2024年广东省惠州市大亚湾区中考二模数学试题（含答案）

第第页2024年广东省惠州市大亚湾区中考二模数学试题一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．|−1A．−12024 B．12024 2．2024年2月15日24时，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式闭园，该届冰雪大世界共计运营61天，累计接待游客2710000人次，为海内外游客展示了中国东北地区的冰雪魅力．将“2710000”用科学记数法表示为（）A．2.71×105 B．27.1×105 C．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A． B． C． D．4．下列运算正确的是（）A．3a2−a2=2a4 5．若x=2是关于x的方程kx−1=3的解，则k−2的值是（）A．−1 B．2 C．1 D．06．如图，点A，B，C在⊙O上，连接AB，AC，OB，A．80° B．90° C．100° D．110° 第6题图 第7题图7．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．BC=CD B．AB=AC C．AC⊥BD D．∠ABO=∠CBD8．某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛.7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．95，92 B．93，93 C．93，92 D．95，939．已知一次函数y1=x+2和反比例函数y2=3A．−3<x<0或x>1 B．−3<x<1 C．x<−3或0<x<1 D．x>110．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则tanθA．53 B．35 C．43二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．因式分解：9a212．在平面直角坐标系中，点M2m，m+1在y轴上，则13．若半径为8的扇形弧长为2π，则该扇形的圆心角度数为．14．某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为． 第14题图 第15题图15．如图，△OAD、△ABE、△BCF均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，OA=1，OB=3，OC=6，则三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分16．计算：517．先化简，再求值：x−1x218．图，已知▱ABCD，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）尺规作图：作∠ADC的角平分线DF交BC于点F；（不写作图过程，只保留作图痕迹）（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分19．为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5相体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图的两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．（1）这次共抽取了名学生进行调查．（2）请你估计该校约有名学生喜爱打乒乓球．（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？20．某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2倍．（1）鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？（2）该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28元，杏仁饼每盒售价18元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？21．2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为（1）求点A离地面的高度AO；（2）求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1km/s五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．

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（1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；

（3）若BC＝6，tan∠F＝1223．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴交于点A(−4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=−x（1）求k的值及抛物线的解析式．（2）如图1，若点D为直线AC上方抛物线上一动点，当∠ACD=2∠BAC时，求D点的坐标；（3）如图2，若F是线段OA的上一个动点，过点F作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE．设点F的横坐标为m．①当m为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少；②是否存在以C，G，E为顶点的三角形与△AFG相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：|−12024|=12024，12024的相反数是-2．【答案】C【解析】【解答】解：2710000=2.71×10故答案为：C．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤a3．【答案】B【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形但是中心对称图形，故选项不符合题意；B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意；C．既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意；D．既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意．故答案为：B．【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、3aB、a÷a=1，故原选项计算错误，不符合题意；C、a2D、−a故答案为：C．

【分析】利用合并同类项、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方的计算方法逐项分析判断即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：将x=2代入方程kx−1=3，得2k−1=3，解得k=2，则k−2=2−2=0．故答案为：D．【分析】将x=2代入方程kx−1=3，求出k的值，再代入解析式即可求出答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，∴∠BOC=2∠BAC=110°；故答案为：C.【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，当BC=CD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形，故选项A，C正确；当AB=AC时，但AB与BC可能不相等，四边形ABCD不是菱形，故选项B错误；当∠ABO=∠CBD时，由AD∥BC得：∠CBD=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D正确．故答案为：B．【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，分情况讨论，结合菱形判定定理即可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得95出现的次数最多，

∴这组数据的众数为95，

将数据从小到大排列得88，89，91，93，94，95，95，

∴这组数据的中位数为93，

故答案为：D

【分析】根据众数和中位数的定义结合题意即可求解。9．【答案】A【解析】【解答】解：∵一次函数y1=x+2和反比例函数∴y1=y整理得：x2因式分解得：x+3x−1∴x+3=0或x−1=0，解得：x1=−3，如图，画出图象观察分析，∴当y1>y2时，x的取值范围为故答案为：A．【分析】先求出一次函数和反比例函数的交点横坐标，当一次函数y1=x+2的图象在反比例函数y210．【答案】A【解析】【解答】解：∵大正方形面积为136，小正方形面积为16，∴大正方形边长的平方为136，小正方形边长为4，∴设一个直角三角形短直角边为x，则长直角边为x+4，∴在一个直角三角形中应用勾股定理：x2解得x=6或x=−10（舍去）∴长直角长为10，短直角边长为6，∴tanθ=故答案为：A．【分析】根据题意先求得大正方形边长的平方为136，再求得小正方形边长为4，设一个直角三角形短直角边为x，则长直角边为x+4，根据勾股定理建立方程，解方程可得长直角长为10，短直角边长为6，再根据正切定义即可求出答案.11．【答案】（3a+1）（3a-1）【解析】【解答】9故答案为：（3a+1）（3a-1）

【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可。12．【答案】0【解析】【解答】解：∵点M2m∴2m=0，∴m=0，故答案为：0．【分析】根据y轴上点的坐标特征即可求出答案.13．【答案】45°【解析】【解答】解：设圆心角为n°．

可得nπ×8180=2π，

解得n=45，

故答案为：45°.【分析】设圆心角为n°．根据弧长公式，列出关于n的方程求解.14．【答案】2500【解析】【解答】解：设功率为P，由题可知P=FV，即V=PF，

