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文档简介

——线性方程组的解线性代数线性方程组设含有个未知数,

个线性方程的方程组称为线性方程组.(1)系数矩阵若记未知量矩阵常数项矩阵则上述方程组可写成矩阵形式称为线性方程组的增广矩阵．为方程组的解或解向量.或注01若

可以使方程组中的m个等式都成立，则称02如果两个方程组的解集相等，则称两个方程组同解.方程组解的全体称为方程组的解集.若方程组（1）中m=n，即方程个数与未知量个数相等，且系数行列式不等于0时，方程组的解可用克拉默法则求解，且解唯一．03定理线性方程组（1）有解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等．即注当时，方程组有解：若

，则方程组有唯一解；1若

，则方程组有无穷多解．2

齐次线性方程组1齐次线性方程组一般形式为

推论1即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩小于未知量个数．当A

为n

阶方阵，即m=n

时，Ax=0有非零解特别地齐次线性方程组故Ax=0的求解方法：利用初等变换把系数矩阵A

化为行最简形矩阵，从而确定矩阵A

的秩．1若R（A）<n

，则方程组一定有非零解，由行最简形矩阵对应的同解方程组即可写出通解形式．2若R（A）=n

，则方程组只有零解．例1求解线性方程组对系数矩阵A

施行初等行变换变为行最简形矩阵：解即从而得与原方程组同解的方程组：则通解：通解的向量形式：其中为任意实数．非齐次线性方程组2

一般形式为

推论2即系数矩阵A

的秩等于增广矩阵

的秩n

元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是1当时，方程组没有自由未知量，只有唯一解．

故

2当时，方程组有个自由未知量，此时方程组有无穷多个解．3当时，方程组无解．例2对增广矩阵施行初等行变换．解求解非齐次线性方程组得

从而方程组无解．求解非齐次线性方程组对增广矩阵施行初等行变换：解例3得方程组有无穷多解，可得同解方程组：可得通解的形式为：思考

方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时，求通解．小结1.线性方程组

是否有解的判定2.齐次方程组的解；（系数矩阵）3.非齐次方程组的解.（增广矩阵）利用初等行变换，化为行最简型矩阵确定

,再根据

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