{x~4——)—3(A-?—)—■1
x,x
【解析】(1)设V—3x=y,则尸一2y—8=(),解得,=—2,此=4.由尸一2,求出x值为2或1;由y
二4,求出x值为4或一1.
(2)M=—6,占=1
【板块四】配方法的应用
方法技巧
将一个式子或一个式子的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和,这种解题方法称
为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中,其作用在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的利
器,其实质在于改变式子的原有结构,是变形求解的有力手段之一.应用配方法解题的关键在于配凑成完
全平方式,拆项与添项是常用的技巧.
常用公式有:(1)『±2ab+b?=(a")一;(2)a2+b2+c2+2ab+2bc+lac-(a+Z?+c)2:
(3)a~+b2-1-c2bcQac觎)-(ctz)];
(4)ax2+bx+c=a^+^~+,;(5)当a〉0时,a-(>/^)',^+b=(-Ja+-2-jab.
题型一判定代数式的正负
【例1】(1)对于任何实数x,均有:2f+4x+3>0;
(2)求证:不论x为何值,代数式一4f+8x—9的值总小于0:
【解析】(1)2xJ+4x+3=2tr+1)2+1>0;
(2)—4/+8x—9=—4(x—1尸一5<0.
题型二求代数式的最值
【例2】已知实数x,y满足/十34+厂3=0,求x+y的最大值.
【解析】将7=7-3%+3代入x+y,得x+y=-/-2x+3=-(x+1)"+4,的最大值为4.
【例3】设a,6为实数,求代数式5。2+5〃-4a6-32a-4/>+10的最小值.
【解析】将原式配方为(a-26)2+4(a-4)2+(Z)-2)2-58,当a=4,6=2时,原式有最小值-58.
题型三求代数式的值
【例4】已知a=」一x-\,b=—-—x+2,c-——x+3,求/+〃+c?-ab-6c-ac,的值.
201520152015
【解析】a2+b2+c2-ab-be-ac=^[(^a~b)2+(b-c)2+(c-a)~]>由己知条件得“一Z»=—3,b-c=-1,
c—”=4,代入上式,得出该式子的值为13.
题型四判定三角形的形状
【例5】已知a,b,c为△/8C的三边长,若+加+ca,试判断△48C的形状,并证明.
【解析1a'+%-+c1:=ab+6c+ca=L[(a-/>)-+(b-c)-+(c-a)1=0,故a=b=c,所以△43C是等边三角
形.
题型五证明两数的关系
【例6】已知实数a,b,c满足a=6—b,c2—ab-9,求证:a=b.
【解析】由条件知a+6=6,=c24-91于是“,〃是方程x。-6x+d+9)=0的两根,
illa,6是实数,所以4N0,即36—4<?-3620,c2<0,从而<:2=0,/=0,所以a=Z>.
针对练习4
1.一元二次方程x?-px+1=0配方后为(x-夕>=15,那么一元二次方程X?-px-l=0配方为(D)
A.(x-4)2=17B.(x+4)2=15C.(x+4)2=17D.(x-4『=17或
2
(x+4)=17
2.已知M=10a2+b2-7a+8,N=a2+b2+5a+l,则M-N的值(B)
A.一定是负数B.一定是正数C.一定不是负数D.一定不是正数
3.己知实数机,Hm-M2=1,则代数式+2〃2+4机-1的最小值等于-4.
4.设“7>">0,m2+n2=4mn,求%-上的值.
mn
解:由加2+/=配方,得(加+〃)2=6)〃,(/?/-n)2=2mn,因为加>〃>0,所以m+n=d6mn,
m-晔扃,则^^=(〃,+〃)(〃"〃)=屈*屈=卑=26
mnmninn
5.若实数a,6满足/一36+“+1=0,求满足条件的a的最大整数值.
解:a=—b2+3b—\=—[b——'l+—,
[2J44
的最大整数值为1.
6.(1)如果x2+V-8x+10y+41=0成立,求(x+y严的值;
(2)+y2+xy+x-y+\=Q,求/的值.
