湖北省部分重点中学2023～2024学年高二数学下学期五月联考试卷含答案

湖北省部分重点中学2024春季高二数学五月联考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式、一元一次不等式的解法分别解集合A，B，结合交集的定义与运算即可求解.【详解】或，，所以，即.故选：A2.已知，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值.【详解】，因为，所以，解得.故选：B.3.已知随机变量服从正态分布，，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7【答案】A【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】因随机变量服从正态分布，，所以.故选：A.4.随机变量的分布列如下：12若，则（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据分布列概率之和为1以及期望值列方程组，解方程组求得a、b的值，进而求得方差.详解】由题意可知，，所以.故选：B5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为A.42 B.30 C.20 D.12【答案】A【解析】【详解】原定的5个节目之间有6个位．当插入的这两个新节目在一起时，有插法；当插入的这两个新节目不在一起时，有插法，所以总的不同插法的种数为种．故选：A．【点睛】关于排列和组合的题目，常用到捆绑法和插位法．捆绑法是将一些对象看作一个对象进行排列；插位法是将一些对象进行排列后，再对剩下的对象进行排列．6.某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（）A.0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.52【答案】C【解析】【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得.详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，根据题意得，，，由全概率公式，得，因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.5.故选：C.7.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，所以.故选：D．8.已知函数，对任意，，且，都有成立，则实数a的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件构造新函数，再由函数的单调性，求出a的取值范围.【详解】当时，易知函数在上是增函数，不妨设，则．由，所以．所以，即．设，则在区间上是减函数．所以在时恒成立，因为，所以在时恒成立，即在时恒成立，即．而在区间上是增函数，所以的最大值为，所以，又，所以．故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则（

）A. B.C.二项式系数和为256 D.【答案】ACD【解析】【分析】令可判断A选项；令可判断B选项；求出二项式系数和可判断C选项；由两边求导，令得可判断D选项.【详解】由，对于A，令得，A选项正确；对于B，令得，所以，B选项错误；对于C，二项式系数和为，C选项正确；对于D，由，两边求导得，令得，所以D选项正确.故选：ACD.10.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（）A.两两互斥 B.C.事件B与事件相互独立 D.【答案】ABD【解析】【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A，因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确；对于B，因为，，故B项正确；对于C，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误.对于D，又，所以，故D项正确.故选：ABD11.已知函数，则（）A.有两个极值点B.有三个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线【答案】ACD【解析】【分析】求导，利用导数研究函数的单调性、极值和零点，即可判断A，B；根据函数的对称性判断C；利用导数的几何意义求的的切线方程，即可判断D.【详解】由得，令得：，令得或；令得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以有两个极值点为极大值点，为极小值点，故A正确；又，，而趋向于负无穷大时也趋向于负无穷大；趋向于正无穷大时也趋向于正无穷大；所以仅有1个零点如图所示，故B错误；又，所以，所以关于对称，故C正确；对于D，设切点，在P处的切线为，即，若是其切线，则，则，此时切点为时，切线方程直线，所以D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据：134571520304045根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为__________.（残差观测值-预测值）【答案】【解析】【分析】首先求样本点中心，并代入回归方程，求，并代入后，即可求解残差.【详解】，因为回归直线过点，代入，可得，当时，，所以残差为.故答案为：13.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列前n项和为，则______.【答案】111【解析】【分析】由“杨辉三角”的性质，得，前半部分用等差数列求和，后半部分用组合数的性质可得结果，再由即可得解.【详解】由“杨辉三角”的性质，得，所以.故答案为：14.已知函数，当时，函数在点处的切线方程为________；若对恒成立，则实数a的最大值为__________．【答案】①.②.【解析】【分析】①运用导数几何意义求得斜率，进而求得切线方程.②将问题转化为，恒成立，构造函数，，研究其单调性进而得到，恒成立．运用导数求的最小值即可.【详解】①当时，，则，∴，，所以函数在点处的切线方程为，即．②因为，，即，则，恒成立．令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，得，即，恒成立．记，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增，故的最小值是，故，即实数a的最大值是e．故答案为：①.②e.【点睛】同构法的三种基本模式：①乘积型，如可以同构成，进而构造函数；②比商型，如可以同构成，进而构造函数；③和差型，如，同构后可以构造函数f或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知在二项式展开式中，第项为常数项.（1）求；（2）求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；（3）在的展开式中，求含的项.【答案】（1）；（2）32；（3）.【解析】【分析】（1）写出展开式的第项，再令的指数为，即可求出；（2）根据二项式系数的性质计算可得；（3）由，写出展开式的通项，利用通项计算可得.【小问1详解】由题意得第项为，则，解得.【小问2详解】所有奇数项的二项式系数之和为.【小问3详解】由（1）知，其中展开式的通项为（且），则的展开式中，含的项为，含的项为，所以在的展开式中含的项为.16.设函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，证明：当时，．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性；（2）由（1）可知函数的单调性，可求函数的最小值，从而得证.【小问1详解】由题知，函数的定义域为，所以求导得，若，由得或，由得，所以函数在，和上单调递增，在上单调递减，若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，若，由得或，由得，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】当时，，由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以当时，.17.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：性别不经常锻炼经常锻炼合计男生7女生1630合计21注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差；（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．附：，0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）表格见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系（2），（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）先根据题意完成列联表，代入公式可得，即可得到结论；（2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为，从而可得，即可求得和；（3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值．【小问1详解】根据题意可得列联表如下；性别不经常锻炼经常锻炼合计男生72330女生141630合计213960零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算可得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．【小问2详解】因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，故，．【小问3详解】易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：，，，故所求分布列为Y0123P可得18.中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，使我国一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国.某新能源汽车配件企业积极加大科研力度，生产效益逐步攀升.该企业在今年1月份至5月份的生产利润（单位：亿元）关于月份的数据如下表所示：月份12345生产利润（亿元）268910（1）试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则认为两个变量具有较强的线性相关性）（2）为扩大生产，该企业在M大学启动了校园招聘，分别招聘A、B两个工程师岗位，两个岗位都各设有3门笔试科目.M大学的硕士毕业生张无忌决定参加这次应聘，且每门科目考试是否通过相互独立.若张无忌报考A岗位，每门笔试科目通过的概率依次为，，，其中；若张无忌报考B岗位，每门笔试科目通过的概率均为.且张无忌只能报考A，B两个岗位中的一个.若以笔试中通过科目数的数学期望为依据作出决策，得出张无忌更有希望通过A岗位的笔试，试求的取值范围.附：参考数据：，，.相关系数.【答案】（1），y与x具有较强的线性相关关系（2）【解析】【分析】（1）计算相关系数r，再进行判断即可；（2）分别计算通过A，B两个岗位的科目数学期望，再比较大小判断即可.【小问1详解】由题意，，故y与x具有较强的线性相关关系.【小问2详解】由题意，因为每门科目考试是否通过相互独立，故张无忌通过A岗位的3门笔试门数的数学期望为，通过B岗位的3门笔试门数的数学期望为，故若张无忌更有希望通过A岗位的笔试，则，又，解得.即的取值范围19.五一假期后，高二年级篮球赛进入白热化阶段，甲、乙、丙三支种子队在进入半决赛之前不会相遇.他们都需要在最后一轮小组赛中战胜对手从而进入淘汰赛，然后在淘汰赛中胜出才能进入半决赛.已知甲队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；乙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；丙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和，其中.（1）甲、乙、丙三队中，谁进入半决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为，求的值；（3）在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入半决赛的队伍数为，求的分布列及期望.【答案】（1）乙进入半决赛的可能性最大（2）（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，分别求得甲乙丙进入半决赛