2025年济南历下区九年级下学期数学二模考试试题（含答案）

年九年级学业水平第二次模拟考试数学试题（2025.4）考试时间120分钟满分150分第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.−17A.7B.-7C.17D.−2.如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（）3.中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产28nm浸没式DUV光刻机，填补国内空白。已知28nm=0.000000028m。将0.000000028用科学记数法表示为（）A.28×10−7B.2.8×10−8C.2.8×10−7D.0.28×10−84.如图，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥OC，OF平分∠BOE。若∠COF=32°，则∠AOD的度数为（）A.24°B.26°C.28°D.30°5.花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式。下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）6.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A.a+c>a+bB.(b−a)(b−c)>0C.ac>abD.c−b>c−a7.小亮和爸爸计划乘动车外出旅游。在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）。若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（）A.16B.14C.138.若关于x的一元二次方程2x2−3x−m−1=0有实数根，则实数m的取值范围是（）A.m≥−178B.m≤−178C.m≥−1349.如图，将折线O−A1−A2−A3−A4绕点A4顺时针旋转180°得到一段新的折线A4−A5−A6−A7−A8，再将新的折线绕点A8顺时针旋转180°……以此类推，得到一段连续的折线。则点A2025的坐标为（）A.(1265,0)B.(25312,32)C.(1266,3)D.(10.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=x2−bx+c的图象上任意两点，设x2−x1=t，若当−2<x1<2且−1<b<4时，都有y2>y1，则t的取值范围是（）A.t<−4或t>7B.t<−5或t>8C.t<−5或t>7D.−t<−4或t>8第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.若二次根式x﹣3有意义，则实数x的取值范围是12.如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示。小亮由此估计阴影部分面积约为cm2。13.如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，点P是弧CD的中点，则弧AP的长为。14.七巧板是中国传统数学文化的重要载体，将图1所示的七巧板，拼成图2所示的图形，则tan∠BAC=。15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E为AD上一点，且BE=BC，作∠EBC的角平分线BF交边CD于点F，作于点P，分别与AB和BF交于点G和点Q，若AG=14AB，则PQ的长度为三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：2cos30°+(13)−2+∣1−3∣−(π−2025)017.（本小题满分7分）先化简，再求值：(a+1a﹣218.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠AEC=∠AFC。求证：AE=AF。19.（本小题满分8分）为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼。为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用x表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理。数据分成4组：A组：0≤x<3；B组：3≤x<6；C组：6≤x<9；D组：9≤x<12。下面给出了部分信息：a.C组数据：6,6,6,6.2,6.5,6.6,6.7,6.8,7,7,7,7.3,7.6,7.8,8,8,8,8.2,8.4,8.4,8.5,8.8b.不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下：请根据以上信息完成下列问题：（1）该校此次调查共抽取了名学生，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为°；（2）请补全条形统计图；（3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是h；（4）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导。目前九年级共600名学生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数。20.（本小题满分8分）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架AB长度为40cm，且AB与墙壁AE所成夹角∠BAE=40°，壁灯吊杆BC长30cm，AB与BC的夹角可调节。吊灯连接杆CD垂直于地面，CD=5cm。（1）如图2，当∠ABC=90°时，求灯口D与墙壁的距离；（2）如图3，现有一靠墙放置的学习桌FH，FH与地面平行，其距离地面的高度FG为80cm。为了日常使用方便，当AB与BC夹角调整至∠ABC=120°时，灯口D需距离桌面70cm。求点A距离地面的高度。（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）21.（本小题满分9分）如图，在中，AC=BC，⊙O与边AB，CB分别交于点D，G，AG是⊙O的直径，连接CO，DG，过点D作，交BC于点E。