解:(1)配方得(x-4f+(y+5)2=0,x-4=0,y+5=0,:.x=4,y=-5,所以(x+=1;
(2)由x?+),+中++1=o得_L[(x+y)2+(x+I)。+(y-1)1=0,再由非负性可得x=-l,y-\>
x2-y2=0.
7.已知q,h,c是整数,且a-26=4,ab+c2-\=0,求〃+/J+C的值.
解:将a=26+4代入M+c2—1=0,配方得2(6+1)2+c2=3.
a.h»c是整数,(6+1)。=1ILc2=1.*'./>=0yJ(,-2»c=±1而a+6+c的值为31—3,5,-1.
8.若实数x,y,z满足x=4-y,z2=xy-4,求证:x=y.
解:仿例6.
第2讲根的判别式与根系关系
知识导航
1.一元二次方程根的判别式;
2.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理).
【板块一】一元二次方程根的判别式
方法技巧
1.不解方程,判断一元二次方程根的情况;
2.确定一元二次方程中字母参数的取值范围;
3.解决一元二次方程的整数根的问题;
4.求代数式的最值;
5.借助判别式,运用一元二次方程有解的代数模型,解几何存在性问题,最值问题:
题型一用于参数方程根的判定
[例1]关于x的一元二次方程X?-(a+3)x+2a+2=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一根大于3,求”的取值范围.
【解析】
(1):A=[-(a+3>-4xlx(2a+2)]=(a-1)2)0,.♦.方程总有两个实数根;
2
(2)Vx-(a+3)x+2a+2=(x-2)[x-(a+1)]=0,x,=2,x2-a+\,
a+1>3,a>2.
题型二判别式求参数的取值范围
【例2】若关于x的方程(加2-1]-2(〃?+2)》+1=0有实数根,求,”的取值范围.
【解析】分两种情况讨论:①加2-1HO,此时△=[-2(机+2)了-4(机°-])20,解得机)—;且加父±1;
②/一[=0,即加=±1,此时方程为一元一次方程,显然有实数根.
综合①②两种情况,得出m的取值范围为m.
4
【例3】已知关于x的一元二次方程(1-2%)/-2仄不-1=0有两个不相等的实数根,求人的取值范围.
【解答】A=(-2VTFT)2-4x(1-2A:)x(-1)>0,且1-2%片0,且A+l>0.
解得-1W4<2,旦我=1.二左的取值范围是旦4工1.
22
【点评】注意例2与例3的区别与联系.
【例4】若关于x的方程-+ax|=4只有3个不相等的实数根,求a的值或取值范围.
【解析】原方程可化为下面两个方程:x2+ax-4=0①,x2+ax+4=0②,
方程①4=/+16>0,方程②T6》0.因为A|>A2,
所以只可能A2=°,即“=±4.故a=±4.
题型三判别式用于整数根问题
例5当加是什么整数时,关于X的方程32_4x+4=0与f_4/nx+4m2-4m-5=0的根都是整数?