将f=3750N，V=20m/s代入解析式，

解得：即反比例函数为：V=75000将v=30m/s代入，得F=2500，故答案为：2500．【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将v=30m/s代入解析式求出F=2500即可.15．【答案】3【解析】【解答】解：如图所示，过点B作BH⊥CF于H，

∵OA=1，∴AB=2，∵△BCF是等边三角形，∴CF=BC=3，∴BH=BC⋅sin∴S△BCF∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE=60°=∠C，BE=AB=2，∴BE∥CF，∴S梯形∴S△BEF同理可得S△ADE∴S△BEF故答案为：3．【分析】过点B作BH⊥CF于H，根据边之间的关系可得AB=2，BC=3，再由等边三角形的性质得到CF=BC=3，∠C=60°，解直角三角形得到BH=332，则S△BCF=12CF⋅BH=93416．【答案】解：5=1+2−=7−​​​​​​​【解析】【分析】先计算零指数幂、化简绝对值、特殊角三角函数值计算、化简二次根式、计算负整数指数幂，再进行加减运算即可．17．【答案】解：x−1===−当x=2−1时，原式【解析】【分析】先计算括号，再将分式除法转换为乘法，结合完全平方公式化简，再代入x值即可求出答案.18．【答案】（1）解：如图所示

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC，∠CDF=1∴∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中∵∠A=∠CAB=CD∴△ABE≌△CDF(ASA)∴AE=CF，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．【解析】【分析】（1）根据角平分线作图即可.

（2）根据平行四边形性质可得AB=CD，AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，再根据角平分线定义可得∠ABE=12∠ABC，∠CDF=12∠ADC，则∠ABE=∠CDF，再根据全等三角形判定定理可得19．【答案】（1）50（2）300（3）解：列表如下：男1男2男3女男1男2，男1男3，男1女，男1男2男1，男2男3，男2女，男2男3男1，男3男2，男3女，男3女男1，女男2，女男3，女∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．∴抽到一男一女的概率P=6【解析】【解答】（1）解：∵跳绳的人数有4人，占的百分比为8%∴4÷8%故答案为：50；（2）解：m=100%1500×20%故答案为：300；【分析】（1）由跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，可得总人数4÷8%（2）首先由条形图与扇形图可求得m=20%；由1500×20（3）根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．20．【答案】（1）解：设鸡仔饼的进价是x元/盒，则杏仁饼的进价是x−5元/盒，由题意得：300x解得：x=15，经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，∴x−5=15−5=10，答：鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒；（2）解：设购进鸡仔饼m盒，则购进杏仁饼60−m盒，由题意得：28−15m+解得：m>40，∵m为正整数，∴m的最小值为41，答：至少购进鸡仔饼41盒．【解析】【分析】（1）设鸡仔饼的进价是x元/盒，则杏仁饼的进价是x−5元/盒，根据用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2倍．列出分式方程，解方程即可求出答案.（2）设购进鸡仔饼m盒，则购进杏仁饼60−m盒，根据总获利超过680元，列出一元一次不等式，解不等式，即可求出答案.21．【答案】（1）解：∵∠AOC=90°，∠ACO=30°∴AO=1（2）解：∵∠AOC=90°，∠ACO=30°∴OC=3∵∠BOC=90°，∴∠∴OB=OC=43∴AB=OB−OA=(43∴飞船从A处到B处的平均速度=4【解析】【分析】（1）利用直角三角形中30度角的直角边等于斜边的一半求解；（2）先利用特殊角的三角函数求出OC，OB，再利用AB=OB-OA，求出AB，再求出飞船从A处到B处的平均速度．22．【答案】（1）证明：如图，连接OB，

∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°.

∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB.

又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）.

∴∠PAO="∠PBO=90°."∴直线PA为⊙O的切线.

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（2）解：EF2=4OD•OP，证明如下：

∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°.

∴∠OAD=∠OPA.∴△OAD∽△OPA.∴OAOP=ODOA，即OA2=OD•OP.

又∵EF=2OA，∴EF2=4OD•OP.

（3）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=12BC=3（三角形中位线定理）.

设AD=x，

∵tan∠F=ADFD=12，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3.

在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，

解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）.∴AD=4，OA=2x﹣3=5.

∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°.

又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=BCAC=610【解析】【分析】（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，从而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论；

（2）先证明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=2OA代入关系式即可；

（3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，从而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA2=OD•OP，代入数据即可得出PE的长.23．【答案】（1）解：∵直线y=kx+4与x轴交于点A(−4,0)，∴−4k+4=0，∴k=1，∴直线AC的表达式为y=x+4；当x=0时，y=4，∴点C的坐标为(0,4)，将点A的坐标为(−4,0)，点C的坐标为(0,4)，代入y=−x得：−16−4b+c=0c=4解得：b=−3c=4∴抛物线的解析式为y=−x（2）解：如图，过点C作CM∥x轴交抛物线于点M，过点D作CM的垂线，垂足为N，∵CM∥x轴，∴∠ACM=∠BAC，∵∠ACD=2∠BAC，∴∠ACD=2∠ACM，∴∠ACM=∠DCM，∵OA=OC=4，∴∠OAC=∠OCA=45°，∴∠DCM=∠CDN=45°，∴DN=CN，设CN=DN=n，∴D的坐标为(−n,n+4)，将点D的坐标代入解析式可得，