第5章 分式与分式方程（学生版）

第5章分式与分式方程知识点01：分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.易错指导：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质

（M为不等于0的整式）.

3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简.知识点02：分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算QUOTE；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.

4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.知识点03：分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.易错指导：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.知识点04：分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•九龙坡区校级期中）若关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的方程的解为整数，则符合条件的整数m的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2分）（2023春•沙坪坝区校级月考）若关于x的不等式的解集为x＞4，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（）A．5 B．6 C．7 D．93．（2分）（2023春•九龙坡区校级月考）若整数a使关于x的分式方程有整数解，使关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，则符合条件的所有整数a之积为（）A．﹣12 B．0 C．72 D．1444．（2分）（2023•景县校级模拟）已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对5．（2分）（2022秋•德州期末）如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是（）A．﹣2 B．0 C．3 D．56．（2分）（2022秋•北碚区校级期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．11 B．14 C．16 D．97．（2分）（2022秋•石门县期末）2021年是抗击新冠肺炎不平凡的一年，某医药用品公司用10000元购进一批医用级防护服若干件，很快售完；该医药公司又用14700元购进第二批这种医用级防护服，所进件数比第一批多40%，每件防护服的进价比第一批每件防护服的进价多10元．求第一批购进多少件防护服？设第一批购进x件防护服，所列方程为（）A． B． C． D．8．（2分）（2022秋•合肥期末）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（）A．2 B．5 C．6 D．99．（2分）（2022春•九龙坡区校级期末）已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（）A．1 B．3 C．4 D．610．（2分）（2021•澧县模拟）若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程﹣＝2有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（）A．15 B．14 C．8 D．7二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•渝中区校级模拟）若m使得关于x的一元一次不等式组有且仅有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的和为．12．（2分）（2023春•武侯区校级期中）关于x的不等式组恰有两个整数解，且的值为正整数，则整数m的值为．13．（2分）（2023春•沙坪坝区校级期中）若关于y的不等式组的解集为y≤﹣4，且关于x的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是．14．（2分）（2023•顺庆区校级二模）已知x2﹣3x+1＝0，则x3﹣2x+的值为．15．（2分）（2023春•铜梁区校级期中）若实数a使得关于x的分式方程有非负整数解，并且使关于y的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，则符合条件的所有整数a的个数为个．16．（2分）（2023春•郫都区校级期中）若关于x的不等式组有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和为．17．（2分）（2022春•成都期末）关于y的方程的解为非负数，则a的取值范围是．18．（2分）（2021秋•桂平市期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为．19．（2分）（2021秋•长沙期末）若3x﹣4y﹣z＝0，2x+y﹣8z＝0，则的值为．20．（2分）（2020秋•北京期末）依据如图流程图计算﹣，需要经历的路径是（只填写序号），输出的运算结果是．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•新抚区模拟）先化简，再求值：（）÷，其中．22．（8分）（2023春•福田区校级期中）（1）解不等式x﹣5＞3（x﹣3），并写出它的所有自然数解；（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来；解方程程；（4）解方程：．23．（6分）（2023春•泉港区期中）为了迎接五一黄金周的购物高峰，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：运动鞋价格甲乙进价（元/双）mm﹣30售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值．（2）若购进乙种运动鞋x（双），要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润y（元）（利润＝售价﹣进价）不少于13000元且不超过13500元，问：购进甲种运动鞋多少双时总利润最大，最大利润是多少？24．（8分）（2023春•青羊区校级期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于6辆，有几种进货方案？25．（8分）（2023春•海口期中）“菊润初经雨，橙香独占秋”，海南琼中绿橙甘甜爽口，富含丰富的维生素C．某水果基地决定将一批绿橙运往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱绿橙，且甲种货车装运1000箱绿橙所需车辆数与乙种货车装运800箱绿橙所需车辆数相等．求甲、乙两种货车每辆分别可装多少箱绿橙？26．（8分）（2023春•安溪县期中）某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：茶叶品种进价（元/斤）售价（元/斤）甲a200乙a+50300已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．（1）求a的值；（2）茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤．①求销售完这两种茶叶的最大利润；②“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低m元（m＜50），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求m的最大值．27．（8分）（2022秋•青云谱区期末）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍．（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若已知甲乙合做完成此项工程共需费用102000元，并且乙公司每天费用比甲公司每天费用少1500元，分别计算甲、乙单独完成此项工程各需多少费用并选择合理的施工方案．28．（8分）（2022秋•德州期末）某社区去年购买了A、B两种型号的共享单车，购买A种单车共花费15000元，购买B种单车共花费14000元，购买A种单车的数量是购买B种