2025版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第三节圆的方程学案理含解析新人教A版

PAGEPAGE3第三节圆的方程2024考纲考题考情1．圆的定义(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。2．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。3．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0，其中圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)。4．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种。圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2。(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2。(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。1．圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2。2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0。3．二元二次方程表示圆的条件对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件。一、走进教材1．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)。故选D。答案D2．(必修2P120例3改编)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a。因为|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。所以a＝1，b＝1。所以r＝2。所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。故选C。解析：因为A(1，－1)，B(－1,1)，所以AB的中垂线方程为y＝x。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,y＝x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所以圆心坐标为(1,1)，r＝eq\r(1－12＋1＋12)＝2。则圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。答案C二、走近高考3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________。解析设圆心为(t,0)(t>0)，则半径为4－t，所以4＋t2＝(4－t)2，解得t＝eq\f(3,2)，所以圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)。答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)4．(2024·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq\r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq\f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________。解析设圆心的坐标为(a,0)(a>0)，依据题意得eq\f(|2a|,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆的半径r＝eq\r(2－02＋0－\r(5)2)＝3，所以圆的方程为(x－2)2＋y2＝9。答案(x－2)2＋y2＝9三、走出误区微提示：①忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F>0；②错用点与圆的位置关系判定；③忽视圆的方程中变量的取值范围。5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)B．(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)C．(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)D．(－∞，－2eq\r(3))∪(2eq\r(3)，＋∞)解析将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(m2,4)－2。由其表示圆可得eq\f(m2,4)－2>0，解得m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2)。答案B6．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±4解析因为点(1,1)在圆内，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1。故选A。答案A7．已知实数x，y满意(x－2)2＋y2＝4，则3x2＋4y2的最大值为________。解析由(x－2)2＋y2＝4，得y2＝4x－x2≥0，得0≤x≤4，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64(0≤x≤4)，所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48。答案48考点一圆的方程【例1】(1)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________。(2)已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________。解析(1)由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3①。过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0②，联立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0，))所以圆心坐标为(3,0)，半径r＝eq\r(4－32＋1－02)＝eq\r(2)，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2。解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因为点A(4,1)，B(2,1)在圆上，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，))又因为eq\f(b－1,a－2)＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝eq\r(2)，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2。(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10。②))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0③。设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36④，联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0。故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0。答案(1)(x－3)2＋y2＝2(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0求圆的方程时，应依据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法：通过探讨圆的性质进而求出圆的基本量。确定圆的方程时，常用到的圆的三特性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解。【变式训练】(1)(2024·珠海联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2(2)(2024·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16解析(1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有eq\f(|a－－a|,\r(2))＝eq\f(|a－－a－4|,\r(2))即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故选B。(2)直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1,2)，如图。所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大，为eq\r(2)，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2。故选B。答案(1)B(2)B考点二与圆有关的轨迹问题【例2】已知圆x2＋y2＝4上肯定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点。(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程。解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)。因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4。故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1，(x≠2)。(2)设PQ的中点为N(x，y)。在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|。设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4。整理得x2＋y2－x－y－1＝0，故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0。求与圆有关的轨迹问题时，依据题设条件的不同，常采纳以下方法：1．干脆法：干脆依据题目供应的条件列出方程。2．定义法：依据圆、直线等定义列方程。3．几何法：利用圆的几何性质列方程。4．代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满意的关系式等。【变式训练】自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0解析由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图。因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D。答案D考点三与圆有关的最值问题微点小专题方向1：借助几何性质求最值【例3】已知实数x，y满意方程x2＋y2－4x＋1＝0，则(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值分别为________和________；(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为________和________。解析原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆。(1)eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx。当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)。所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3)。(2)令y－x＝b，则y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距。如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)，所以y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6)。(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方。由平面几何学问知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3)。答案(1)eq\r(3)－eq\r(3)(2)－2＋eq\r(6)－2－eq\r(6)(3)7＋4eq\r(3)7－4eq\r(3)借助几何性质求与圆有关的最值问题，依据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解。1．形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题。2．形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题。3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。方向2：建立函数关系求最值【例4】(2024·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为________。解析由题意，知eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y),所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满意方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12。由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12。答案12依据题中条件列出相关的函数关系式，再依据函数学问或基本不等式求最值。【题点对应练】1．(方向1)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为()A．6 B．eq\f(11,2)C．8 D．eq\f(21,2)解析x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆。如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,－3)＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝eq\f(16,5)，又|AB|＝eq\r(32＋42)＝5，所以△ABP的面积的最小值为eq\f(1,2)×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)－1))＝eq\f(11,2)。答案B2．(方向2)已知实数x，y满意(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝eq\f(y＋1,x)的最大值与最小值分别为________和________。解析由题意，得eq\f(y＋1,x)表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点(x，y)的直线的斜率。当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4±\r(7),3)，所以zmax＝eq\f(4＋\r(7),3)，zmin＝eq\f(4－\r(7),3)。答案eq\f(4＋\r(7),3)eq\f(4－\r(7),3)3．(方向2)已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为()A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0解析当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的坐标为(2，eq\r(5))，(2，－eq\r(5))，所以S△OPQ＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(5)＝2eq\r(5)。当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k≠\f(1,2)))，则圆心到直线PQ的距离d＝eq\f(|1－2k|,\r(1＋k2))，由平面几何学问得|PQ|＝2eq\r(9－d2)，S△OPQ＝eq\f(1,2)·|PQ|·d＝eq\f(1,2)·2eq\r(9－d2)·d＝eq\r(9－d2d2)≤eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9－d2＋d2,2)))2)＝eq\f(9,2)，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝eq\f(9,2)时，S△OPQ取得最大值eq\f(9,2)。因为2eq\r(5)<eq\f(9,2)，所以S△OPQ的最大值为eq\f(9,2)，此时eq\f(4k2－4k＋1,k2＋1)＝eq\f(9,2)，解得k＝－1或k＝－7，此时直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0。故选D。答案D四点共圆问题的求解策略四点共圆问题本属于平面几何内容，是数学竞赛中的高频考点，近年来，圆锥曲线中的四点共圆问题也频频出现在高考试题中。【典例】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝eq\f(5,4)|PQ|。(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程。【解】(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝eq\f(8,p)，又P(0，4)，所以|PQ|＝eq\f(8,p)。又|QF|＝eq\f(p,2)＋x0＝eq\f(p,2)＋eq\f(8,p)，且|QF|＝eq\f(5,4)|PQ|，所以eq\f(p,2)＋eq\f(8,p)＝eq\f(5,4)·eq\f(8,p)，解得p＝2(p＝－2舍去)，所以，抛物线C的方程为y2＝4x。(2)因为A，M，B，N四点在同一圆上，弦AB的垂直平分线必过圆心，又