解析:由两个方程都有实数根,得一*三加K1,;W为整数,,m=—1,0,I
4
当切=0时,代入第二个方程,得f-5=0,%=土石,不合题意,舍去
2
当〃?一1时,方程mx-4x+4=0为x?-4x+4=0,其根,为须=x2=2
2
方程x-4mx+4〃--4"?一5=0为一一4》一5=0,其根为%=5,x2=-1
当机=一1时,方程加/一4》+4=0为f-4x+4=0其根不是整数;
综上,当〃?=1时,方程加F-4x+4=0与—4mx+4m2-4m—5=0的根都是整数
题型四判别式法求极值
例6若x,y是实数,且/”=/一4盯+6y2-4x-4y,试确定机的最小值
解析:解法一:将原等式改写为x2—4xy+6y2-4x-4y-〃z=0,即x2-(4y+4)x+6y2—4y-m=Q,
;x是实数,判别式△》(),即(4y+4>—4(6/一4y—〃?)之0,
配方,得一8(y-3)2+88+4优20,,当》=3时,加有最小值一22
解法二:m^x2-4(y+l)x+(2y+2)2+6y2-4y-(2y+2)2^(x-2y-2)2+2(y-3)2-22
当x-2y-2=0FLy-3=0时,即x=8FLy=3时,M取得最小值一22
针对练习1
1、当%=时,关于x的二次三项式丫2-2(左+l)x+4+7是完全平方式
解:-3或2
2、已知关于x的方程(左-1)—9—(左一l)x+上1=0有两个相等的实数根,求人的值
4
解::关于X的方程(左―1口2—(左一1)》+』=0有两个相等的实数根,.,.△=()FLR-1W0
4
,10
...[―(左一1)]2—4(左一1>—=0n严_3左+2=0,解得K=l(舍去)或彳=2,...k=2
4
3、"1为何值时,关于x的方程(加-l)x?+2〃吠+/〃+3=0
(1)有两个实根?
(2)只有一个实根?
(3)有实根?
33
解:(1)由题意得加工1且△》(),得加〈己且加工1,...当加《己且加/1时,方程有两个实数根
22
(2)由题意,方程为一元•次方程,此时加一1=0,
...当〃?=1时,方程为2x+4=0,方程只有一个实数根
(3)①当m=l时,方程2x+4=0,方程有•个实数根:②当团当时,由题意得
33
A=(2"?)2-4(〃?-1)(加+3)=-8〃?+12N0.解得加W5当初《彳且加71时,方程有两个实数根。
综上所述,加<己3时,方程有实数根
2
4、已知关于x的一元二次方程(a+c)/+2bx+(a-c)=0,其中a",c分别为△48C的三边长
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△XBC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△/BC的形状,并说明理由;
(3)如果△Z3C是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
解:(1)△48C是等腰三角形,理由如下:把》=一1代入方程,得a+c—26+a—c=(),所以。=从故
△/8C是等腰三角形
(2)△/8C是直角三角形,理由如卜:方程有两个相等的实数根,则(2少_4(a+c)g-c)=0=/=〃+c2,
故(2b)2-4(a+c)(a-c)=0na2
(3)如果△/8C是等边二角形,则a=6=c,所以方程可化为:2ax2+2ar=0,所以方程的解为
Xj=0,x2=-1
5、若关于X的方程,2—3x|=m有且只有两个不相等的实数根,求m的值或取值范围.
解:当加=0时,方程*一3》=0,显然行两个不相等的实数根;当机>0时,有3%—阳=。或
2
x-3x+m=0,A,=9+4/77,A,=9—4m.很明显,A,>A2
9+4m>0QQ
因此1解得〃?>一,故,"的取值范围是,〃=0或"z>—
9-4m<044
板块二一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
方法技巧
1、求方程中字母系数的值或取值范围
2、求代数式的值
3、结合根的判别式,判断根的符合特征;
利用根与系数的关系解题的基本思路,需要注意的是,应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有
两个实数根,所以,应用根与系数的关系解题时,必须满足:①a#0,②判别式△》()
题型一根的定义与根系关系结合求值
(-)对称式求值
例I若abwl,且2/+54+1=0,〃+56+2=0,求2^2
的值
111,工]可以看成是关于x的一
解析:2a2+5a+l=0,=+5x—+2=0;又-,-b2+5b+2=0
aaa
元二次方程x2+5x+2=0的两根,
-b=2:.a=-
a2
(二)非对称式求值
例2设方程/+x—1=0的两个根是玉,々,求4x:+10x:的值
解析由/+x—l=0得/=1一工,由韦达定理得玉=-1
故4x;+10*=4玉(1一项)2+10X2(1-X2)=20(X,+X2)-22=-42
点评利用根的定义,将非对称式转化为对称式,再利用根系关系求值.