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan∠EDG=13，AD=3222.（本小题满分10分）23.（本小题满分10分）直线y=12x+b与双曲线y=k（1）求k，b的值；（2）如图1，点C是直线y=12x+b上第一象限内的一点，过点C作轴，垂足为点E，交双曲线于点D，当BCBA=32（3）如图2，已知点P是双曲线上一动点，连接OA，OP，当∠AOP=∠BAO时，求点P的坐标。24.（本小题满分12分）二次函数y=ax2+bx的图象过点A(−4,4)，B(12,7（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，若点C在y轴左侧的抛物线上运动，平移线段AB，使其一个端点与点C重合，另一个端点恰好落在x轴上，求点C的坐标；（3）如图2，若点C在y轴右侧的抛物线上运动，作直线AC，交x轴于点E，将直线AC绕点A逆时针旋转45°得直线AG，交y轴于点F，连接EF。若EF=5425.（本小题满分12分）在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D在边AC上（点D不与点A，点C重合），连接BD并将BD绕点D逆时针旋转90°得到DE。（1）如图1，连接CE。①CE与BC的位置关系为，∠ABD与∠CED的数量关系是；②请用等式表示BC，CD和CE的数量关系，并说明理由；（2）如图2，将△ABD沿BD翻折，得到△A’BD，连接A’E，若A’E的最小值为2，求AB的长。答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.−17A.7B.-7C.17D.−2.如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（A）3.中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产28nm浸没式DUV光刻机，填补国内空白。已知28nm=0.000000028m。将0.000000028用科学记数法表示为（B）A.28×10−7B.2.8×10−8C.2.8×10−7D.0.28×10−84.如图，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥OC，OF平分∠BOE。若∠COF=32°，则∠AOD的度数为（B）A.24°B.26°C.28°D.30°5.花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式。下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（D）6.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（D）A.a+c>a+bB.(b−a)(b−c)>0C.ac>abD.c−b>c−a7.小亮和爸爸计划乘动车外出旅游。在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）。若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（D）A.16B.14C.138.若关于x的一元二次方程2x2−3x−m−1=0有实数根，则实数m的取值范围是（A）A.m≥−178B.m≤−178C.m≥−1349.如图，将折线O−A1−A2−A3−A4绕点A4顺时针旋转180°得到一段新的折线A4−A5−A6−A7−A8，再将新的折线绕点A8顺时针旋转180°……以此类推，得到一段连续的折线。则点A2025的坐标为（B）A.(1265,0)B.(25312,32)C.(1266,3)D.(10.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=x2−bx+c的图象上任意两点，设x2−x1=t，若当−2<x1<2且−1<b<4时，都有y2>y1，则t的取值范围是（B）A.t<−4或t>7B.t<−5或t>8C.t<−5或t>7D.−t<−4或t>8第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.若二次根式x﹣3有意义，则实数x的取值范围是12.如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示。小亮由此估计阴影部分面积约为22.4cm2。13.如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，点P是弧CD的中点，则弧AP的长为5π。14.七巧板是中国传统数学文化的重要载体，将图1所示的七巧板，拼成图2所示的图形，则tan∠BAC=1315.如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E为AD上一点，且BE=BC，作∠EBC的角平分线BF交边CD于点F，作于点P，分别与AB和BF交于点G和点Q，若AG=14AB，则PQ的长度为55三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：2cos30°+(13)−2+∣1−3∣−(π−2025)0=3+9+3﹣1﹣1=23+717.（本小题满分7分）先化简，再求值：(a+1a﹣2解原式=（a﹣=a+2将a=﹣4代入得﹣218.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠AEC=∠AFC。求证：AE=AF。证明：∵菱形ABCD∴∠B=∠D，AB=AD，BC=CD又∵∠AEC=∠AFC∴∠AEB=∠AFD∴△ABE≌△ADF（AAS）∴AE=AF。19.（本小题满分8分）为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼。为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用x表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理。数据分成4组：A组：0≤x<3；B组：3≤x<6；C组：6≤x<9；D组：9≤x<12。下面给出了部分信息：a.C组数据：6,6,6,6.2,6.5,6.6,6.7,6.8,7,7,7,7.3,7.6,7.8,8,8,8,8.2,8.4,8.4,8.5,8.8b.