七年级数学下册培优辅导讲义(人教版)

第12讲与相交有关概念及平行线的判定

【解】⑴；OE、OF平分N50C、ZAOC：.ZEOC=-ZBOC,ZFOC

考点•方法•破译2

1.了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

=-ZAOC：.ZEOF=ZEOC+ZFOC=-ZBOC+-ZAOC=

2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用222

图形或几何符号表示它们.；(ZBOC+ZAOC)又；N3OC+NAOC=180°AZEOF=iX180°=

3.掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关

系.90°⑵NBOE的余角是：ZCOF.ZAOF；N50E的补角是：ZAOE.

经典•考题•赏析【变式题组】

【例1】如图，三条直线AB、CD、E尸相交于点。，一共构成哪01.如图，已知直线A3、CO相交于点。,04平分/EOC,S.ZEOC

几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？4=100°,则的度数是（)

【解法指导】A.20°B.40°C.50°

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两

边的反向延长线.

GB

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

有6对对顶角.12对邻补角.

【变式题组】

01.如右图所示，直线45、CD、E尸相交于P、。、R,贝！|：C■E

（第题图）

（DZARC的对顶角是,邻补角1

是J2）中有几对对顶角，几对邻补角？

02.（杭州）已知N1=N2=N3=62°,则N4=.

02.当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；A______R

B【例3】如图，直线从心相交于点O,A、B分别是从Z±

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；/2

的点，试用三角尺完成下列作图：

当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.fD

⑴经过点A画直线为的垂线.

问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.

⑵画出表示点B到直线A的垂线

【例2】如图所示，点。是直线A5上一点，OE、。尸分别平分N50C、

段.

ZAOC.

【解法指导】垂线是一条直

⑴求NEO尸的度数；

C线，垂线段是一条线段.

⑵写出N3OE的余角及补角.

【变式题组】

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的

01.P为直线/外一点，4、3、C是直线/上三点，且协=4cm,

定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

PB=5cm,PC=6cm,则点尸到直线/的距离为（)

AOB

A.4cmB.5cmC.不大于4cmD.不小于6cm⑴求NAOC的度数；

02如图，一辆汽车在直线形的公路A3上由A向3行驶，M.N为位于公路两⑵试说明OD与AB的位置关系.

侧的村庄；

⑴设汽车行驶到路43上点尸的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q

的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点尸、。的位置.

M,03.如图，已知A5_L5C于5,DBLEBB,并且

ZCBE:ZABD=1：2,请作出NC3E的对顶角，并

求其度数.

AB

*N

⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越

来越近..在

的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄砸来越远.

【例4】如图，直线43、C。相交于点O,OE±CD,OF1AB,ZDOF=【例5】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的,

65°,求NBOE和的度数.并说出它们的名称：

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依/N1和N2：

据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：ZAOF=

90°,OFA.AB.A--------------------BN1和N3：

c'FN1和N6：

【变式题组】/2和N6：

01.如图，若EO_L43于O,直线C£)过点O,ZEOD:ZEOB=1：3,求NAOC、

NAOE的度数.广N2和N4：

N3和N5：

N3和/4：

DOC

02.如图，O为直线AB上一点，ZBOC=3ZAOC,OC平分NAQD.【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是:

B

首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线,

其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.,有“”即有内错角.

【解法指导】⑴由NC8O=NAO8,可推得AO〃3C；根据内错角相等，两

【变式题组】直线平行.

01.如图，平行直线48、C£）与相交直线E尸，GH相交，图中的同⑵由N8CZ>+NAOC=180°,可推得AD//BC；根据同旁

旁内角共有（）内角互补，两直线平行.

-B

A.4对B.8对C.12对D16对⑶由N4C£>=N5AC可推得A8〃Z>C；根据内错角相等，两

直线平行.

D

【变式题组】

02.如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.F01.如图，推理填空.

（1）VZA=Z_(已知)

：.AC//ED（)

K2(2)VZC=Z(已知)

J.AC//ED()

⑶,:ZA=Z(已知)B

D

丙C.AB//DF()

02.如图，AD平分NR4C,EF平分/OEC,且N1=N2,试说明

03.如图，按各组角的位置判断错误的是（）DE与AB的位置关系.

A.N1和N2是同旁内角解:•.,AO是NA4c的平分线（已知）

B.N3和N4是内错角：.ZBAC=2Z1（角平分线定义）

C.N5和N6是同旁内角又尸平分NDEC（已知）

D.N5和N7是同旁内角

【例6】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•)

（V）ZCBD=ZADB；4又：N1=N2（已知）

（2）ZBCZ>+ZADC=180°

&ZACD=ZBAC_______/()

【解法指导】图中有/即即有同/J.AB//DE()

旁内

B'C

此时的图形为图⑵.

