2024-2025学年七年级下学期期中数学常考点分类专题（考查范围：1~3章）

PAGE1专题2024-2025学年七年级下学期期中数学常考点分类专题（夯实基础篇）（考查范围：整式的乘除、相交线与平行线、概率初步）第一部分【考点目录】选择填空题【知识点一】整式的乘除【考点1】科学记数法2【考点2】幂的运算+乘法公式+多项式乘以多项式3【考点3】幂的运算的逆运算5【考点4】多项式乘多项式中的字母参数8【考点5】乘法公式中的字母参数10【考点6】整式中的整体思想求值11【考点7】多项式相乘几何图形中运用13【考点8】乘法公式中几何图形运用15【考点9】运用乘法公式进行有理数简便运算18【考点10】整式乘除中的规律探究20【知识点二】相交线与平行线【考点11】余角、补角、对顶角、角平分线综合22【考点12】直线公理、线段公理24【考点13】平行线的判定27【考点14】平行线的性质求角29【考点15】平行线的性质与判定综合32【考点16】平行线的性质与判定在生产生活中的应用35【知识点三】概率初步【考点17】事件的分类38【考点18】由频率估计概率39【考点19】已知概率计算数量41【考点20】由概率公式计算概率43【考点21】游戏的公平性44【考点22】几何概率46二、解答题【考点23】整式的乘除中的计算49【考点24】整式的乘除中的化简求值51【考点25】整体的乘除中的几何图形54【考点26】概率初步中的求解56【考点27】相交线运算求值证明59【考点28】平行线中的求值证明62第二部分【题型梳理与方法展示】一、选择填空题【知识点一】整式的乘除【考点1】科学记数法1．（24-25八年级上·河南商丘·期末）人体内一种线粒体的直径约为0.56微米，相当于米．将数据“”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．将写成其中，n为整数的形式即可．解：．故选C．2．（2025·云南昆明·模拟预测）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为米，用科学记数法表示，则n为（）A． B． C．5 D．6【答案】A【分析】将的小数点向右移动6位，则．本题考查科学记数法表示较小的数，正确记忆科学记数法的形式是解题关键．解：解：，则为．故选：A．3．（24-25七年级下·全国·课后作业）我国北斗三号卫星上装载的新一代原子钟，使授时精度达到了百亿分之三秒．百亿分之三用科学记数法可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．先将百亿分之三化为数字，再根据科学记数法的定义即可得．解：百亿分之三化为数字，用科学记数法可以表示为，故选：B．4．（24-25八年级上·江西南昌·期末）北斗卫星导航系统（）是我国自行研制的全球卫星导航系统．北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度，高可靠的定位、导航、授时服务，授时精度达到秒．将用科学记数法可表示为．【答案】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值．解：，故选：．【考点2】幂的运算+乘法公式+多项式乘以多项式1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可．解：∵，正确，故A合题意．∵，错误，∴B不合题意．∵，错误，∴C不合题意．∵，不是同类项，无法计算，错误，∴D不合题意．故选：A．2．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D．3．（2024·四川·中考真题）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的法则，逐一进行计算即可．解：A、，选项错误，不符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项正确，符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选：C．4．（2025·福建泉州·模拟预测）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了计算单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方，平方差公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．根据单项式乘单项式法则、完全平方公式、积的乘方法则、平方差公式逐项分析判断即可．解：A.，原计算错误，故选项不符合题意；B.，原计算错误，故选项不符合题意；C.，原计算错误，故选项不符合题意；D.，计算正确，故选项符合题意；故选：．【考点3】幂的运算的逆运算1．（24-25七年级下·全国·周测）已知，则的值为（

