第三单元：等积变形问题“一般型”专项练习-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列第三单元：等积变形问题“一般型”专项练习一、填空题。1．把一个长15厘米、宽9厘米、高6厘米的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，这个正方体铁块的体积是()立方厘米。【答案】810【分析】把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块后，铁块的形状改变，但是铁块的体积不变，正方体铁块的体积等于长方体铁块的体积，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个正方体铁块的体积，据此解答。【详解】15×9×6＝135×6＝810（立方厘米）所以，这个正方体铁块的体积是810立方厘米。【点睛】本题主要考查等体积变形，明确正方体的体积等于长方体的体积并掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。2．用同一块橡皮泥捏成棱长为4厘米的正方体，后捏成一个长为2厘米，宽4厘米的长方体，这个长方体的高为()厘米。【答案】8【分析】根据题意，先把一块橡皮泥捏成正方体，后又把这块橡皮泥捏成长方体，形状变了，但这块橡皮泥的体积不变；先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这块橡皮泥的体积；再根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算即可求解。【详解】橡皮泥的体积：4×4×4＝64（立方厘米）长方体的高：64÷（2×4）＝64÷8＝8（厘米）这个长方体的高为8厘米。【点睛】本题考查正方体的体积、长方体的体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。3．一块长方体铁块，长20厘米，宽12厘米，高8厘米，它的体积是()立方厘米；把它熔铸成底面积是10平方厘米，高是8厘米的小长方体铁块，可熔铸成()个。【答案】192024【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出长方体铁块的体积；熔铸后，铁块的体积不变，先利用长方体的公式求出小长方体铁块的体积，再用原来长方体铁块的体积除以小长方体铁块的体积，即可求出熔铸的数量。【详解】20×12×8＝1920（立方厘米）10×8＝80（立方厘米）1920÷80＝24（个）即长方体铁块的体积是1920立方厘米，可熔铸24个小长方体铁块。【点睛】此题的解题关键是掌握长方体的体积的计算方法以及等积变形的数学思想。4．把一个棱长5分米的正方体钢块，锻造成宽2.5分米，高4分米的长方体钢块，长是()米。【答案】1.25【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体钢块的体积。锻造后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出长方体钢块的长。【详解】5×5×5÷（2.5×4）＝125÷10＝12.5（分米）＝1.25（米）即长是1.25米。【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。5．把水倒入一个长、宽、高的长方体容器里，水的高度是()dm。【答案】2【分析】根据题意可知，水倒入长方体容器内，体积不变，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可求出水的高度，据此解答。【详解】120L＝120dm3120÷（10×6）＝120÷60＝2（dm）把120L水倒入一个长10dm、宽6dm、高4dm的长方体容器里，水的高度是2dm。【点睛】熟练掌握长方体体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。6．把一块棱长是8dm的正方体钢坯，锻造成横截面的面积是0.4m2的长方体钢材，锻造成的钢材长()。【答案】1.28m/1.28米【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出钢坯体积，再根据长方体的长＝体积÷横截面积，列式解答即可。【详解】8dmm（m）锻造成的钢材长1.28m。【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。7．把一块棱长6cm的正方体钢块，锻造成一根长方体钢材。钢材的横截面是边长1.5cm的正方形，这根长方体钢材的长是()cm。【答案】96【分析】根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。【详解】6×6×6÷（1.5×1.5）＝216÷2.25＝96（cm）这根长方体钢材的长是96cm。【点睛】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。8．一个棱长是6cm的正方体铁块，能铸成一个长9cm、宽4cm，高()cm的长方体。【答案】6【分析】由题意可知，长方体的体积等于正方体的体积，先根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出长方体的体积，再利用“高＝长方体的体积÷长÷宽”求出长方体的高，据此解答。【详解】6×6×6÷9÷4＝36×6÷9÷4＝216÷9÷4＝24÷4＝6（cm）所以，长方体的高是6cm。【点睛】掌握长方体和正方体的体积计算公式是解答题目的关键。9．把一块棱长10cm的正方体铁块，锻造成宽5cm，高10cm的长方体铁条，这个铁条的长是()cm。【答案】20【分析】根据题意，把正方体的铁块锻造成长方体，只是形状改变了，体积没有变，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积，再用铁块的体积除以长方体的宽和高的乘积，即可求出长方体的长，由此解答。【详解】10×10×10÷（5×10）＝1000÷50＝20（cm）【点睛】此题主要考查长方体和正方体的体积计算，利用长方体和正方体的体积计算方法解决有关的实际问题。10．小红把一个棱长之和是48厘米的正方体橡皮泥捏成一个高是2厘米的长方体，这个长方体所占空间是()立方厘米，占地面积是()平方厘米。【答案】6432【分析】根据“正方体的棱长＝棱长之和÷12”求出正方体的棱长，把正方体橡皮泥捏成长方体所占空间的大小不变，则长方体的体积等于正方体的体积，再利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出橡皮泥的体积，最后利用“底面积＝长方体的体积÷高”求出长方体橡皮泥的占地面积，据此解答。