03.如图，已知AE平分NCA3,CE平分NACD.ZCAE+ZACE=90°,求证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°

证：AB//CD.则12X31°=372°>360°

］〉'这与一周角等于360。矛盾

所以这12个角中至少有一个角小于31°

04.如图，已知NABC=NACJB,BE平分NA8C,/【变式题组】

C£)平分NACB,ZEBF=ZEFB,求证：CD//C匕---------D01.平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一

EF.个角小于11°.

02.在同一平面内有2010条直线也％“2010,如果”2〃的，

的JL〃4，。4〃。5.......那么与«2010的位置关系是______________.

03.已知n(n>2)个点P”P2,B…P".在同一平面内没有任何三

点在同一直线上,设S“表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直

---妞此攵就日gC—1C—oC—a・C—1c.__

cp一口如，业於-J-，*33-*->,04-u,・・D5一火！Jw，一___________.

'演练巩固•反馈提高

【例7】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，01.如图，/EAC=NAOB=90°.下列说法正确的是()

至少有一个A.a的余角只有N8B.a的邻补角是NZMC

4

角小于31。."心"//C.NACF是a的余角D.a与NACF互补

E

第1题图F第2题图第4以图

02.如图，已知直线AB.CD被直线EF所截，则NEM3的同位角为

图⑴图⑵()

A.ZAMFB.NBMFC.NENCD.NEND

03.下列语句中正确的是()

【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，

A.在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B.过直线上一点的直线只有一条11.如图，已知5E平分NABO,OE平分NCD3,5.ZE=ZABE+ZEDC.试

C.过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条说明AB//CD?

D.垂线段就是点到直线的距离

04.如图，N3AC=90。，AO_L3c于。，则下列结论中，正确的个数有（）

①②4。与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段12.如图，已知BE平分NA3C,CF平分N5C。,

AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AON1=N2,那么直线A3与。的位置关系如何?

>BD

A.0B.2C.4D.6

05.点A、B、C是直线/上的三点，点尸是直线/外一点，且必1=49，PB=

5cm,PC=&cm,则点尸到直线/的距离是（）

13.如图，推理填空:

A.4cmB.5cmC.小于4c/nD.不大于4c/n

（1）VZA=（已知）

06.将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则NAO3+NOOC

：.AC//ED()

(2)VZ2=（已知）

：.AC//ED()

(3)VZA+=180°(已知)

：.AB//FD.

14.如图，请你填上一个适当的条件..使AD//BC.

第6题图1第7题图第9题图

07.如图，矩形A5CZ）沿EF对折，且NOE歹=72°,则/AEG=.

08.在同一平面内，若直线密〃°2,。3〃。4,…则“1aio.（a1与”10B

不重合）第14题图

09.如图所示，直线0、&被直线c所截，现给出下列四个条件：①N1=N5,

②N1=N7,③N2+N3=180°,@Z4=Z7,其中能判断a〃匕的条件的

序号是.

10.在同一平面内两条直线的位置关系有

06.平面上三条直线相互间的交点的个数是（）

A.33.1或3C.1或2或3D.不一定是1,2,3

07.请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好

与另三条直线相交，并简单说明画法？

08.平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么

安排才能办到？

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01.平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）

A.1,3B.0,1,3C.0,2,3D.0,1,2,309.如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线A3、

02.平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平AC,那么两条对角线的夹角等于（）

面分成（）部分.A.60°B.75°C.90°

A.60B.55C.50D.45D.135°

03.平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6

个点之外，这些直线最多还有（）个交点.10.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足

A.35B.40C.45D.55下面的两个条件？

04.如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有⑴任意两条直线都有交点；

_______________交点.⑵总共有29个交点.

05.如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两第13讲平行线的性质及其应用

边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施考点•方法•破译

工队画出这条平行线，并证明你的正确性.1.掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联

系；

2.初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；

3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直

线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.

经典•考题•赏析

［例1］如图,四边形A5C。中，AB//CD,BC//AD,ZA=38°,求NA.50°B.55°C.60°D.65°

D

c的度数.03.施图，已知尸C〃A8〃OE,Z«：ND：N3=2:3:4,试求Na、NO、ZB

【解法指导】的度数.

两条直线平行,同位角相等；

两条直线平行,内错角相等；【例2】如图，已知AB//CD//EF,GC±CF,ZB=60°,ZEFC=45°,

两条直线平行,同旁内角互补.求N3CG的度数.

