2025年统计学期末考试数据分析题库：多变量统计分析计算技巧试卷

2025年统计学期末考试数据分析题库：多变量统计分析计算技巧试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、描述性统计分析要求：运用描述性统计方法，对所给数据进行描述，包括计算均值、中位数、众数、标准差、方差、最小值、最大值、偏度、峰度等。1.已知某班级学生身高数据（单位：cm）如下：150,155,160,162,165,167,168,170,171,172,173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,190。（1）计算该班级学生身高的均值。（2）计算该班级学生身高的中位数。（3）计算该班级学生身高的众数。（4）计算该班级学生身高的标准差。（5）计算该班级学生身高的方差。（6）找出该班级学生身高的最小值和最大值。（7）计算该班级学生身高的偏度。（8）计算该班级学生身高的峰度。2.某城市某月每天的平均气温（单位：℃）如下：7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30。（1）计算该城市该月平均气温的均值。（2）计算该城市该月平均气温的中位数。（3）计算该城市该月平均气温的众数。（4）计算该城市该月平均气温的标准差。（5）计算该城市该月平均气温的方差。（6）找出该城市该月平均气温的最小值和最大值。（7）计算该城市该月平均气温的偏度。（8）计算该城市该月平均气温的峰度。二、假设检验要求：运用假设检验方法，对所给数据进行检验，包括t检验、卡方检验、方差分析等。1.某工厂生产的产品质量数据如下：1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0,2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,3.0。（1）假设该工厂生产的产品质量均值为2.5，标准差为0.3，从该工厂抽取的样本均值为2.6，标准差为0.2，进行t检验，判断该工厂生产的产品质量是否达到标准。（2）某工厂生产的产品重量数据如下：100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119。（3）假设该工厂生产的产品重量均值为110，标准差为2，从该工厂抽取的样本均值为112，标准差为1.5，进行t检验，判断该工厂生产的产品重量是否达到标准。2.某城市某月每天的平均降雨量（单位：mm）如下：10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100,105。（1）假设该城市该月平均降雨量为50，进行卡方检验，判断该城市该月平均降雨量是否达到标准。（2）某城市某月每天的平均降雨量（单位：mm）如下：10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100,105。（3）假设该城市该月平均降雨量为60，进行卡方检验，判断该城市该月平均降雨量是否达到标准。三、相关分析与回归分析要求：运用相关分析与回归分析方法，对所给数据进行分析，包括计算相关系数、进行线性回归等。1.某城市某月每天的平均气温（单位：℃）与平均降雨量（单位：mm）如下：（1）计算平均气温与平均降雨量的相关系数。（2）进行线性回归分析，求出平均气温与平均降雨量的线性回归方程。2.某工厂生产的产品重量（单位：kg）与生产成本（单位：元）如下：（1）计算产品重量与生产成本的相关系数。（2）进行线性回归分析，求出产品重量与生产成本的线性回归方程。四、主成分分析要求：运用主成分分析方法，对所给数据进行降维处理，并解释主成分的意义。1.某调查问卷的五个问题得分数据如下：（1）问题1：5,6,7,8,9（2）问题2：8,9,10,11,12（3）问题3：10,11,12,13,14（4）问题4：12,13,14,15,16（5）问题5：14,15,16,17,18（1）计算五个问题的相关系数矩阵。（2）提取主成分，并解释每个主成分的意义。（3）根据主成分，对数据进行降维处理。2.某地区居民的三个生活指标数据如下：（1）指标1：收入（单位：万元）：10,12,14,16,18（2）指标2：消费（单位：万元）：8,10,12,14,16（3）指标3：储蓄（单位：万元）：2,4,6,8,10（1）计算三个生活指标的相关系数矩阵。（2）提取主成分，并解释每个主成分的意义。（3）根据主成分，对数据进行降维处理。五、聚类分析要求：运用聚类分析方法，对所给数据进行分类，并解释聚类结果。1.某地区五个城市的消费水平数据如下：（1）城市A：100,110,120,130,140（2）城市B：90,95,100,105,110（3）城市C：80,85,90,95,100（4）城市D：70,75,80,85,90（5）城市E：60,65,70,75,80（1）运用K均值聚类算法，对五个城市进行聚类，并确定聚类中心。（2）解释聚类结果，说明每个聚类的特征。2.某地区居民的五个生活习惯数据如下：（1）习惯1：运动频率（单位：次/周）：5,6,7,8,9（2）习惯2：阅读时间（单位：小时/天）：2,3,4,5,6（3）习惯3：睡眠时间（单位：小时/天）：7,8,9,10,11（4）习惯4：饮食健康指数：70,75,80,85,90（5）习惯5：社交活动频率（单位：次/月）：10,12,14,16,18（1）运用层次聚类算法，对五个生活习惯进行聚类，并确定聚类中心。（2）解释聚类结果，说明每个聚类的特征。六、因子分析要求：运用因子分析方法，对所给数据进行降维处理，并解释因子含义。1.某调查问卷的八个问题得分数据如下：（1）问题1：5,6,7,8,9（2）问题2：8,9,10,11,12（3）问题3：10,11,12,13,14（4）问题4：12,13,14,15,16（5）问题5：14,15,16,17,18（6）问题6：17,18,19,20,21（7）问题7：19,20,21,22,23（8）问题8：21,22,23,24,25（1）计算八个问题的相关系数矩阵。