高斯定理课件

*3.1立体角

计算图a的立体角整个球面的对球心所张的立体角是4π球面度。

计算图b的立体角立体角的正负

rOθnnraO＇nθ＇b立体角的正负

高斯定理

面元矢量*3.2电通量

1、电通量的定义

通过面元dS的电通量根据定义式确定电通量的正负（见上图）2、不同曲面的电通量（1）任意曲面通过非闭合曲面的电通量*（2）任意闭合曲面规定：取闭合面外法线方向为正，则通过闭合曲面的电通量*3.3高斯定理的表述和证明

表述：通过一个任意闭合曲面S的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以，与闭合面外的电荷无关。

公式表示：

Gauss面通过任意闭合曲面的电通量Gauss面上的场强，是所有电荷产生的场面内电量的代数和，与面外电荷无关*高斯定理的证明

（1）通过包围点电荷q的同心球面的电通量都等于

点电荷q被任意球面包围，设q>0，场具有球对称性*（2）通过包围点电荷q的闭合曲面的电通量都等于

对整个闭合面S有包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于结果与电力平方反比律分不开*（3）通过不包围点电荷的任意闭合面S的电通量恒为0闭合曲面不包围点电荷，dS´与dS所对的立体角则电通量也有对于闭合面S’+S，总通量为结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的电通量为零*

(4)多个点电荷被任意闭合曲面包围设带电体系由n个点电荷组成，其中k个在闭合面内，n-k个在闭合面外由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为*讨论：Gauss定理说明闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只要S内电荷不为零，则通量不为零——有源正电荷——

喷泉形成的流速场——

源负电荷——

有洞水池中的流速场——汇闭合面外的电荷虽然对通量没有贡献，但并不意味着不影响闭合面上的电场，高斯面上的场强是空间所有带电体所产生的高斯定理是静电场的一条重要的定理，有其重要的理论地位，是静电场基本方程之一，它是由库仑定律导出的，反映了电力平方反比律，如果电力平方反比律不满足，则高斯定理也不成立。*3.4球对称的电场

说明：当场强的分布具有一定的对称性时，才能够直接运用高斯定理补充：对称性原理*例题6

利用高斯定理求电荷面密度均匀的带电球壳产生的场强分布。在球坐标下分析：球壳电荷均匀分布，围绕任一直径都是旋转不变——场强分布也不变，但旋转时E

和E

变——只有E

＝0和E

＝0只有径向分量Er不为零，r相同Er相同——场呈球对称分布*根据场的对称性做高斯面求出通过Gauss面的通量

结论：球壳内E=0；球壳外与点电荷场相同*P26例题7利用例题6的结果，球外一样在球内任意取半径为r的Gauss面注意计算r<R时，高斯面内所包围的电量为体电荷*3.5轴对称的电场

例题8

(p27)

求无限长均匀带电棒外的场强分布在柱坐标下分析作平面П1和П2柱体对П1镜像反射变换是不变的——场分布也不变但此变换下Eφ分量反向，只有Eφ＝0柱体对П2镜像反射变换是不变的——场分布也不变但此变换下Ez分量反向，只有Ez＝0剩下唯一不可能等于0的分量只有Er无限长圆柱体具有沿z方向的平移不变性

——等r处Er相等——轴对称性*设棒上线电荷密度为+

e作高斯面——以细棒为对称轴的圆柱（l长）求出通过Gauss面的通量E⊥dSE是常数*3.6无限大带电平面的电场

求均匀带正电的无限大平面的电场分布，设电荷的面密度为σe。对称性分析在直角坐标下分析对yz平面，镜像反射变换不变,场也不变——Ex=0对zx平面镜像反射变换不变，场也不变——Ey=0只有Ez不为零，无限大平面自身具有平移不变性，Ez与场点的坐标无关例题9(p28)*结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大小与场点到平面的距离无关图示c板间场强为何？EΔS＝0？*讨论：

以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。用Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强通量要好算注意选取合适的Gauss面Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，计算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如求两块无限大带电平面板的场分布求均匀带电球体内外的场分布求均匀带电的无限