平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和

清截线，识别角的关系式关键.角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角

【解】："：AB//CDBC//AD的位置.

ZA+ZB=180°N3+NC=180。（两条直线平行，同旁内角互补）【解】,：AB//CD//EF：.ZB=ZBCDZF=Z

：.ZA=ZCVZA=38°AZC=38°FC。（两条直线平行，内错角相等）又•.•N3=60。NEFC=

45°AZBCD=60°ZFCD=45°又：GC_LC尸

【变式题组】：.ZGCF=90°（垂直定理）AZGCD=90°-45°=45°

01.如图，已知AO〃3C,点E在3。的延长线上，若NAZ>E=155。，贝!I/O5C:.ZBCG=60°-45°=15°

的度数为（）【变式题组】

01.如图，已知AF//BC,且A尸平分NEAB,ZB=48°,则NC的的度数=

02.如图，已知NA5C+NAC5=120°,BO、CO分另Ij/ABC、ZACB,OE过点

。与5c平行，贝JN3OC=

03.如图，已知A3〃MP〃CZ),MN平分NAM。，ZA=40°,ZZ>=50°,求

NNMP的度数.

02.(安徽)如图，直线//l2,Zl=55°,Z2=65°,则N3为()

【例3】如图，已知N1=N2,NC=ND.求证：ZA=ZF.

【解法指导】

因果转化，综合运用.

逆向思维：要证明NA=/尸，即要证明。下〃AC.【例4】如图，已知EG_L5C,ADA,BC,Z1=Z3.

要证明。尸〃AC,即要证明NO+N。3c=180°,求证：AO平分NA4C.

【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析\

即：ZC+ZDBC=180°；要证明NC+N。3c

条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论\

=180°即要证明Z>8〃EC.要证明OB〃EC即要

证明/1=/3.的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：L

证明：；Nl=/2,N2=N3（对顶角相等）所以N1=N3.•.Z>5〃EC（同Z1=Z3）

位角相等•两直线平行）••・NO5C+NC=180°（两直线平行，同旁内角互补）证明：'：EGLBC,AD±BCZEGC=ZADC=90°1

（垂直定义）...EGaAO（同位角相等，两条直线平行始二一户——《

VZC=Z£>：.ZDBC+ZD=180°，。尸〃AC（同旁内角，互补两直线平行）

.•.NA=NF（两直线平行，内错角相等）VZ1=Z3，/3=NBA。（两条直线平行，内错角相等）’

.•.4。平分/5AC（角平分线定义）

D._____________E_______F

［变式题组］7【变式题组】

01.如图，已知AC〃尸?//1=令_岁金〃尸Gc/

77/

/FG

（第1题图）

BE

AC

02.如图，已知Nl+N2=180°,Z3=ZB.求证：ZAED=ZACBA

A

02.如图，在△4BC中，CE±AB于E,DF±AB于F,AC//ED,CE平分N

ACB.求证：ZEDF=ZBDF.

R

03.如图，两平面镜a、//的夹角仇入射光线A。平行（第2题图）

于/?入射到a上，经两次反射后的出射光线03平行y/

于a,则角，等于_________.2*/

d

的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.

3.已知如图，AB//CD,ZB=40°,CN是NBCE的平分线.CM_LCN,求：Z结论：⑴⑵

BCM的度数.

(3)(4)

【例6】如图，已知，AB//CD,则Na、//?、Zy>之间的关系是

/4+々+4—/%180。A______________B

【解法指导】基本图形._________R才

【例5】已知，如图，AB//EF,求证：ZABC+ZBCF+ZCFE=360°p6zP=a+BE

善于从复杂的图形中找到基本图叫运用基本图形的规律扛五思虬专产

【解法指导】从考虑360。这个特殊角入手展开联想，分析类比，7

【解】过点作〃瓦加:点作：

联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.EE-4FFG//AB.'AB//EH\y.

过点C作。〃43即把已知条件b联系起来，这4Na=Nl（两直线平柠，内错角蝌）又•.•尸G〃4B:.EH"媒N

是关键.\行于同一条直线的两直线平行），/2=/3又：.R1S//

D

【证明】：过点C作CD//AB'：CD//ABAZl+Z___________L\CCD（平行于同一条直线的两直线平行）.••N“+N4=180。（两直线

ABC=180°y平行，同旁内角互补）.••Na+N7+N〃-N/=N1+N3+N4—“

4-Z1-Z2=Z4+y/=180°

（两直线平行，同旁内角互补）^'：AB//EF,：.CD//EF---------------------

'【变式题组】

（平行

于同一条直线的两直线平行）N2+NCFE=180。（两直线平行