2020-2021学年河北省保定市高二上学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年河北省保定市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，则z的共轭复数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得，进而根据共轭复数概念即可得答案.【详解】解：，所以z的共轭复数是.故选：B2．命题“”的否定是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是：故选：A3．某市2020年各月的平均气温数据的茎叶图如下，则这组数据的中位数是（）0123235791338924A．21 B．22 C．22.5 D．23【答案】B【分析】根据茎叶图按从小到大的顺序写出这组数据，再根据中位数的定义即可得中位数.【详解】由茎叶图知：这组数据分别为，所以中位数为：，故选：B.4．已知双曲线的左、右焦点分别为为C右支上的点，且，则的面积等于（）A．192 B．96 C．48 D．102【答案】A【分析】根据双曲线的方程求出的坐标，进而可得以及的长，再由双曲线的定义可得的长，即可得的面积.【详解】由双曲线可得：，，所以，即，，，所以，可得，由双曲线的定义可得，所以是等腰三角形，且，，可得边上的高为，所以的面积为，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的方程以及双曲线的定义求出各个边长，进而可得面积.5．若直线过圆的圆心，则（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】先求出圆的圆心坐标，根据圆心在直线上，代入即可求解.【详解】解：圆，即，圆的圆心坐标为：，将代入，即，解得：.故选：D.6．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设O为坐标原点，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求出直线的方程，设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系可得，，再计算的值即可.【详解】由可得，可得，即，所以左焦点，且直线斜率为，所以直线的方程为，设，，由可得，可得，，，，所以，故选：C.7．函数的图象的大致形状是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.【详解】解：对A，当时，，故A错误；对B，的定义域为，且，故为奇函数；，当时，当时，，即，又，，故存在，故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；对C，为奇函数，故C错误；对D，函数在上不单调，故D错误.故选：B.8．已知函数，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判断出的奇偶性以及在上的单调性，对A，B，根据，再根据在上的单调性即可判断；对C，根据在上的单调性即可判断；对D，根据，再根据在上的单调性即可判断.【详解】解：的定义域为，且，故为上的偶函数，，当时，，故在上单调递增，故当时，，故在上单调递增，对A，，且，故，即，故A错误；对B，，故，即，故B错误；对C，，故，故C错误；对D，，又，故，即，故D正确.二、多选题9．下列命题为真命题的是（）A．若函数在区间上单调递增，则B．若，则C．设函数的定义域均为R，则“为偶函数”是“与均为奇函数”的充要条件D．函数的零点为【答案】BD【分析】对于A选项，结合二次函数的性质得，进而判断A选项；对于B选项，由函数在单调递增可判断；对于C选项，若为偶函数，则与均为奇函数或均为偶函数或是两个非奇非偶函数，进而可判断；对于D选项，令，进而解方程得，即，进而可判断..【详解】解：对于A选项，二次函数的对称轴为，故当函数在区间上单调递增时需满足，即，故A选项错误；对于B选项，由函数在单调递增，故若，则，故B选项正确；对于C选项，设函数的定义域均为R，若为偶函数，则与均为奇函数或均为偶函数或是两个非奇非偶函数，比如，故C选项错误；对于D选项，令，则即为，解得，即，故，所以函数的零点为，故D选项正确.故选：BD10．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）x23456y1925★4044A．看不清的数据★的值为32B．回归直线恰好经过样本点C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨D．据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨【答案】AB【分析】对A，根据回归直线方程过样本点中心，代入，即可计算出★的值；对B，根据回归直线方程过样本点中心，即可判断；对C，根据的含义进行分析；对D，将代入回归直线方程进行计算即可.【详解】解：对A，因为，将代入，，★，故A正确；对B，，必经过，故B正确；对C，回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，故C错误；对D，当时，，故D错误.故选：AB.11．已知圆，直线．则下列选项正确的是（）A．直线恒过定点 B．直线与圆C的位置可能相交、相切和相离C．直线被圆C截得的最短弦长为12 D．直线被圆C截得的最短弦长对应的k值为【答案】AD【分析】根据题意得，故直线过定点，进而根据点与圆的位置关系得点在圆内，即可得直线与圆相交，当直线与过点和圆心的直线垂直时直线被圆C截得的弦长最短，再求解即可.【详解】解：由直线得，所以直线过定点，故A选项正确；此时将点代入圆得，所以点在圆内，故直线与圆C的位置是相交，故B选项错误；当直线与过点和圆心的直线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，为，此时直线的斜率为，故C选项错误，D选项正确.故选：AD12．在正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（）A．点在平面内 B．C．平面 D．异面直线与所成角的正切值为3【答案】ACD【分析】对A，根据两条平行线唯一确定一个平面，即可判断；对B，根据平面，与平面斜交，即可判断；对C，利用线面平行的判定定理即可判断；对D，利用异面直线所成的角的向量求法即可判断.【详解】解：对A，如图所示：连接，分别为的中点，，又，，在同一平面内，点在平面内，故A正确；对B，在正方体中，平面，而与平面斜交，与不垂直，故B错误；对C，如上图所示：连接，分别为的中点，，，又，，，故四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，故C正确；对D，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，则，设异面直线所成的角为，则，，故，即异面直线与所成角的正切值为3，故D正确..故选：ACD.三、填空题13．曲线y=xlnx+1在点（1，1）处的切线方程是__．【答案】y=x【详解】的导数为，曲线在点(1,1)处的切线斜率为k=1，可得曲线在点(1,1)处的切线方程为，即为.故答案为：14．若点在抛物线上，且到其准线的距离为2，则________．【答案】【分析】由抛物线的方程求出其准线方程，再由点在抛物线上以及点到准线的距离为2，列方程组即可求解.