【详解】棱长：48÷12＝4（厘米）体积：4×4×4＝16×4＝64（立方厘米）占地面积：64÷2＝32（平方厘米）【点睛】熟练运用长方体和正方体的体积计算公式是解答题目的关键。二、选择题。11．把一个长方体橡皮泥捏成一个正方体，体积和原来相比()。A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法确定【答案】C【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积。把一个长方体橡皮泥捏成一个正方体，它的形状改变了，但这块橡皮泥的大小不会改变，即体积不变，据此解答。【详解】把一个长方体橡皮泥捏成一个正方体，体积和原来相比不变。故答案为：C【点睛】掌握体积的定义，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。12．把一个棱长为24cm的正方体铁块熔铸成一个长是48cm，宽是40cm的长方体铁块，这个长方体的高是()cm。A．72 B．12 C．1.2 D．7.2【答案】D【分析】根据题意，将一个正方体铁块熔铸成长方体铁块，形状变了，体积不变；先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积；再根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算，即可求出这个长方体的高。【详解】正方体的体积（铁块的体积）：24×24×24＝576×24＝13824（cm3）长方体的高：13824÷48÷40＝288÷40＝7.2（cm）这个长方体的高是7.2cm。故答案为：D【点睛】本题考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。13．一块正方体实心钢坯，棱长为6分米，工人师傅想把它锻造成一个高为3分米、宽为4分米的长方体实心钢坯，这个长方体实心钢坯的长是()分米。A．36 B．27 C．24 D．18【答案】D【分析】把正方体实心钢坯锻造成长方体，体积不变；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体实心钢胚的体积，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答。【详解】6×6×6÷（4×3）＝36×6÷12＝216÷12＝18（分米）一块正方体实心钢坯，棱长为6分米，工人师傅想把它锻造成一个高为3分米、宽为4分米的长方体实心钢坯，这个长方体实心钢坯的长是18分米。故答案为：D【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式和正方体体积公式是解答本题的关键。14．用棱长1cm的正方体小木块拼成一个棱长1dm的大正方体，需要这样的小木块()个。A．10 B．30 C．100 D．1000【答案】D【分析】此题抓住拼组前后的体积不变，再利用体积单位之间的进率1dm3＝1000cm3，即可解答。【详解】棱长为1dm的正方体的体积为1dm3，即1000cm3；棱长为1cm的正方体的体积为1cm3，1000÷1＝1000（个）故答案为：D【点睛】此类拼组题目，要抓住它们拼组前后的体积不变这个特点进行解答。15．一个长方体铁块的体积是24立方厘米，正好可以熔铸成3个同样大的小正方体，小正方体的棱长是()厘米。A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】根据题意，先求出小正方体的体积，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长解答即可。【详解】24÷3＝8（立方厘米）8立方厘米＝2厘米×2厘米×2厘米故答案为：D【点睛】本题考查的是正方体体积计算公式灵活运用。三、解答题。16．把一个棱长是4分米的正方体钢坯锻造成一块长50分米，宽2分米的长方体钢板，这块钢板厚多少分米？【答案】0.64分米【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体钢坯的体积，锻造后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这块钢板的厚度。【详解】4×4×4÷（50×2）＝64÷100＝0.64（分米）答：这块钢板厚0.64分米。【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。17．把一块棱长6厘米的正方体钢锭锻造成一块长12厘米、宽6厘米的长方体钢锭，钢锭的高是多少厘米？【答案】3厘米【分析】由题意可知，把这块正方体钢锭锻造成长方体钢锭，钢锭的体积不变，则长方体钢锭的体积等于正方体钢锭的体积，先根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”表示出这块钢锭的体积，再利用“高＝长方体的体积÷长÷宽”求出钢锭的高，据此解答。【详解】6×6×6÷12÷6＝216÷12÷6＝18÷6＝3（厘米）答：钢锭的高是3厘米。【点睛】本题主要考查体积的等积变形，熟练掌握正方体和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。18．天天鲜水产品养殖场挖了一个长50米，宽36米，深2米的鱼池，如果将挖出的土铺在一条宽6米的路上，铺2分米厚，最多可以铺路多少米？（损耗忽略不计）【答案】3000米【分析】挖出的土实际上就是鱼池的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，铺在路上，体积并没有改变，用体积连续除以路面的宽和路面的高，即可得到需要铺的路面的长度。【详解】50×36×2＝3600（立方米）2分米＝0.2米3600÷6÷0.2＝600÷0.2＝3000（米）答：最多可以铺路3000米。【点睛】解决此题的关键是抓住体积不变的原则，灵活运用长方体的体积公式求解。19．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是6分米的正方体铁块，锻造成了一个横截面积是4平方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？【答案】54分米【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用6×6×6即可求出正方体铁块的体积，把正方体铁块锻造成了一个横截面积是4平方分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高＝长×横截面积，用正方体铁块的体积除以4平方分米，即可求出这个长方体的长。【详解】6×6×6÷4＝216÷4＝54（分米）答：这个长方体的长是54分米