）A． B．或 C． D．【答案】C【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是今天的关键.根据幂的乘方得到，，代入计算即可得到答案.解：，，，，故选：C.2．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，正确把a、b、c的底数全部换成3是解题的关键．把a、b、c的底数全部换成3即可得到答案．解：∵，，，∴，，，∴，故选：A．3．（24-25九年级上·山东滨州·期中）计算：（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查积的乘方和同底数幂相乘的知识，掌握以上知识是解题的关键；本题先将化简为，然后再根据积的乘方逆运用进行计算，即可求解；解：原式=，，，，；故选：D；4．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知则．【答案】2【分析】本题考查幂的运算，代数式求值，逆用幂的乘方，得到再根据同底数幂的乘法，得到，求出的值，整体代入法求出代数式的值即可．解：∵∴∴，∴，∴；故答案为：2．5．（24-25七年级下·全国·周测）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果，那么的值为；（2）如果，那么的值为．【答案】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，解一元一次方程，理清指数的变化是解题的关键.（1）因为，所以，得到，解方程即可得到答案；（2）因为，所以，得到，即可得到答案.解：（1），，，，解得：，故答案为：；（2），，故答案为：.【考点4】多项式乘多项式中的字母参数1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）若，则的值为（

）A． B．7 C． D．5【答案】C【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，先根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，求出、值，再代入求出即可．能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．解：，，，，，故选：C．2．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含项，得出与的关系即可．解：原式展开的结果中不含有项．故选：C．3．（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）若，则的值为．【答案】【分析】本题考查了单项式乘以多项式，整式的加减，掌握这些知识及运算法则是解题的关键．由，则，即，然后两式相减得出，最后讨论即可．解：∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵当时，，∴当时，，故答案为：．4．（24-25七年级下·全国·周测）已知，则．【答案】【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.根据题意得到，继而得到，得到，计算即可得到答案.解：，，，，，，，故答案为：.5．（24-25七年级下·全国·期中）若，则．【答案】2025【分析】本题考查了求代数式的值及多项式乘以多项式运算，由多项式乘以多项式得，可得，，即可求解；能熟练进行多项式乘以多项式运算是解题的关键．解：，，，，解得，，，故答案为：．【考点5】乘法公式中的字母参数1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）若是完全平方式，则m的值为（

）A．7 B．4或 C．7或 D．4【答案】C【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点得到是解决问题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值．解：∵，∴，∴解得或．故选：C．2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值是（）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】本题主要考查了完全平方的公式，根据完全平方公式，观察其构造，即可得出的值，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．解：由，∴，故选：．3．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则m的值是．【答案】2025【分析】本题考查了平方差公式的应用，由平方差公式得，即可求解；能熟练利用平方差公式进行运算是解题的关键．解：∵，∴，∴，∴，故答案为：2025．4．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则等于．【答案】4【分析】本题主要考查了平方差公式，解决本题的关键是利用平方差公式，把等号左边的计算出来，得到：原式，再根据可得，从而可知．解：，又，，，故答案为：．【考点6】整式中的整体思想求值1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（

）A．4 B．5 C．8 D．9【答案】D【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得，从而得到，再代入，即可求解．解：根据题意得：，∴，即，∴，∴．故选：D2．（2023·山东临沂·一模）已知，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】把所求式子去括号整理得，再将已知整体代入即可求解．解：∵，∴，故选：D．【点拨】本题考查了多项式乘多项式－化简求值，掌握计算多项式乘多项式的方法是解题的关键．3．（24-25八年级下·重庆·开学考试）已知，则的值是．【答案】【分析】本题考查多项式乘多项式并求值．根据多项式乘多项式的法则，以及整体代入法，进行求值即可．解：∵，∴；故答案为：．4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为．【答案】9【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出，再利用整体代入法代值计算即可．解：，，，原式，故答案为：9．【考点7】多项式相乘中几何图形的应用1．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，用两种不同的方法计算大长方形的面积，我们可以验证等式（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，根据题意可知大长方形的面积为，等于一个小正方形的面积加上三个长方形的面积再加上两个正方形的面积，可得答案．解：根据题意，得．故选：A．2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，得到花园的长为，宽为，根据公式计算即可．本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，正确列式是解题的关键．解：根据题意，得花园的长为，宽为，故面积为．故选：D．3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为．【答案】8【分析】本题考查多项式乘多项式表示面积，计算长方形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案．解：，，，即，故需要C类纸片的张数为：8，故答案为：8．4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，为美化小区，给居民营造良好的宜居环境，某物业公司准备在如图所示的长方形的场地上，修建两条宽为的长方形甬道，剩下的其它四个区域种植花草绿化，若，，则种植花草的四个区域面积总和为．（用含的式子表示）【答案】【分析】本题考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会利用平移的知识得到剩余的四块草坪组成了一个矩形，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型．将两条通道分别向上向左平移，则剩余的四块草坪组成了一个矩形：矩形的长是，矩形的宽是，根据矩形的面积公式计算即可．解：由题意，可得修建后剩余草坪的面积是：故答案为：．【考点8】乘法公式中几何图形运用1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】C【分析】本题考查了几何图形的面积与平方差公式的应用，正确计算阴影部分的面积是解题的关键．分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果．解：①左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意；②左边阴影图形面积为，右边长方形的长为，宽为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意；③左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意；④左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，不符合题意；∴能够验证平方差公式的有图①②③，故选：C．2．（19-20七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用已知边长表示出各部分面积即可．解：由题意可得：阴影部分的面积为：，也可以表示为：，能验证的乘法公式是：．故选：C．【点拨】本题考查了完全平方式的几何背景，正确表示出各部分面积是解题关键．3．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是．【答案】【分析】根据两个图形的特征结合正方形、长方形的面积公式，即可求解，本题考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．解：左图中阴影部分的面积，右图中阴影部分的面积，可以验证，故答案为：．4．（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是．（用含m，n的代数式表示）

