2009大学生数学建模竞赛A题论文学习资料

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：制动器试验台的控制方法分析摘要该题是对制动器试验台控制方法的分析，本题中制动器实验台是采用惯性制动与电制动混合的方式进行制动，建立驱动电流与转速之间微分方程的数学模型，利用计算机控制中的控制器实现转速对驱动电流的控制。在计算等效的转动惯量时，根据等效转换前后能量守恒，导出等效惯量与车轮半径及载荷之间的关系从而解的等效惯量=52.00。计算机械惯量时，我们对三个飞轮进行组合，利用公式求出各组合的机械惯量结果如下表飞轮组合无飞轮1231，21，32，31，2，3机械惯量/104070130100160190220在计算电机的补偿惯量时，根据=-得到每种组合的电惯量，根据补偿范围筛选出符合条件的补偿惯量结果如下表飞轮组合13机械惯量/12-18建立驱动电流模型时，我们是利用一问题重述本题制动器试验台工作时，采用惯性制动与电量制动两种方式结合的的制动方式。让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量。一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。现在要求你们解答以下问题：1.设车辆单个前轮的滚动半径为0.286m，制动时承受的载荷为6230N，求等效的转动惯量。2.飞轮组由3个外直径1m、内直径0.2m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392m、0.0784m、0.1568m，钢材密度为7810kg/m3，基础惯量为10kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30,30]kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。4.对于与所设计的路试等效的转动惯量为48kg·m2，机械惯量为35kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。5.按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。6.第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。二模型假设1.假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。2.假设模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致。3.假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5A/N·m）。4.忽略观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。三符号说明飞轮的转动惯量，飞轮质量飞轮厚度飞轮外直径、内直径制动器工作时的总能量；机械惯量对应的能量驱动电流产生的能量；等效的转动惯量；机械惯量；电动机产生的转动惯量；驱动电流产生的扭矩；主轴转动的角速度；n电动机的转速；I电动机的驱动电流；四模型建立及求解4.1求等效的转动惯量把制动时承受的载荷等效的折算为试验台上飞轮和主轴等机构转动惯量，根据折算前后能量守恒原则，可得：=1\*GB2⑴由于角速度与线速度存在如下关系;=2\*GB2⑵载荷=3\*GB2⑶联立=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶三式可得：==题目中已知=0.286m,=6230N，代入上述计算公式可得：等效转动惯量=52.004.2计算机械惯量及电机需要补偿的惯量4.2.1单个飞轮转动惯量的计算方法飞轮由环形钢制成，密度分布均匀，为形状规则的空心圆柱，查资料可得空心圆柱的转动惯量计算公式为：，其中整理可得飞轮转动惯量的计算公式为：将飞轮的参数分别代入惯量的计算公式得出三个飞轮的转动惯量如表4.2.1表4.2.1飞轮123飞轮厚度m0.0392m0.07840.1568m转动惯量30601204.2.2飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量，三个飞轮共可以组成种数值的机械惯量如表4.2.2所示4.2.3电动机补偿的电惯量的计算问题一中求的等效转动惯量=52.00，则需要用电动机补偿的惯量（在这我们称为电惯量），即为=-，求得的电惯量见表4.2.2：表4.2.2三个飞轮能组合的机械惯量与电惯量表（基础惯量10）飞轮组合无飞轮1231，21，32，31，2，3惯量和/0306012090150180210机械惯量/104070130100160190220电惯量/4212-18-72-48-108-138-168电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30,30]kg·m2，表2中电惯在该范围内中的显然只有1与3这郎中组合方案其机械惯量见表4.3.