高考数学复习第十二章推理与证明算法复数第2节直接证明与间接证明理

第2节直接证实与间接证实1/28最新考纲1.了解直接证实两种基本方法——分析法和综正当；了解分析法和综正当思索过程和特点；2.了解间接证实一个基本方法——反证法；了解反证法思索过程和特点.2/28知

识

梳

理1.直接证实内容综正当分析法定义从________出发，经过逐步推理，最终抵达__________方法，是一个从______推导到_____思维方法从_________出发，一步一步寻求结论成立________，最终抵达题设已知条件或已被证实事实方法，是一个从____追溯到____________________思维方法待证结论已知条件原因结果待证结论充分条件结果产生这一结果原因3/28特点从“______”看“______”，逐步推向“______”，其逐步推理，实际上是要寻找它_________从“_____”看“____”，逐步靠拢“____”，其逐步推理，实际上是要寻找它__________步骤符号表示P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)已知可知未知必要条件未知需知已知充分条件4/282.间接证实

间接证实是不一样于直接证实又一类证实方法，反证法是一个惯用间接证实方法． (1)反证法定义：普通地，由证实p⇒q转向证实： _______________，t与_____矛盾，或与__________矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真方法，叫做反证法．綈q⇒r⇒…⇒t假设某个真命题 (2)用反证法证实普通步骤：①反设——假设命题结论不成立；②归谬——依据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而必定原命题结论成立.5/281.思索辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)分析法是从要证实结论出发，逐步寻找使结论成立充要条件.(

) (2)用反证法证实结论“a>b”时，应假设“a<b”.(

) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.(

) (4)在处理问题时，惯用分析法寻找解题思绪与方法，再用综正当展现处理问题过程.(

)诊

断

自

测6/28解析(1)分析法是从要证实结论出发，逐步寻找使结论成立充分条件.(2)应假设“a≤b”.(3)反证法只否定结论.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√7/28解析a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2.答案B8/28解析

a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案

D9/284.用反证法证实：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中最少有一个是偶数.用反证法证实时，以下假设正确是(

) A.假设a，b，c都是偶数 B.假设a，b，c都不是偶数 C.假设a，b，c至多有一个偶数 D.假设a，b，c至多有两个偶数

解析

“最少有一个”否定为“都不是”，故B正确.

答案

B10/285.(教材例题改编)在△ABC中，三个内角A，B，C对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC形状为________.答案等边三角形11/2812/2813/2814/28规律方法

1.综正当是“由因导果”证实方法，它是一个从已知到未知(从题设到结论)逻辑推理方法，即从题设中已知条件或已证真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最终导出所要求证结论真实性.2.综正当逻辑依据是三段论式演绎推理.15/2816/2817/2818/28考点二分析法应用【例2】

已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

证实要证实2a3－b3≥2ab2－a2b成立，

只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，

即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，

即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.

∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，

从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，

∴2a3－b3≥2ab2－a2b.19/28规律方法

1.逆向思索是用分析法证题主要思想，经过反推，逐步寻找使结论成立充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解关键.2.证实较复杂问题时，能够采取两头凑方法，即经过分析法找出某个与结论等价(或充分)中间结论，然后经过综正当证实这个中间结论，从而使原命题得证.20/2821/28只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立.于是原等式成立.22/2823/2824/28规律方法

1.当一个命题结论是以“至多”、“最少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是