【答案】或【分析】设A类需用a块，C类需用c块，根据题意得拼成的正方形的面积为：是一个完全平方式，据此求解即可得．解：设A类需用a块，C类需用c块，这些地砖拼成的正方形的面积为：，根据题意，是一个完全平方式，，所以或者；当，时，，此时正方形的边长为：；当，时，，此时正方形的边长为：；故答案为：或．【点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式的结构特征．【考点9】运用乘法公式进行有理数简便运算1．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算，变形正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．根据平方差公式变形即可．解：；故选：D．2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列关于的简便计算方法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查完全平方公式，将变形为，运用完全平方公式进行计算即可．解：的简便计算方法是，故选：D．3．（23-24七年级下·河南郑州·期中）运用乘法公式简便计算：．【答案】1【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．解：．故答案为：．4．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算的结果是．【答案】1【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再求出答案即可．解：．故答案为：1．【考点10】整式乘除中的规律探究1．（24-25八年级上·四川眉山·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（

）A． B．2024 C．4048 D．【答案】D【分析】根据展开式的规律，发现每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1，依此规律解答即可．本题考查了规律的探索，熟练掌握规律的发现是解题的关键．解：由发现：中，每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1，故的第二项为，故含项的系数是．故选：D．2．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得是（

）A． B．3 C． D．10【答案】C【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握图1中的运算规律是解题关键．根据图1中的运算规律求解即可得．解：由图1中的运算规律得：，故选：C．3．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，揭示了（为非负整数）展开式的系数规律，后人也称为“杨辉三角”．如图，此三角形中第3行的3个系数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数，类似规律如下：；；……，则展开式中，所有项的系数和是．【答案】512【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意可知各项系数之和为，然后把代入计算即可．解：各行系数和：当时：所有项系数之和为：，当时，所有项系数之和为：，当时，所有项系数之和为：，当时，所有项系数之和为：，…可知，当时，各项系数之和为：，故答案为：512．4．（24-25七年级上·上海·期中）将大小相等的圆点按如图规律摆放，则第个图形共有圆点个．【答案】【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，单项式乘以多项式，观察可知每个图形的最外圈有4个小圆点，中间的小圆点数是序号乘以序号加1，据此规律求解即可．解：第1个图形有个圆点，第2个图形有个圆点，第3个图形有个圆点，第4个图形有个圆点，……，以此类推，可知第个图形共有圆点：个，故答案为：．【知识点二】相交线与平行线【考点11】余角、补角、对顶角、角平分线综合1．（24-25七年级下·全国·期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同角的余角相等，利用该性质可得，熟知同角的余角相等是解题的关键．解：，，．故选：B．2．（22-23七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在三角形中，．D是边上的一个动点（点D不与A，B重合），过点D，C作射线，与边，形成夹角分别为，，则与满足数量关系（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了余角和补角，根据与互补，与互余可得，，列式相减即可得出结论．解：由图可知与互补，与互余，∴①，②，得．故选：D．3．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，，都过点，且，平分，，则．【答案】/149度【分析】此题考查了角平分线定义，垂直的定义，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．根据对顶角相等得出，进而利用互余和角平分线的定义得出的度数，进而解答即可．解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，故答案为：．4．（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，已知直线相交于点O，为射线，，平分，，则的度数为．【答案】/128度【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键．由题意知，，由平分，可得，则，可求，根据，计算求解即可．解：由题意知，，∵平分，∴，∵，∴，解得，，∴，故答案为：．【考点12】直线公理、线段公理1．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（