（2）提取因子，并解释每个因子的含义。（3）根据因子，对数据进行降维处理。2.某地区居民的四个健康指标数据如下：（1）指标1：血压（单位：mmHg）：120,125,130,135,140（2）指标2：血糖（单位：mmol/L）：5,5.5,6,6.5,7（3）指标3：胆固醇（单位：mmol/L）：4,4.5,5,5.5,6（4）指标4：体重（单位：kg）：70,72,75,78,80（1）计算四个健康指标的相关系数矩阵。（2）提取因子，并解释每个因子的含义。（3）根据因子，对数据进行降维处理。本次试卷答案如下：一、描述性统计分析1.（1）均值=(150+155+160+162+165+167+168+170+171+172+173+174+175+176+177+178+179+180+181+182+183+184+185+186+187+188+189+190)/25=176.8cm（2）中位数=(176+177)/2=176.5cm（3）众数=180cm（出现次数最多）（4）标准差=√[Σ(x-μ)²/n]=√[Σ(x-176.8)²/25]≈8.7cm（5）方差=[Σ(x-μ)²/n]=[Σ(x-176.8)²/25]≈76.49cm²（6）最小值=150cm，最大值=190cm（7）偏度=[Σ(f(x)*(x-μ)³)/(n*σ³)]=[Σ(f(x)*(x-176.8)³)/(25*8.7³)]≈0.2（8）峰度=[Σ(f(x)*(x-μ)⁴)/(n*σ⁴)]=[Σ(f(x)*(x-176.8)⁴)/(25*8.7⁴)]≈0.32.（1）均值=(7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30)/24=17.5℃（2）中位数=(17+18)/2=17.5℃（3）众数=17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30（出现次数最多）（4）标准差=√[Σ(x-μ)²/n]=√[Σ(x-17.5)²/24]≈3.7℃（5）方差=[Σ(x-μ)²/n]=[Σ(x-17.5)²/24]≈13.64℃²（6）最小值=7℃，最大值=30℃（7）偏度=[Σ(f(x)*(x-μ)³)/(n*σ³)]=[Σ(f(x)*(x-17.5)³)/(24*3.7³)]≈-0.1（8）峰度=[Σ(f(x)*(x-μ)⁴)/(n*σ⁴)]=[Σ(f(x)*(x-17.5)⁴)/(24*3.7⁴)]≈0.4二、假设检验1.（1）进行t检验，计算t值和p值，判断是否拒绝原假设。t值=(样本均值-总体均值)/(样本标准差/√样本量)=(2.6-2.5)/(0.2/√20)≈1.25p值=2*(1-t分布的累积分布函数(t值,19))≈0.23由于p值大于显著性水平（通常为0.05），不拒绝原假设，即该工厂生产的产品质量达到标准。2.（1）进行t检验，计算t值和p值，判断是否拒绝原假设。t值=(样本均值-总体均值)/(样本标准差/√样本量)=(112-110)/(1.5/√20)≈2.00p值=2*(1-t分布的累积分布函数(t值,19))≈0.051由于p值小于显著性水平，拒绝原假设，即该工厂生产的产品重量未达到标准。三、相关分析与回归分析1.（1）相关系数=Σ[(x-μx)*(y-μy)]/[√(Σ(x-μx)²)*√(Σ(y-μy)²)]≈0.95（2）线性回归方程：y=a+bx，其中a为截距，b为斜率。斜率b=Σ[(x-μx)*(y-μy)]/Σ[(x-μx)²]≈0.9截距a=μy-b*μx≈8.1线性回归方程：y=8.1+0.9x2.（1）相关系数=Σ[(x-μx)*(y-μy)]/[√(Σ(x-μx)²)*√(Σ(y-μy)²)]≈0.85（2）线性回归方程：y=a+bx，其中a为截距，b为斜率。斜率b=Σ[(x-μx)*(y-μy)]/Σ[(x-μx)²]≈0.8截距a=μy-b*μx≈2.1线性回归方程：y=2.1+0.8x四、主成分分析1.（1）相关系数矩阵：||问题1|问题2|问题3|问题4|问题5||---|-------|-------|-------|-------|-------||问题1|1|0.95|0.9|0.85|0.8||问题2|0.95|1|0.9|0.85|0.8||问题3|0.9|0.9|1|0.85|0.8||问题4|0.85|0.85|0.85|1|0.8||问题5|0.8|0.8|0.8|0.8|1|（2）提取主成分，根据特征值和方差贡献率，选择前两个主成分。（3）根据主成分，对数据进行降维处理。2.（1）相关系数矩阵：||指标1|指标2|指标3|指标4||---|-------|-------|-------|-------||指标1|1|0.8|0.7|0.6||指标2|0.8|1|0.7|0.6||指标3|0.7|0.7|1|0.8||指标4|0.6|0.6|0.8|1|（2）提取主成分，根据特征值和方差贡献率，选择前两个主成分。（3）根据主成分，对数据进行降维处理。五、聚类分析1.（1）K均值聚类算法，选择K=2，聚类中心分别为：城市A：平均值为(100+110+120+130+140)/5=120城市B：平均值为(90+95+100+105+110)/5=100（2）聚类结果：城市A和城市B分别属于不同的类别，城市A的消费水平较高，城市B的消费水平较低。2.（1）层次聚类算法，聚类结果如下：类别1：习惯1、习惯2、习惯3类别2：习惯4、习惯5（2）聚类结果：习惯1、习惯2、习惯3属于一个类别，习惯4、习惯5属于另一个类别。类别1可能代表健康生活方式，类别2可能代表不健康生活方式。六、因子分析1.（1）相关系数矩阵：||问题1|问题2|问题3|问题4|问题5|问题6|问题7|问题8||---|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------||问题1|1|0.95|0.9|0.85|0.8|0.7|0.6|0.5||问题2|0.95|1|0.9|0.85|0.8|0.7|0.6|0.5||问题3|0.9|0.9|1|0.85|0.8|0.7