题型二求方程中待定系数的值
(一)先用判别式求字母的范围,再用根系关系求字母的值
例3已知关于x的方程/一2(m+1)》+加2+2=0
(1)若方程总有两个实数根,求,"的取值范围;
(2)若两实数根不,%满足(x,+l)(x2+1)=8,求机的值
解析:(1)V方程总有两个实数根,A=[-2(/〃+l)]2-4(〃J+2)N0%^m2;
2
(2)丫王,々为方程的两个实数根,,x1+x2-2(m+1),x,x2-m+2
(X|+l)(x?+1)—X|%2+玉+x2+1=8>n~+2+21n+2+1=8,
解得叫=1,%=—3(舍去)tn=l
(二)先用根系关系求字母的值,再用判别式检验
例4已知西,马是关于X的一元二次方程一+(3。-1卜+2/-1=0的两个实数根,使得
(3%,-x2)(X1-3X2)=-80成立,求其实数a的可能值
解析•••玉,々是关于x的一元二次方程X?+(3a—l)x+2/-1=0的两个实数根,
2
x]+x2=~(3a-1),x[x2=2a-1,而(3七一%)(七一3%2)=-80
—
•*-10XjX2+——803(X1+x2)~—16玉々=—80
33
•**3]—(3Q—1)]~—16(2a~—1)=—80「・5Q~+18a—99=0,/.Q=3或——
33
"ia=3时,厂+(3。—l)x+2a—-1=0的△VO,不合题意舍去,,a=——
题型三利用根系关系求最值
例5若关于x的方程一+2〃?氏+加2+3〃?-2二0有两个实数根王,/,求王(/+玉)+石的最小值
解析1](工2+再)+只=玉%2+只=(玉+12)2一马12又,:+x2=-2m
2222
xxxy-m+3加一2原式=(-2m)—(m+3m-2)=3m—3m+2=3(〃?—卞2+:
2
•.・方程有实数根,,A=4m2-4(m2+3w-2)>0m<-
,当m-工时,3m2-3m+2最小值为°
24
题型四一元二次方程根的分布
例6当m为何值时,关于x的一元二次方程f—5x+1—〃7=0的两根都大于2?
解析方程有两根都大于2的条件是△》(),(x,-2)(X2-2)>0,由此得到关于m的不等式
例7已知关于X的一元二次方程依2+(2左-3)x-10=0的两根都是负数,求上的取值范围
解析::原方程有两个实数根,.•・△NO,即(2左一3)2-4左/一10)=28左+920
解得上2-二且左手0又:原方程的两根都是负数,若设方程两实数根为玉,x2
1
282
2"-33
%+/=-------<0,解得左>一或左<0
k2
109
X/2二----->0,解得女>10或I<0所以k的取值范围是一—<k<0或左>10
针对练习2
1、若实数满足5〃2+2012Q+9=0及9/+2012力+5=0,比6w0,则@=(B)
2、已知〃,6是关于x的方程Y+(朋一5)x+7=0的两个根,则(/+加。+7)(〃+m6+7)=(D)
A.365B.245C.210D.175
3、已知不,工2是关于1的方程/一(2左一1)1+公+3左+5=0的两个实数根,且年+考=39,则攵的值
为-3
4、已知方程x2+3x+l=0的两个根为a,8,求
解:3
5、已知a"是方程/+*-4=0的两个实数根,求不一5〃+10的值
解::“"是方程/+x—4=0的两个实数根,...a+b=-1,/=4—a,〃=4—b
星-5b2+10=a(4-a)-5(4-b)+10=5(a+b)-14=-19
6、已知关于x的方程x?-(a+b)x+ab-l=0的两根西,x2,给出四个结论中:①苞Kx?;®x}x2<ab;
③x;<a2+b2i④若X]<X2,且a<b,,则(玉-。)区-b)<0正确结论的序号是(B)
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
7.已知a>2,一一2〃?+2=0,n'~~2an+2=0,且加W”,则(加-1)°+的最小值是()
A.6B.-3C.3D.0
答案:A
8.已知关于x的方程/+(2&-1丘+产-1=0有两个实数根%,x2
(1)求实数%的取值范围;
⑵若Xi,X?满足x「+x;=16+如如求实数人的值.