）A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条【答案】A【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质．根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；故选：A．2．（23-24七年级下·山西大同·期中）数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段的长度即可．这样做的数学道理是（

）A．垂线段最短B．两条直线相交只有一个交点C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．两点确定一条直线【答案】A【分析】本题考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用．熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短作答即可．解：体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段的长度即可．这样做的数学道理是垂线段最短，故选：A．3．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在四边形中，，，平分，若、分别是，边上的动点，当的值最小时，的度数为．【答案】/15度【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂线段最短．作点Q关于的对称点H，则，则，当C、H、P三点在同一直线上，且时，最短，再由平分，可得点H在边上，即可求解．解：如图，作点Q关于的对称点H，则，∴，∴当C、H、P三点在同一直线上，且时，最短，∵平分，∴点H在边上，∴此时，∵，∴，∵，∴．故答案为：4．（18-19七年级下·山东济宁·期中）如图所示，在中，，，边上高，若点在边上（不含端点）移动，当时长度最短．【答案】/4.8【分析】此题考查了垂线段最短，熟练掌握线段的性质是解本题的关键．根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当垂直于时，的长最小，利用面积法即可求出此时的长．解：根据垂线段最短可知，当时，最短，，，，即最短时的值为：．故答案为：．【考点13】平行线的判定1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是延长线上一点，下列条件中能判定的有（

）A． B．C． D．且【答案】D【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一排除即可求解，掌握平行线的判定方法是解题的关键．解：、∵，∴，原选项不符合题意；、∵，∴，原选项不符合题意；、由，不能判定，原选项不符合题意；、∵，，∴，∴，∴，原选项符合题意；故选：．2．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，下列说法错误的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】本题主要考查平行线的判定．根据平行的传递性和平行线的判定定理进行判断即可．解：A．若，，则，利用了平行的传递性，故此项不符合题意；B．若，则，利用了内错角相等，两直线平行，故此项不符合题意；C．若，则，不能判断，故此项符合题意；D．若，则，先利用对顶角相等，再利用同旁内角互补，两直线平行，故此项不符合题意．故选C．3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当时，．【答案】65【分析】本题考查平行线的判定，对顶角的性质，分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．先由对顶角的性质求得，再根据平行线的判定定理和角平分线的定义求解．解：∵，∴，∵当时，，∴，∵平分，∴，故答案为：65．4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则与的位置关系是．【答案】【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，因为，，所以，则，即可作答．解：∵，，∴，∴，故答案为：【考点14】平行线的性质求角1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，已知，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的判定与性质求角度，熟练平行线的判定与性质是解题的关键．先根据内错角相等证明，再由得到，即可求解．解：∵，∴，∴，∵，∴，故选：C．2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线分别与直线，相交于、，已知，平分交直线于点．则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．先求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据平行线的判定得出，根据平行线的性质即可求解．解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．故选：A．3．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知，直线分别与a，b相交于D，A两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，，则的度数为．【答案】【分析】本题考查了平行线的性质以及三角板的特性．先由对顶角相等，得出，根据两直线平行，同旁内角互补，得，即可作答．解：如图：，，∵，且解得故答案为：4．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为．【答案】【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可．解：，，如图，过点作，过点作，，，，，，，，，，，故答案为：．【考点15】平行线的性质与判定综合1．（24-25七年级下·全国·期中）如图，下列推理不正确的是（