不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下：请根据以上信息完成下列问题：（1）该校此次调查共抽取了名学生，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为°；（2）请补全条形统计图；（3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是h；（4）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导。目前九年级共600名学生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数。（1）40，18°（2）D组12人，图略（3）7.1（4）600×2+20.（本小题满分8分）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架AB长度为40cm，且AB与墙壁AE所成夹角∠BAE=40°，壁灯吊杆BC长30cm，AB与BC的夹角可调节。吊灯连接杆CD垂直于地面，CD=5cm。（1）如图2，当∠ABC=90°时，求灯口D与墙壁的距离；（2）如图3，现有一靠墙放置的学习桌FH，FH与地面平行，其距离地面的高度FG为80cm。为了日常使用方便，当AB与BC夹角调整至∠ABC=120°时，灯口D需距离桌面70cm。求点A距离地面的高度。（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）（1）过B作BM⊥AE于M，过C作CN⊥BM于N∵在Rt△ABM中，根据正弦和余弦的定义，sin∠BAE=BMAB，cos∠BAE=已知AB=40cm，sin40∘≈0.64，cos40∘≈0.77∴BM=ABsin40∘≈40×0.64=25.6cm，AM=ABcos40∘≈40×0.77=30.8cm。∵∠ABC=90∘，∠ABM+∠MBC=90∘，∠BCN+∠MBC=90∘∴∠BCN=∠BAE=40∘在Rt△BCN中，sin∠BCN=BNBC∴CN=BCsin40∘≈30×0.64=19.2cm∴灯口D与墙壁的距离为AM+CN≈30.8+19.2=50cm。（2）过B作BP⊥AE于P，过C作CQ⊥BP交BP延长线于Q。在Rt△ABP中，BP=ABsin40∘≈40×0.64=25.6cm，AP=ABcos40∘≈40×0.77=30.8cm。∵∠ABC=120∘，∠ABP=50∘∴∠CBQ=30∘在Rt△BCQ中，sin∠CBQ=CQBC，cos∠CBQ=∵BC=30cm∴CQ=BCsin30∘=15cm，BQ=BCcos30∘≈30×32∴灯口D距离桌面70cm，桌面距离地面80cm，CD=5cm∴C到地面的高度为70+80−5=145cm∴B到地面的高度为145−CQ=145−15=130cm∴点A距离地面的高度为130+BP≈130+25.6=155.6cm。21.（本小题满分9分）如图，在中，AC=BC，⊙O与边AB，CB分别交于点D，G，AG是⊙O的直径，连接CO，DG，过点D作，交BC于点E。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan∠EDG=13，AD=32（1）证明：连接OD∵AC=BC，OA=OG∴CO是△ABC的中线根据等腰三角形三线合一性质，∴CO⊥AB∵DE∥CO∴DE⊥AB∵OA=OD∴∠A=∠ODA∵AC=BC∴∠A=∠B∴∠ODA=∠B∴OD∥BC∵DE⊥AB，OD∥BC∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线。（2）解：连接AD，DG∵AG是⊙O的直径∴∠ADG=90∘∵AC=BC，CO⊥AB∴D是AB中点。∵AD=32∴AB=2AD=62∵∠EDG+∠BDG=∠BDE=90∘，∠B+∠BDG=90∘∴∠EDG=∠B∵tan∠EDG=1∴tanB=1在Rt△ABD中，AD=32，AB=62根据勾股定理可得BD=36∵tanB=13=设CO=x，则BO=3x在Rt△BOC中，根据勾股定理BC2=CO2+BO2∴BC=10x∵AB=62，D是AB中点，BD=36，且BC=CO2∴BC=（36）解得x=3，即CO=3，BO=9∵∠EDG=∠B，tan∠EDG=1设EG=y，则DE=3y∵DE∥CO∴△BDE∽△BOC则DECO=BC=310，BE=BG−EG，BG=AB在Rt△ADG中，tan∠DAG=tanB=13，AD=3∴DG=2，AG=25，BG=213∴3y3=解得y=1∴EG=122.（本小题满分10分）项目任务1：设两车行驶里程为s千米。∵A车每千米行驶费用为a元，总行驶费用7.5元，所以s=7.B车每千米行驶费用为(a+0.45)元，总行驶费用18.75元，所以s=18由于行驶里程相同，则7.5解得a=0.3经检验a=0.3是原方程的根∴B车每千米行驶费用为0.3+0.45=0.75元。项目任务2：∵A车一年总费用yA=6500+1230+0.3x=7730+0.3x；B车一年总费用yB=2900+0.075x+0.75x=2900+0.825x。当yA=yB时，7730+0.3x=2900+0.825x解得x=9200yA>yB时，7730+0.3x>2900+0.825x解得x<9200yA<yB时，7730+0.3x<2900+0.825x解得x>9200∴当x=9200时，购买A车和B车费用相同；当x<9200时，购买B车更划算；当x>9200时，购买A车更划算。23.（本小题满分10分）直线y=12x+b与双曲线y=k（1）求k，b的值；（2）如图1，点C是直线y=12x+b上第一象限内的一点，过点C作轴，垂足为点E，交双曲线于点D，当BCBA=32（3）如图2，已知点P是双曲线上一动点，连接OA，OP，当∠AOP=∠BAO时，求点P的坐标。（1）将A(2,3)代入y=k得k=3×2=6将A(2,3)代入y=12得3=12解得b=2（2）由（1）知直线y=12∵BCBA=设C点横坐标为m，则C(m,12m+根据两点间距离公式得m2+且C在第一象限，m>0解得m=3∴C(3,72则CEED=（3）过A作AH⊥x轴于H，A(2,3)，B(0,2)，tan∠BAO=2∵∠AOP=∠BAO∴设P(n,6n)，直线OP的斜率kOP=∴tan∠AOP=6n2则6n2解得n=3或n=−3（舍去）∴P(3