【详解】由可得准线方程为，因为点在抛物线上以及到准线的距离为2，所以，解得：，故答案为：.15．设函数若函数有两个零点，则实数b的取值集合为________．【答案】【分析】利用导数判断出函数的单调区间，作出函数的图象，进而根据题意将问题转化为函数与有两个交点，再数形结合即可得解；【详解】解：当时，函数单调递增；当时，，则时，，所以当时，，时，，故当时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取极小值，极小值为；作出函数的图象如图：因为函数有两个零点，所以函数与有两个交点，所以当时函数与有两个交点，所以实数b的取值集合为故答案为：【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及利用导数判断函数单调性，数形结合思想等，属于中档题．本题解题的关键在于将问题转化为函数与有两个交点，进而作出函数的图象，数形结合求解即可.16．已知点分别为双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆交双曲线右支于点，若点恰好在的平分线上，则C的离心率为_________．【答案】【分析】先根据题意得到为正三角形，即得到是的重心，设的中点为，得到，即求出，再根据以及，即可求解.【详解】解：是以为圆心，为半径的圆与双曲线右支相交而得，故，且为的外心，又圆和双曲线都是以轴为对称轴，是的角平分线，又是的角平分线，是的内心，即的内心与外心重合，故为正三角形，即也是的重心，设的中点为，则，，，故，即.故答案为：.四、解答题17．①点在圆的外部；②方程：表示焦点在x轴上的椭圆．在这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：求实数的范围，使得命题函数存在单调递减区间；命题_______，都是真命题．【答案】【分析】根据题意，若命题为真命题，则时，有解，进而得，若选①，则，进而得答案；若选②，则，进而得，即可得答案.【详解】解：若命题为真命题：∵函数定义域为：，函数在定义域内存在单调递减区间等价于时，有解即时，有解所以时，有解∴，，当且仅当时取到等号∴，∴命题为真命题时，．若选①，命题为真命题若命题，都是真命题所以实数的范围为.若选②，命题为真命题命题：，解得，若命题，都是真命题，则：.所以实数的范围为.18．自2019年12月底，我国爆发新冠肺炎疫情以来，在我们团结一致，众志成城的努力下，疫情得以控制，但专家认为，目前全球疫情加速蔓延，我国面临境外输入病例导致本地传播风险增大，局部地区可能发生聚集性疫情，疫情防控一刻不能放松，某市为加强市民对新冠状病毒肺炎的知识了解，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，共5人，第2组，共35人，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a的值；（2）若从第组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，且该市决定在第组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题知第一组与第二组的频率之和为，进而根据频率之和为1即可得答案；（2）根据分层抽样得每组抽取的人数分别为：第3组为人、第4组为、第5组为，进而根据古典概型求解即可.【详解】解：（1）第一组频率为，第二组的频率为，则第一组与第二组的频率之和为∴（2）第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．记第3组的3名志愿者为，，，第4组的2名志愿者为，，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：，，，，，，，，，共有10种．其中第3组的3名志愿者，，至少有一名志愿者被抽中的有：，，，，，，，共9种．所以第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．19．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先对进行求导，再对进行分类讨论，即可判断的单调区间；（2）将有两个零点转化为与函数在上有两个交点，令，讨论的单调性即可求解.【详解】解：（1）∵函数的定义域为，，当时，，从而，故函数在上单调递减，当时，令，即为，解得：，若令，即为，解得：故函数在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递减，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）若函数在上有两个零点，等价于方程在有两个不等实根，即为，在有两个不等实根，即，等价于直线与函数在上有两个交点，令，，，令，即为，解得：，令，即为，解得：，函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，，又∵，∴时，，时，，∴，函数有两个零点的取值范围是：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是结合函数单调性和导数之间的关系，讨论的取值范围.20．如图，在直角梯形中，为中点，沿将折起，使得点到点的位置，，设为的中点，G是上的动点（与点不重合）．（1）证明：平面平面；（2）是否存在点G，使得二面角的余弦值为？若存在，确定G点的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）在上存在，当时，二面角的余弦值.【分析】（1）先证明，再证明平面，可得，进而可得，即可证明平面，由面面垂直的判断定理即可求证；（2）假设存在点满足题意，取点为原点，建立如图空间直角坐标系，求出各点坐标，设，进而可得平面的法向量，平面的法向量，由即可求解.【详解】（1）∵为中点，，知，∵，，∴平面，平面，∵∴∵，∴平面又∵平面，∴平面平面，（2）假设存在点满足题意，取点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，，∵为中点∴，可得，，，，设，（）则设平面的法向量令，则，，可得平面的法向量∴依题意，，解得综上所述，在上存在，当，即时，二面角的余弦值.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于.21．已知椭圆的长轴长为是椭圆上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆C的上顶点，Q为的中点，且直线与直线的斜率之积恒为．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k且过上焦点F的直线与椭圆C相交于两点，当点到y轴距离之和最大时，求直线的方程．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意可得，设点，则，进而根据，即可得，进而得答案；（2）由题可设直线的方程为，，，进而与椭圆联立方程得，到轴的距离之和为，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：（1）由题意可得，，即，则设点，∵为的中点，∴∴直线斜率，直线的斜率，∴，又∵∴，则，解得．∴椭圆的方程为（2）由（1）知，设直线的方程为联立，化简得，设，则，易知，到轴的距离之和为设，∴，当且仅当即时等号成立，所以当时取得最大值此时直线的方程为22．已知函数．（