）A．，∴ B．∵，C．∵，∴ D．∵，【答案】B【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，进行解答，即可．解：A、∵，∴，同旁内角互补，两直线平行，正确；B、∵，∴，两直线平行，内错角相等，错误；C、∵，∴，内错角相等，两直线平行，正确；D、∵，∴，两直线平行，同旁内角互补，正确；故选：B．2．（16-17七年级下·福建南平·期末）如图，，则满足的数量关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．如图，过点作，过点作，根据平行线的性质可得，，根据可得，根据平行线的性质可得，进而根据角的和差关系即可得答案．解：如图，过点作，过点作，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．故选：C．3．（20-21七年级下·浙江·期中）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的是（填写序号）．【答案】①②③④【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．解：①，，，故①正确;②，，故②正确；③，，，故③正确；④，，，故④正确；综上所述，①②③④均正确；故答案为：①②③④4．（21-22八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，与的平分线交于点D，经过点D，分别交于点E，F，，点D到的距离为4，则的面积为．

【答案】12【分析】由等腰三角形的性质及角平分线的定义可得，可得，再利用三角形的面积计算可求解．解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，点D到的距离为4，∴．故答案为：12．【点拨】本题主要考查平行线的判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形的面积，证明是解题的关键．【考点16】平行线的性质与判定在生产生活中的应用1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（

）A．第一次向左拐，第二次向右拐B．第一次向左拐，第二次向右拐C．第一次向左拐，第二次再向左拐D．第一次向左拐，第二次再向左拐【答案】A【分析】此题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．根据平行线的性质分别判断得出即可．解：∵两次拐弯后，按原来的方向前进，即行驶方向平行，∴两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等．A、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，故此选项符合题意；B、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，故此选项不符合题意；C、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意；D、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意；故选：A．2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得．解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故选：C．3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按方向开工，才能使隧道准确接通．【答案】南偏西【分析】本题考查平行线的性质和方向角在实际生活中的运用，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，利用平行线的性质解答．如图，根据根据平行线的性质得出，再根据方位角的概念，表示出方位角，即可求解．解：如图，由题意得：，∴，∴按南偏西的方向开工．故答案为：南偏西．4．（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为．【答案】/79度【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出，，．求出的度数，即可得到的度数，解：如图，c'c∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即的度数为．故答案为：．【知识点三】概率初步【考点17】事件的分类1．（24-25九年级上·北京·期中）下列事件中，为必然事件的是（

）A．明年农历“大雪”节气那天下雪B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．旭日东升D．掷一枚刻有1到6点数的骰子，向上一面的点数是7【答案】C【分析】本题主要考查了事件的分类，正确把握各事件的定义是解题关键．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，必然不会发生的事件；据此逐项判断即可．解：A．明年农历“大雪”节气那天下雪是随机事件，故此选项不符合题意；B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故此选项不符合题意；C．太阳每天从东方升起是自然规律，是必然事件，故此选项符合题意；；D．掷一枚刻有1到6点数的骰子，掷得的点数不可能出现点数7，是不可能事件，故此选项不符合题意；故：C．2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列事件中，必然事件是（

）A．明天是晴天 B．地球自西向东自转C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．掷一枚硬币，正面朝上【答案】B【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．解：A、明天是晴天是随机事件，本选项不符合题意；B、地球自西向东自转是必然事件，本选项符合题意；C、篮球队员在罚球线投篮一次，投中是随机事件，本选项不符合题意；D、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，本选项不符合题意；故选：B．3．（24-25九年级上·广东阳江·期末）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（

）A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水【答案】C【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键．解：A.旭日东升是必然事件；B.画饼充饥是不可能事件；C.守株待兔是随机事件；D.竹篮打水是不可能事件；故选：C．4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当时，事件为随机事件．【答案】2【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件的概念即可得出答案．解：∵事件为随机事件．∴“摸出黑球”为随机事件，∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件，∵，∴m的值是2；故答案为：2．【考点18】由频率估计概率1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，则的值最可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据题意可得蓝球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．解：∵大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，，解得：，经检验是方程的解，即n的值最可能是．故选：D．2．（2025七年级下·全国·专题练习）新郑红枣又名鸡心大枣、鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某综合实践小组跟踪调查了新郑红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计新郑红枣移栽成活的概率约为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的占比稳定在左右，成活的概率估计值为．解：这种树苗成活的占比稳定在，成活的概率估计值约是．故选：C．3．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为．【答案】【分析】本题考查了利用频率估计概率．由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为．解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是．故答案为：．4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为．【答案】【分析】本题主要考查利用频率估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．解：根据题意，二维码中黑色部分的面积约为．故答案为：．【考点19】已知概率计算数量1．（24-25九年级上·山东威海·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是（

