2024年高考数学考点分析与突破性讲练专题39二项分布与正态分布理

PAGEPAGE1专题39二项分布与正态分布一、考纲要求：1.了解条件概率的概念，了解两个事务相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简洁问题.3.借助直观直方图相识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．二、概念驾驭及解题上的留意点：1.独立重复试验的实质及应用,独立重复试验的实质是相互独立事务的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程.2.推断某概率模型是否听从二项分布PnX＝k＝Ceq\o\al(k,n)pk1－pn－k的三个条件1在一次试验中某事务A发生的概率是同一个常数p.2n次试验不仅是在完全相同的状况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的.3该公式表示n次试验中事务A恰好发生了k次的概率.3.解决有关正态分布的求概率问题的关键是充分利用正态曲线的对称性及曲线与x轴之间的面积为1，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要留意数形结合思想及化归思想的运用.1应熟记Pμ－σ<X≤μ＋σ，Pμ－2σ<X≤μ＋2σ，Pμ－3σ<X≤μ＋3σ的值；2常用的结论有：①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等.②PX≤a＝1－PX≥a，PX≤μ－a＝PX≥μ＋a.三、高考考题题例分析：例1.（2024全国卷I）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再依据检验结果确定是否对余下的全部产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的全部产品作检验？【答案】见解析（2）（i）由（1）知p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．（ii）假如对余下的产品作检验，由这一箱产品所须要的检验费为400元，∵E（X）=490＞400，∴应当对余下的产品进行检验．例2.（2024全国卷III）某群体中的每位成员运用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中运用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】B【解析】：某群体中的每位成员运用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事务，满意X～B（10，p），P（x=4）＜P（X=6），可得，可得1﹣2p＜0．即p．因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．故选：B．5.盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次摸出2个球运用，在第一次摸出新球的条件下，其次次也摸出新球的概率为()A．eq\f(3,5) B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,10)【答案】B6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.A．2386 B．2718C．3413 D．4772【答案】C【解析】：由曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P(0<X≤1)＝eq\f(1,2)×0.6826＝0.3413，又题图中正方形面积为1，故它们的比值为0.3413，故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.3413×10000＝3413.故选C．7．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)【答案】B8.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪耀，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为eq\f(1,2)，两次闭合后都出现红灯的概率为eq\f(1,5)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下其次次闭合后出现红灯的概率为()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)【答案】C【解析】：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事务A，“其次次闭合后出现红灯”为事务B，则由题意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,5)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下其次次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).故选C．9．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，则P(Y≥2)的值为()A．eq\f(32,81) B．eq\f(11,27)C．eq\f(65,81) D．eq\f(16,81)【答案】B【解析】：因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3)，所以Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝eq\f(11,27).10．设随机变量X听从二项分布X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是()A．eq\f(5,6) B．eq\f(4,5)C．eq\f(31,32) D．eq\f(1,2)【答案】C11.已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)＝a，则P(X>2)的值为()A．eq\f(1－a,2) B．eq\f(a,2)C．1－a D．eq\f(1＋a,2)【答案】A【解析】：依据正态分布可知P(|X|<2)＋2P(X>2)＝1，故P(X>2)＝eq\f(1－a,2)，故选A．12.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)听从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(参考数据：若随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.74%.A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【答案】B【解析】：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P－6＜ξ＜6－P－3＜ξ＜3,2)＝eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.1359＝13.59%，故选B．二、填空题13．设随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ<－3)＝P(ξ>1)＝0.2，则P(－1<ξ<1)＝________.【答案】0.3【解析】：由P(ξ<－3)＝P(ξ>1)＝0.2得P(ξ>－1)＝0.5，所以P(－1<ξ<1)＝0.5－0.2＝0.3.14．投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则p的取值范围为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))【解析】：设P(Bk)(k＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉，出现k次钉尖向上”的概率，由题意得P(B2)<P(B3)，即Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)<Ceq\o\al(3,3)p3.∴3p2(1－p)<p3.由于0<p<1，∴eq\f(3,4)<p<1.15．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事务记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事务记为B，则P(A|B)＝________.【答案】eq\f(1,4)16．事务A，B，C相互独立，假如P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，则P(B)＝________，P(eq\x\to(A)B)＝________.【答案】eq\f(1,2)eq\f(1,3)【解析】：由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA·PB＝\f(1,6)，,P\x\to(B)·PC＝\f(1,8)，,PA·PB·P\x\to(C)＝\f(1,8)，))解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，∴P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))·P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).三、解答题17．某商场实行有奖促销活动，顾客购买肯定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案a：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可依据方案a抽奖一次；满150元，可依据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以依据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次)．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望；(2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？【答案】(1)9元；(2)见解析(2)按方案b抽奖一次，获得奖金的概率P1＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).若顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，则由方案a中奖的次数听从二项分布B1～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,10)))，由方案b中奖的次数听从二项分布B2～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,10)))，设所得奖金为w2元，则Ew2＝2×eq