高三数学复习第一篇专题突破专题五立体几何第2讲空间点线面的位置关系理

第2讲空间点、线、面位置关系1/27考情分析2/27总纲目录考点一

空间线、面位置关系判断考点二空间线面平行、垂直关系证实考点三平面图形翻折问题3/27考点一

空间线、面位置关系判断经典例题(课标全国Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有以下四个命

题:①假如m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②假如m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③假如α∥β,m⊂α,那么m∥β.④假如m∥n,α∥β,那么m与α所成角和n与β所成角相等.其中正确命题有

.(填写全部正确命题编号)4/27答案②③④解析对于命题①,可利用长方体举反例证实其错误:如图,不妨设AA'为直线m,CD为直线n,ABCD所在平面为α,ABC'D'所在

平面为β,显然这些直线和平面满足题目条件,但α⊥β不成立.命题②正确,证实以下:设过直线n某平面与平面α相交于直线l,则l∥n,

由m⊥α知m⊥l,从而m⊥n,结论正确.由平面与平面平行定义知命题③正确.由平行传递性及线面角定义知命题④正确.5/27方法归纳判断空间线、面位置关系惯用方法(1)依据空间线面平行、垂直判定定理和性质定理逐项判断处理问

题;(2)必要时能够借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察

线、面位置关系,并结合相关定理进行判断.6/27跟踪集训1.(湖南湘中名校高三联考)已知m,n是两条不一样直线,α,β,γ是三个

不一样平面,以下命题中正确是

()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n答案

D对于选项A,两直线可能平行,相交或异面;对于选项B,两平面

可能平行或相交;对于选项C,两平面可能平行或相交;对于选项D,由线

面垂直性质定理可知结论正确.7/272.(新疆第二次适应性检测)设m,n是不一样直线,α,β,γ是不一样平

面,有以下四个命题:①若α∥β,α∥γ,则β∥γ;②若α⊥β,m∥α,则m⊥β;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β;④若m∥n,n⊂α,则m∥α.其中正确命题序号是

()A.①③

B.①④

C.②③

D.②④答案

A对于①,因为平行于同一个平面两个平面相互平行,所以①

正确;对于②,当直线m位于平面β内,且平行于平面α,β交线时,满足条

件,但显然此时m与平面β不垂直,所以②不正确;对于③,在平面β内取直

线n平行于m,则由m⊥α,m∥n,得n⊥α,又n⊂β,所以有α⊥β,③正确;对于

④,直线m可能位于平面α内,显然此时m与平面α不平行,所以④不正确.

总而言之,正确命题序号是①③,故选A.8/27考点二

空间线面平行、垂直关系证实1.直线、平面平行判定及其性质(1)线面平行判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(2)线面平行性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.(3)面面平行判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β.(4)面面平行性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.2.直线、平面垂直判定及其性质(1)线面垂直判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.9/27经典例题(山东,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得

到几何体如图所表示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD交点,E为

AD中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证实:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD中点,证实:平面A1EM⊥平面B1CD1.

10/27证实(1)取B1D1中点O1,连接CO1,A1O1,因为ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,所以四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.

11/27(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.12/27方法归纳平行关系及垂直关系转化空间平行、垂直关系证实主要思想是转化,即经过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间平行、垂直关系相互转化.

13/27跟踪集训1.(湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富数

学名著,书中将底面为直角三角形直棱柱称为堑堵,将底面为矩形

棱台称为刍童.在如图所表示堑堵ABM-DCP与刍童ABCD-A1B1C1D1组

合体中,AB=AD,A1B1=A1D1.台体体积公式:V=

(S'+

+S)h,其中S',S分别为台体上、下底面面积,h为台体高.(1)证实:直线BD⊥平面MAC;(2)若AB=1,A1D1=2,MA=

,三棱锥A-A1B1D1体积V‘=

,求该组合体体积.14/27解析(1)证实:由题可知ABM-DCP是底面为直角三角形直棱柱,∴AD⊥平面MAB,∴AD⊥MA,又MA⊥AB,AD∩AB=A,AD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴MA⊥平面ABCD,∴MA⊥BD.∵AB=AD,∴矩形ABCD为正方形,∴BD⊥AC,又MA∩AC=A,MA⊂平面MAC,AC⊂平面MAC,∴BD⊥平面MAC.(2)设刍童ABCD-A1B1C1D1高为h,则三棱锥A-A1B1D1体积V'=

×

×2×2×h=

,∴h=

,故该组合体体积V=

×1×

×1+

×(12+22+

)×

=

+

=.15/272.(广西三市第一次联考)在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,

∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD中点,PA=2AB=2.(1)求证:PC⊥AE;(2)求证:CE∥平面PAB.

16/27证实(1)在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,∴BC=

,AC=2,取PC中点F,连接AF,EF,∵PA=AC=2,∴PC⊥AF.∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,∵∠ACD=90°,∴CD⊥AC,又PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,∴CD⊥PC,∵EF是△PCD中位线,∴EF∥CD,∴EF⊥PC.又AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.∵AE⊂平面AEF,∴PC⊥AE.(2)取AD中点M,连接EM,CM,则EM∥PA.17/27∵EM⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴EM∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,∴∠ACM=60°,而∠BAC=60°,∴MC∥AB.∵MC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC=M,∴平面EMC∥平面PAB.∵CE⊂平面EMC,∴CE∥平面PAB.18/27考点三

平面图形翻折问题经典例题(课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD对角线AC与BD交于点O,

点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'

EF位置.(1)证实:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=

,OD'=2

,求五棱锥D'-ABCFE体积.19/27解析(1)证实:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得

=

,故AC∥EF.由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(2)由EF∥AC得

=

=

.由AB=5,AC=6得DO=BO=

=4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2

)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD‘,又AC⊥BD,BD∩HD’=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC

⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.又由

=

得EF=

.五边形ABCFE面积S=

×6×8-

×

×3=

.所以五棱锥D'-ABCFE体积V=

×

×2

=

.20/27方法归纳平面图形翻折问题求解方法(1)处理与折叠相关问题关键是搞清折叠前后变和不变,普通情

况下,线段长度是不变量,而位置关系往往会发生改变,抓住不变量是

处理问题突破口.(2)在处理问题时,要综合考虑折叠前后图形,既要分析折叠后图形,

也要分析折叠前图形.21/27跟踪集训(合肥第二次教学质量检测)如图,平面五边形ABCDE中,AB∥CE,且

AE=2,∠AEC=60°,CD=ED=

,cos∠EDC=

.将△CDE沿CE折起,使点D到点P位置,且AP=

,得到四棱锥P-ABCE.(1)求证:AP⊥平面ABCE;(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:AB∥l.

22/27证实(1)在△CDE中,∵CD=ED=

,cos∠EDC=

,由余弦定理得CE=2.连接AC,∵AE=2,∠AEC=60°,∴AC=2.又AP=

,∴在△PAE中,PA2+AE2=PE2,即AP⊥AE.同理,AP⊥AC.而AC⊂平面ABCE,AE⊂平面ABCE,AC

∩AE=A,故AP⊥平面ABCE.(2)∵AB∥CE,且CE⊂平面PCE,AB⊄平面PCE,∴AB∥平面PCE.又AB⊂平面PAB,平面PAB∩平面PCE=l,∴AB∥l.23/271.(江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面

ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.随堂检测24/27证实(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因