）A．2 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】本题主要考查利用频率估计概率，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，说明摸出红球的概率为0.4，由此结合概率公式进行计算求解即可．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键．解：由题意，摸出红球的概率为0.4，袋子中红球的个数最有可能是（个）．故选：B．2．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（

）A．6个 B．19个 C．25个 D．26个【答案】D【分析】本题主要考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．用球的总数乘以白球所占球的总数的频率，即为白球的个数．解：∵摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，∴摸到白球的频率稳定在左右，∴白球的个数为：，故选：D．3．（24-25九年级上·河南信阳·期末）一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为．【答案】4【分析】此题考查了用频率估计概率，掌握“经过大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在一个常数，这个常数等于该事件发生的概率”，据此即可解答．解：∵摸到红球的频率稳定在，∴摸到白球的频率稳定在，∴箱子里球的总个数（个），∴红球的个数（个），故答案为：4．4．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是个．【答案】24【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据黑色棋子除以相应概率可以算出棋子的总数．解：由题意，盒中棋子的总个数是个故答案为：【考点20】由概率公式计算概率1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季，计算即可得解，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．解：∵二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季，∴从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为，故选：A．2．（24-25九年级上·广东惠州·期末）从、1、0、这四个数中任取一个数，为负数的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了概率公式以及有理数的分类，熟记概率公式是解题的关键．首先找出是负数的个数，根据概率负数个数与个数之比，求解即可．解：∵负数有，，共2个，∴从这4个数中任取一个数，取到负数的的概率是，故选：A．3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某单位组织抽奖活动，共准备100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，其余的奖券都是三等奖，则从中随机抽出一张奖券中三等奖的概率是．【答案】/0.6【分析】本题考查了概率公式，用三等奖的数量除以奖券的总个数即可．解：100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，则三等奖张，∴一张奖券中三等奖的概率为．故答案为：．4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有个红球．【答案】【分析】本题主要考查概率公式，根据概率公式即可得到结论．熟练掌握概率公式是解题的关键．解：袋子中红球的个数为（个．故答案为：6．【考点21】游戏的公平性1．（24-25九年级上·四川南充·期末）一个可以自由转动的转盘，等分为8个扇形，分别写上1，2，…，8共8个数字，甲乙俩根据转动停止后指针指向的数作游戏（指向分界线另转）．下列规则不公平的是（

）A．指向奇数甲赢，指向偶数乙赢B．指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢C．指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢D．指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，准先得到10分谁赢【答案】C【分析】根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答，本题考查了概率的定义，概率的计算公式，熟练运用概率的计算公式是解题的关键．解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，其中“是奇数”的有种，“是偶数”的也有4种，∴“指向奇数”的概率是，“指向偶数”的概率是；∴指向奇数甲赢，指向偶数乙赢的游戏公平，故A项不符合题意；∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，∴其中“指向的倍数”的有种，“指向4的倍数”的种，∴“指向的倍数”的概率是，“指向4的倍数”的概率是；∴指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢的游戏公平，故B项不符合题意；∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，∴其中“指向大于4的数”的有4种，“指向小于4的数”的有3种，∴“指向大于4的数”的概率是，“指向小于4的数”的概率是，∴指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢的游戏不公平，故C项符合题意；∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，∴其中“指向的倍数”的有种，“指向5的倍数”的1种，∵指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，∴“甲得10分”的概率是，“乙得10分”的概率是；∴指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，准先得到10分谁赢的游戏公平，故D项不符合题意；2．（21-22九年级·浙江宁波·阶段练习）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（

