高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4第一课时比较法分析法综合法

第一章不等关系与基本不等式§4不等式证实第一课时比较法、分析法、综正当1/39学习目标重点难点1.了解比较法证实不等式意义及分析法与综正当数学思想．2．了解比较法、分析法、综正当解题步骤及书面表示．3．能够应用比较法、分析法、综正当证实简单不等式.1.重点是比较法、分析法、综正当数学思想．2．难点是综合利用比较法、分析法、综正当证实简单不等式.2/393/39阅读教材P16～P18相关内容，完成以下问题：1．比较法(1)作差比较法我们已经知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，所以，要证实a＞b，只要证实____________即可，这种方法称为作差比较法．a－b＞04/395/391．(1)作差比较法主要适用类型是什么？实质是什么？(2)作商比较法主要适用类型是什么？提醒：(1)作差比较法主要适合用于含有多项式结构特征不等式证实．实质是把判断两个数(或式子)大小问题转化为判断一个数(或式子)与0大小问题．(2)作商比较法主要适合用于积(商)、幂(根式)、指数式形式不等式证实．6/392．分析法从所要证实结论入手向已知条件反推直至到达已知条件为止，这种证法称为分析法，即“____________”证实方法．执果索因7/398/399/393．综正当从已知条件出发，利用不等式性质(或已知证实过不等式)，推出所要证实结论，即“____________”方法，这种证实不等式方法称为综正当．由因寻果10/392．试分析综正当与分析法证实不等式逻辑关系．提醒：综正当A(已知)⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(结论)，逐步推演不等式成立必要条件．分析法B(结论)⇐Bn⇐Bn－1⇐…⇐B1⇐A(已知)，步步寻求不等式成立充分条件．11/3912/39用比较法证实不等式

(1)已知a≠b，则a4＋6a2b2＋b4________4ab(a2＋b2)．(选填“＞”“＜”或“＝”)13/39(1)解析：a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)＝a4－2a2b2＋b4＋8a2b2－4ab(a2＋b2)＝(a2－b2)2－4ab(－2ab＋a2＋b2)＝(a－b)2[(a＋b)2－4ab]＝(a－b)2(a－b)2＝(a－b)4.因为a≠b，所以(a－b)4＞0.所以a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．答案：＞14/3915/39【点评】比较法是证实不等式一个最基本、最惯用方法．当被证实不等式两端是多项式、分式或对数式，普通使用作差比较法，当被证实不等式(或变形后)两端都是正数且为积形式或幂指数形式时，普通使用作商比较法．16/391．(1)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.(2)已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.证实：(1)2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0.从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.17/3918/3919/39用分析法证实不等式

20/3921/39【点评】用分析法证题时，语气总是假定，惯用“欲证A只需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，所以B必须是A充分条件才行，当然B是A充要条件也可．22/3923/39有[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，由x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.从而所要证实不等式成立．24/39用综正当证实不等式

25/3926/3927/393．已知a，b，c是互不相等正数，且abc＝1.求证：(1＋a＋b)(1＋b＋c)(1＋c＋a)＞27.28/39因为a，b，c是互不相等正数，所以上述不等式中等号不成立．因为abc＝1，所以(1＋a＋b)(1＋b＋c)(1＋c＋a)＞27.29/39分析法与综正当结合起来证实不等式

已知a，b，c∈(0，＋∞)，且ab＋bc＋ca＝1.

30/3931/3932/3933/39【点评】在证实不等式过程中，分析法、综正当经常是不能分离．使用综正当证实不等式难以入手时惯用分析法探索证题路径，之后用综正当形式写出它证实过程，以适应人们习惯思维规律．有时问题证实难度较大，常使用分析综正当，实现从两头往中间靠以到达证题目标．34/3935/3936/3937/393．分析法与综正当(1)分析法与综正当相辅相成，对于较复杂问题，经