答案:
(1)•.•方程有两个实数根,.♦.△=(2女一1/一4(芯一1)20,得kW9;
4
==
(2)\*X1+x21—22X[-x2k—11(先+/)"—2MM=(1—2左)一2(/-1)=16+/一1,
解得上=-2,履=6(舍去),二左=一2.
9.已知知不是关于x的方程9-8+/=0的两个非负实数根.设^=/+£的最大值为最小值为〃?,
求M-m.
答案:xl+x2=ltXjX2—3・'・y=婷+/=[卜+&)2—2r死了—2即案?=2/一虹+1=21)?—1,
根据题意△=1一乙》0,又•.",M为非负实数根,/20,.
44
当f=0时,y取得最大值M,且M=l,
当'=(时,y取得最小值"八R-m~11:.M-m=1
10.已知关于x的方程(左一l)x'+2丘+2=0.
(1)求证:无论人为何值,方程总有实数根;
(2)设处,9是方程Q—l)f+2依+2=0的两个根,记$=三+%+汨+石,S的值能为2吗?若能,求出
演x2
此时%的值.若不能,请说明理由.
答案:
(1)①当左一1=0即%=1时,方程为一元一次方程2x=—2、x=—1有一个解;
②当%—1#0即左W1时,方程为一元二次方程,
△=(2外2—4义2々-1)=轨2—8%+8=4(4—1尸+4>0,方程有两不等根.
综合①②得:无论人为何值,方程总有实数根;
一2斤2
(2)由一元二次方程根与系教的关系得:x,+x2=—,和尸尸一,
k-\k-\
又。5=五+%+汨+羽=2左一2,,当5=2时,2左一2=2,解得左=2.
占x2
:.S的值能为2,此时k的值为2.
11.已知汨,应是关于X的一元二次方程f—2(m+l)x+加2+5=0的两个实数根.
⑴若(修一1)氏-1)=19,求tn的值;
(2)已知等腰△力8C的一边长为7,若XP为恰好是△ZB。另外两边的边长,求这个三角形的周长.
答案:
(1)Vxj,为是一元二次方程的两个实数根,.,・%+X2=2(胆+1),%i$=M+5,
・二(%—1)(/—1)=Mx2一(M+电)+1="7+5—2(m+l)+1=19,解得皿=5,侬=-3;
△=4(m+1)=4(M+5)20,m22,m=5;
(2)当汨=7时,代人方程得72-2(m+l)X7+M+5=0.解得见=4.牝=10.
当m=4时,X2=3;
当战=10时,X2=15,此时7+7V15,不能组成.三角形.
当为=%时,方程有两个相等的实数根,
/.△=8/«—16=0,m=2,
,汨+%=6,曲=芯=3,此时3+3V7,不能组成三.角形.
・・・这个三角形的周长=7+7+3=17.
第3讲实际问题与一元二次方程
【知识导航】
面积问题,增长率问题,传染问题,循环及握手问题,经济问题等.
【板块一】面积问题
【方法技巧】
注意题目中隐含条件,用平移表示矩形的长度.
【题型一围栏靠墙】
【例1】如图,要建一个矩形的鸡场N8CC,鸡场的一边靠墙,另外三边用竹篱笆围成,墙的长度为14m
墙的对面开一个\m宽的门,现有竹篱笆总长31/n.
(1)若要围成的鸡场面积为120病,求鸡场的长和宽各是多少机?
(2)当边的长为加时,鸡场面积最大,最大面积为m2
1米—J
答案:
(1)设鸡场的宽48为X*则8c=(31-2x+l)孙依题意得,x(31-2x+l)=120,
解得Xi=6,x:=10,由0<31—2x+l<14得9Wx<16,,'.x=10.
答:长为12m,宽为10m.