表4.2.3飞轮组合13机械惯量/12-184.3建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型，计算驱动电流。4.3.1模型的建立在制动过程中，不能精确地用机械惯量模拟试验，需要让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，因此制动消的能量包括机械能即飞轮储存的动能与电动机在制动过程中补偿的电能两部分，用公式表示为：==；转动惯量、与力矩M的关系：联立可得:一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5A/N·m）,即I=1.5,则可得出驱动电流模型为：I=其中n4.3.2模型求解题目所给的的减速度a为常数，制动器试验台为恒减速实验，=常数，用转速表示为：代入电流公式可得I==减速度的公式：a=—==2.78m/由第一二问给出的条件可知r=0.286m,,分别代入模型公式可得两种不同电惯量的驱动电流如表4.3.1：表4.3.1飞轮组合13电惯量/12-18驱动电流/A174.97-262.45（负号表示方向与1电流方向相反）4.4对控制方法的评价建模基本思想：由于评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，故本题中计算出理论的制动能量和试验得到的制动能量，两者的误差即为能量误差。且本文用matlab编程还得到了理论的制动能量和试验得到的制动能量随时间变化的曲线，使得看起来更直观。4.4．1实验模型制动能量建模：由刚体绕定轴转动的功能关系：制动能量=扭矩*角速度*时间；这里我们忽略了离散化带来的误差，认为10ms足够小，在每个10ms内，主轴的角速度和扭矩不变，因此每个10ms我们得到一个能量：(1)所有这些能量的加和即为总的实验的制动能量，将这些能量随时间的变化画出来，即得到能量变化的曲线（具体程序见附件1）。4.4．2理论模型制动能量建模方法一：由于等效的制动惯量为常数（本题中为48），则由刚体绕定轴转动的动能定理：（2）我们把每隔10ms角速度的变化引起的能量的变化作为理论的制动能量，所有的这些能量的加和为总的理论得到的制动能量，再把这些能量随时间的变化画出来，得到理论上能量变化的曲线如图4.4.图4.4.方法二：从另一个角度看,我们由a公式,其中M为每一时刻的扭矩，J为理论制动惯量48，可得到理论的转速N，用理论的转速代入公式(2)可得到另一个能量的理论值，将其与实验图画在图4.2中并计算总的制动能量。图4.4.2实验制动能量与理论制动能量图（方法二）4.4.3能量误差的建模结果如表4.41表4.41相对能量误差和绝对能量误差实验总制动能量理论总制动能量能量误差相对误差方法一49267521642896.65.55%方法二5044311762.33%4.4.4结论从图4.1和4.2可看出，实验值与两种理论计算的方法都比较相近，而图4.2逼近效果更明显，从表4.1可看出，能量的相对误差都非常小，故第四题给出的控制方法是比较好的。4.5设计电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价4.5.1第3问中导出的数学模型为：，进行拉普拉斯变换式后为，该函数即为我们下一步反馈控制中传递函数，传递函数是指定义在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。为了便于比较，我们仍用附件中的扭矩和本题使用的控制方法得到的转速来计算制动能量。由于题目中要求根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩来控制本时间段电流值，我们可以利用控制理论中经典的负反馈控制模型，并用无源超前控制器来控制输出。反馈控制的原理为控制装置对被控对象施加控制作用，是取自被控量的反馈信息，来不断的调整被控量与输入量之间的偏差，从而实现对被控对象进行控制。该题中可将转速看作被控对象，给定的转速值作为输入量，给定的转速值与当前测定的的转速形成一个偏差，偏差会引起电流的变化，从而使电动机的转速改变并逐渐达到设定值，反馈控制图如图4.5.1所示。图4.5.1反馈控制系统其中超前控制器的传递函数为：，控制器离散化后增量式为：（1）其中：;;;表示转速设定值与第K次采样时间时转速的差值。本文用上述离散式进行MATLAB仿真(具体程序见附件)。仿真时先使转速达到某一值（此处为514.33r/min）,相当于实际实验台上加制动前的转速的稳定值，在30秒时加负阶跃，相当于在30秒时加了制动，使转速减小，当转速达到要求的设定值（此处为257.17r/min）时制动停止，我们每隔0.01s取制动期间转速的值，类似第四题进行编程计算实验制动能量且得到能量随时间变化的曲线，改变PID参数多次尝试，最后PID控制器参数取值为：，采样周期仿真结果如图5.2，其中BC段为制动段，对应电流由150安左右减小到近似为零，C处电流近似为零，表明制动停止。图5.2仿真电流转速曲线4.5.2评价控制方法优劣制动期间每隔0.01s读取一个转速值，类似第四题中求解实验制动能量的方法画出试验得到的与理论的制动能量曲线（如图4.5.3），并计算能量误差（如表4.5.1）。图4.5.3制动能量随时间变化曲线表4.5.1超前控制方法的能量损耗实验制动能量/J理论制动能量/J绝对误差/J相对