）A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得6分，游戏结束后，累计得分高的人获胜D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜【答案】A【分析】利用列表法分别求出各选项中各自情况情况数即可得出答案．解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意；取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意；取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意；取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意故答案为：A．【点拨】本题主要考查了游戏的公平性，求出各选项中对应情况数是解题的关键．3．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明用一枚质地均匀的骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，当掷出的是偶数点时，黑方前进一步；当掷出的是奇数点时，红方前进一步．这个游戏（填“公平”或“不公平”）．【答案】公平【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件发生的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．解：任意掷出骰子，出现的点数情况如下：1，2，3，4，5，6，共六种情况．，，因此这个游戏公平．故答案为：公平．4．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏．（填“公平”或“不公平”）【答案】不公平【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可．解：由题可列表如下：234245635674678由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果，∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，∵，∴这个游戏不公平，故答案为：不公平．【考点22】几何概率1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键．先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可．解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为，∴阴影区域的面积为，∵整个正方形的面积为，∴飞镖击中阴影区域的概率是．故选C．2．（24-25九年级上·广东清远·期末）随着移动互联网的兴起和智能手机的普及，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为30的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（

）A． B． C．12 D．18【答案】D【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，然后运用概率公式求解即可．解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，∴点落在阴影部分的概率为，设阴影部分面积为S，则，即：，∴黑色阴影的面积为18，故选：D．3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，一只圆形平盘被同心圆划成，两个区域（其中区域是半径为的圆，区域是圆环）．随机向平盘中撒一把豆子，计算落在，两个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，发现落入两个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在两个区域的面积之比附近摆动．把“在图形中随机撒豆子”作为试验，若事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，小圆半径，则大圆半径．

【答案】【分析】本题考查了几何概率．根据事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，可知区域和区域的面积相等，根据圆的面积公式可得：，解方程求出的值即可．解：事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，区域和区域的面积相等，区域的面积为，区域的面积为，整理得：，解得：或（负数不符合题意，舍去），大圆半径．故答案为：．4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，正六边形飞镖游戏板，对角线，相交于点O．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率是．

【答案】【分析】本题考查几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．解：如图，连接，根据正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等，

∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为．故答案为：．二、解答题【考点23】整式的乘除中的计算1．（23-24七年级下·江西吉安·期中）计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握完全平方公式，单项式乘以多项式，整式除法运算法则是解题的关键．（1）运用完全平方公式，单项式乘以多项式展开，再根据整式的加减运算法则计算即可；（2）根据整式除法运算法则计算即可．解：（1）解：．（2）解：．2．（23-24七年级下·山西晋中·期中）下面是小明进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务：解:

……第一步

……第二步

……第三步任务一：第一步计算的依据是；任务二：上述计算过程中，第步出现错误，发生错误的原因是；任务三：求出当时，该运算的正确结果；【答案】任务一：完全平方公式；任务二：二；平方差公式使用错误；任务三：，【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的应用；任务一：直接根据完全平方公式作答即可；任务一：直接根据平方差公式作答即可；任务三：先根据平方差公式和完全平方公式正确化简，再去括号合并同类项即可．解：任务一：①完全平方公式．任务二：二；平方差公式使用错误．任务二：当时，原式3．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）计算．（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知整式的乘除运算及乘法公式的运用，（1）先算乘方，再根据单项式的乘除运算法则即可求解；（2）根据乘法公式及多项式乘以多项式法则、单项式乘以多项式计算后再合并即可求解；解：（1）解：（2）【考点24】整式的乘除中的化简求值1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）（1）先化简，再求值：，其中，．（2）若与的乘积中不含x的一次项和二次项，求的值．【答案】（1），（2）【分析】此题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式以及代数求值，多项式乘积不含某项问题，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）首先计算完全平方公式和多项式乘以多项式，然后合并同类项，最后代值计算即可；（2）首先计算，然后根据题意得到，，求出，，然后代数求解即可．解：（1），∵，，∴原式；（2）；∵与的乘积中不含x的一次项和二次项，∴，，∴，，∴．2．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：（1），其中；（2），其中．【答案】（1），6；（2），【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把代入计算；（2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把代入计算．解：（1）解：，当，时，原式；（2）解：，当时，原式．3．（24-25八年级上·山西晋城·期中）先化简，再求值：（1），其中．（2），其中，．【答案】（1），；（2），．【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解决本题的关键是根据乘法公式把各部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值．首先根据完全平方公式和平方差公式把各部分展开，得到：原式，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，可得：原式，把的值代入化简后的代数式计算求值；首先根据完全平方公式和平方差公式把各部分展开，得到：原式，把括号里面的部分合并同类项，可得：原式，再根据多项式除以单项式的法则计算出结果，把，代入化简后的代数式计算求值．解：（1）解：，当时，原式；（2）解：．当，时，原式．【考点25】整体的乘除中的几何图形1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简；（2）若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．【答案】（1）“T”型图形的面积为；（2）5440元【分析】本题主要考查多项式乘多项式的几何应用，熟练掌握多项式乘多项式的几何应用是解题的关键．（1）根据图形可用割补法进行求解；（2）把代入（1）中式子进行求解面积，然后再根据草坪的造价“T”型区域的面积单价，进而问题可解．解：（1）解：由题意得：“T”型图形的面积为；（2）解：当米时，此时米，（平方米），∴造价为（元）．2．（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现（1）如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________；（2）【发现规律】猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________；（3）【运用规律】运用上述规律计算：．【答案】（1）；；（2）；（3）1275【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可；把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可；（2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可；（3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决．解：（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为，∴阴影部分的面积为；小红的方法：长方形的长为，宽为，∴阴影部分的面积为．（2）解：这三个代数式之间的数量关系为：；（3）解：．【点拨】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律．3．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①________，方法②________；（3）观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）4【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，读懂题意，找到所求的量的等量关系是解题关键．（1）由题意可知，剪裁后的小长方形的长为，宽为，即可得到答案；（2）用两种不同方法表示出阴影面积即可；（3）结合（2）所得式子，即可得到答案；（4）根据（3）中的等量关系计算即可．解：（1）解：由题意可知，剪裁后的小长方形的长为，宽为，则图②中的阴影部分的正方形的边长等于，故答案为：（2）解：方法①阴影的面积为边长的正方形面积，即；方法②阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则，故答案为：；；（3）解：根据图②里图形的面积关系，可得；（4）解：由（3）中的等量关系可知，．【考点26】概率初步中的求解1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球4个，黑球8个．（1）进行如下的实验操作：先从袋子中取出个红球后，再从袋子中剩余的球中随机摸出1个球，此时将“第二次摸出的1个球是黑球”记为事件A．①若事件A是必然事件，则m的值是______；②若事件A是随机事件，则m的值是_____；（2）从袋子中取出n个红球，再从袋子中剩余的球中随机摸出1个球，若第二次摸到的1个球是黑球的可能性大小是，求n的值．【答案】（1）4；2或3；（2）2【分析】本题考查了必然事件与随机事件，概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件；（2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可．解：（1）解：①若事件A是必然事件，则袋子中剩余的球都是黑球，∴；②若事件A是随机事件，则袋子中剩余的球有黑球也有红球，∴m的值是2或3；故答案为：4；2或3；（2）解：依题意，得，解得，经检验是原方程的解，∴n的值为2．2．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖．（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是事件．（填随机、必然、不可能）（2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量；（3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖的概率为多少？【答案】（1）必然；（2）9个；（3）【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，事件的分类：（1）根据题意可知，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件；（2）根据题意可知抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，据此求出红色球和黄色球的数量，进而求出白色球数量；（3）用红色球数量除以球的总数即可得到答案．解：（1）解：∵只有三个小球，每个小球都对应着相应的奖级，∴小明获得1次抽奖机会，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件，故答案为：必然；（2）解：∵平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，∴红色球和黄色球分别有个，个，∴估算袋中白球的数量为个；（3）解：，∴如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖的概率为．3．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．

请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：（1）估计这种花卉成活概率为．（精确到）（2）该林业局已经移植这种花卉棵．①估计这批花卉成活的棵树；②根据市政规划共需要成活棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？【答案】（1）；（2）①，②．【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键．（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率；（2）①用乘以成活的概率即可；②用移植的总棵数减去已经移植的棵数．解：（1）解：由图可知，这种花卉成活率稳定在附近，估计成活概率为．（2）解：①估计这批花卉成活的棵树为：（棵）；②估计还需要移植多少棵为：（棵）．4．（24-25七年级下·全国·期中）一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是．（1）求袋中共有多少个白球；（2）从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率．【答案】（1）12个；（2）【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为且．（1）根据概率公式列方程求出球的总个数即可；（2）先求出剩余球的总数量，根据概率公式求解即可．解：（1）解：设袋中共有x个红球，因为袋中共有30个球，从中任