2024-2025学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且AB=e1+2e2A.A、B、C三点共线 B.A、B、D三点共线

C.A、C、D三点共线 D.B、C、D三点共线2.在△ABC中，已知a=2，b=23，A=π6，则A.π6 B.π3 C.π6或5π6 3.已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′=2，B′C=1，则四边形ABCD的面积为(

)A.22 B.42 C.4.已知点M，两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，下列说法正确的是(

)A.若m//l，l//α，则m//α

B.若l//β，m//β，l⊂α，m⊂α，则α//β

C.若l//m，l⊂α，m⊂β，则α//β

D.若l//β，m//β，l⊂α，m⊂α，l∩m=M，则α//β5.如图，已知直角梯形ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AB=2AD=2CD=2，点F是CD中点，点E是线段BC靠近B点的三等分点，则AF⋅AE=(

)A.56

B.76

C.546.在△ABC中，已知b2+c2−bc=a2，且A.直角三角形 B.等腰直角三角形

C.有一个角为60°的直角三角形 D.等边三角形7.如图，在△ABC中，已知BD=12DC，AE=2EC，P是线段AD与的值为(

)A.37

B.67

C.1

8.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=22，∠ABC=90°，E，F分别是AA.11

B.7+22

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a，b，c满足a=(1,1)，b=(−1,2)，c=(2m,n−1)，则A.|a−b|=5 B.当b//c时，4m+n=1

C.当(2a+b10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是(

)A.若sinA>sinB，则A>B

B.若A=24°，b=5，a=3，则△ABC有两解

C.若AB⋅AC>0，则△ABC为锐角三角形

D.若a11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1A.PQ//平面ADD1A1

B.若Q，M，N，P四点共面，则λ=14

C.若λ=13，点F在侧面BB1C1C内，且A1F//平面APQ，则点F的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知三棱锥P−ABC，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，PA=PB=PC=1cm，则三棱锥P−ABC的外接球的体积是______cm3．13.如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30°，∠BDC=105°，CD=32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为______米.14.在△ABC中，AB=25，AC=210，∠BAC为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且PQ=2，若AP⋅AQ的最小值为3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a与b的夹角θ=3π4，且|a|=3，|b|=22．

(1)求a⋅b，16.(本小题15分)

如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，BC=2AD=2，∠DCB=60°，在平面ABCD内以过AB的直线l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积．17.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+3asinC−b−c=0．

(1)求A；

(2)若a=2，求18.(本小题17分)

如图已知四棱锥S−ABCD，底面ABCD为梯形，AD//BC，SA=AB=BC=2，AD=3，P、Q为侧棱SD上的点，且DP：PQ：QS=3：2：4，点M为SA上的点，且3AM=AS．

(1)求证：CP//平面SAB；

(2)求证：平面BMQ//平面ACP；

(3)平面BMQ与侧棱SC相交于点E，求SEEC19.(本小题17分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答：当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，|AB−AC|=|AB+AC|．

(1)求A；

(2)若b=1，c=2，且点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC参考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.B

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.313.48+1614.−15.解：(1)a⋅b=|a|⋅|b|cos<a，b>=3×22×cos3π4=−6，

|a+b|=16.解：由题意梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，BC=2AD=2，∠DCB=60°，

在平面ABCD内以过AB的直线l为轴旋转一周后形成的几何体为圆台．

上、下底面圆半径分别是1、2，圆台的高为3，母线长为2；

∴圆台的侧面积S1=π(1+2)×2=6π，

圆台的上下底面积S2=π⋅12+π⋅22=5π，17.解：(1)由acosC+3asin

C−b−c=0及正弦定理得：sinAcosC+3sinAsin

C−sinB−sinC=0，

因为B=π−A−C，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA，

所以3sinAsinC−cosAsinC−sinC=0．

由于sin

C≠0，

所以：3sinA=cosA+1

可得：sin(A−π6)=12．

又0<A<π，

故A=π3．

(2)由a=2，A=π3，及余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=b218.解：(1)证明：连接MP，

在三角形SAD中，因为SMSA=23=SPSD，所以MP//AD，且MP=23AD=2，

又因为AD//BC，BC=2，所以MP//BC且MP=BC，

所以四边形MPCB为平行四边形，所以CP//BM，

又因为BM⊂平面SAB，CP⊄平面SAB，

因此CP//平面SAB．

(2)证明：根据第一问得CP//BM，又因为CP⊄平面BMQ，BM⊂平面BMQ，

所以CP//平面BMQ，

在三角形SAD中，因为DP：PQ：QS=3：2：4，所以SQSP=23=SMSA，所以MQ//AP，

又因为AP⊄平面BMQ，MQ⊂平面BMQ，所以AP//平面BMQ，

又由于AP∩CP=P且AP，CP均在平面ACP中，

所以平面ACP//平面BMQ．

(3)根据第一问知BM//CP，又因为BM⊄面SCD，CP⊂面SCD，所以BM//平面SCD，

又因为BM⊂平面BMQ19.解：(1)∵|AB+AC|=|AB−AC|，则|AB+AC|2=|AB−AC|2，

∴AB2+2AB⋅AC+AC2=AB2−2AB⋅AC+AC2，

∴4AB⋅AC=0 ⇒AB⊥AC，故A=π2；

(2)若b=1，c=2，且点P为△ABC的费马点，

由(1