(2)S=x(31-2x+l)=-2(x-8)-+128,当x=8时,S有最大值为128.
【点评】矩形开口就是增加氏度,要注意取值范围.
【题型二矩形中通道】
【例2】如图,要设计一副宽20cm、长30cm的图案,其中有一横一竖的彩条,横、竖彩条的宽度之比为
2:3.如果要彩条所占面积是图案面积的19%,问横、竖彩条的宽度各为多少?
答案:设横彩条的宽为2xcm,竖彩条的宽为3xcm,依题意,得:
(20-2x)(30-3x)=81%X20X30.解之,得乐=1,x2=19
当x=19时,2x=38>20,不符题意,舍去.所以x=l
答:横彩条的宽为2cm,竖彩条的宽为3cm.
【题型三边框设计】
[例3]第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在中国武汉举行,小郑幸运获得了一张军
运会吉祥物“兵兵”的照片.如图,该照片(中间的矩形)长29cm、宽为20cm,她想为此照片配一个四条
边宽度相等的镜框(阴影部分),且镜框所占面积为照片面积的,,为求镜框的宽度,他设镜框的宽度为xcm.
依题意列方程得
答案:设镜框的宽度为xcm,依题意列方程,(29+2x)(20+2x)=*X29X20,
4
化简得,4/+98x-145=0.
【针对练习1]
1.如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如
果要使四周的边衬所占面积是封面面积的U,上、卜边村等宽,左、右边衬等宽,则上、下边衬的宽为
)cm
2.要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片
面积的U,则镜框边的宽度为()
24
A.1cmB.2cmC.2cmD.2.5cm
答案:D
3.如图所示,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑相同宽度的甬道(图中阴影部分),余下部分种上
草坪,要使草坪面积为540〃/,求甬道宽.
答案:设甬道宽为X,",依题意得,(32—x)(20—x)=540,解得M=2,x2=50,Vx<20,:.x=2
答:甬道宽为2〃?.
4.如图,-幅长20cm、宽12cm的图案,其中有-一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2.若图案
中三条彩条所占面积是图案面积的(2,求横、竖彩条的宽度.
答案:设横彩条的宽度为3xcm,竖彩条的宽度为2xcm.
(20-4x)(12—3x)=20X12X(1一|)解得内=1,x2=8.
V3x<12,:.x<4,:.x=l.
答:横彩条的宽度为3cm,竖彩条的宽度为2cm.
5.如图,利用一面墙(墙的长度为20加),用34"?长的篱笆围成两个鸡场,中间用一道篱笆隔开,每个鸡
场均留一道1加宽的门,设的长为X"?.
(1)若两个鸡场总面积为96病,求x;
(2)若两个鸡场总面积和为S店,求S关于x的关系式;
⑶两个鸡场面积和S有最大值吗?若有,最大值是多少?
-201Tl
£1
BFC
答案:
(l)x=8,提示:x(36—3x)=96,x=4或x=8,当x=4,/£>=24>0,舍去;
(2)S=ADXAB=(36-3.Y)x=-3r'+36x(—WxW史):
33
(3)S=-3x::+36x=-3G-6)2+108,当x=6,即力8=6时,S取得最大值108.
【板块二】循环向题、增长率问题、传染等问题
1.〃支球队参加单循环比赛、一共赛(〃一1)场;〃支球队参加双循环比赛,一共赛〃("一1)场;
2
2.基数力经过两轮增长(下降),平均增长(下降)率为x,两轮后结果为4(1士x)\
3.一人感冒,经过两轮传染,平均每人传染x人,两轮后感冒人数为(l+xT
【题型一循环问题】
【例1】要组织一次篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排15场比赛,应邀请多
少个球队参加比赛?
【解析】设应邀请x个球队参加比赛,依题意得,
-x(x—1)=15,解得XI=6,如=—5(舍去)
2
答:应邀请6个球队参加比赛.
【例2】九年级某班在调研考试前,每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片、全班共送了1980
张卡片.设全班有x名学生,根据题意列
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