2025年广东广州市高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025届广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则的元素个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．12．已知复数满足，则的最小值为A．0 B．1 C．2 D．33．声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（

）A． B．C． D．4．的展开式中的系数为（

）A．24 B． C． D．5．已知，则（

）A． B． C．2 D．36．已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．一组成对样本数据的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中），由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则（

）A．若，则B．若，则成对数据的样本相关系数等于C．若，则成对数据的样本相关系数大于D．若，则成对数据的经验回归方程10．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（

）A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为4B．若直线被圆截得的弦长为2，则C．若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则D．存在，使圆上有三个点到的距离都为111．已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（

）A．是钝角三角形B．直线与平面所成角为定值C．三棱锥的体积的最大值为D．三棱锥的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若函数（，且）是偶函数，且，则.13．一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为.14．在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．设为数列的前项和，且是和8的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)令，数列的前项和为，证明：.16．如图，直四棱柱的底面是菱形，为锐角，分别为棱的中点，点在棱上，且，点在直线上.(1)证明：平面；(2)若直四棱柱的体积为，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求的长.17．已知函数（，且）.(1)若，直线与曲线和曲线都相切，求的值；(2)若，求的取值范围.18．已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）.（ⅰ）证明：；（ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程.19．设，集合（为向量），若，定义.(1)若，且，写出所有的；(2)若，且，设满足的的个数为，求的值；(3)从集合中任取两个不同的向量，记，求的分布列与数学期望.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】由题意可知，可求交集，进而可得结论.【详解】由，可得，所以.故的元素个数为3.故选：B.2．B【详解】分析：设，根据，可得的轨迹方程，代入，即可得出．详解：设，，∴，∴，∴，则==≥．当时取等号．故选：B．点睛：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．C【分析】依题意可得，即可求出的范围，从而得解.【详解】依题意可得，所以，所以，所以，即轻柔音乐的声强级范围是.故选：C4．D【分析】求出展开式的通项，即可求出的系数.【详解】因为展开式的通项为，所以的系数为．故答案为：.5．A【分析】根据角的范围利用二倍角公式将表达式化简计算可得，即求出结果.【详解】由可得，所以，又易知，因此可得，即可得，所以，解得.故选：A6．B【分析】当时，对函数求导，对参数的取值进行分类讨论，大致画出分段函数的图象，再由数形结合即可得出实数的取值范围.【详解】易知当时，函数单调递增，且;当时，函数，易知,显然当时，恒成立，即在上单调递增；当时，；当时，，此时函数的图象大致如下图所示：

若函数恰有2个零点，即函数的图象与有两个交点，由上图可知；当时，根据对勾函数性质可知，当且仅当时，等号成立；此时其图象大致如下图：

显然函数的图象与没有交点，不合题意；综上可知，实数的取值范围是.故选：B7．D【分析】设，利用椭圆的定义可得，在，中，由余弦定理可得，可求离心率.【详解】由题意作出图形如图所示：

设，又，所以，又，，所以，所以，又因为，所以，解得，所以，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，因为，所以，整理得，所以，解得.故选：D.8．B【分析】题可得极值点满足或，由此画出图象，可得极值点个数，进而可得，据此可得答案.【详解】，则或.如图，画出图象，结合图象可知在两侧附近正负相反，可得极值点有8个.则互为相反数，因，则，又注意到，则.故选：B9．ABD【分析】根据相关系数的意义判断ABC，利用线性回归方程的求法判断D.【详解】当时，变量正相关，所以，故A正确；因为，所以成对数据对应点相当于把成对数据对应的点向下平移2个单位，不改变变量的相关性，故B正确；因为，则成对数据对应点相当于把成对数据对应的点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，故变量间的相关性不变，故C错误；当，由可知，新的回归直线方程中斜率变为，，则成对数据的经验回归方程，故D正确.故选：ABD10．BC【分析】A项，利用勾股定理写出的表达式，即可求出的最小值；B项，求出直线的解析式，得出圆的位置，即可得出结论；C项，根据圆上有且只有两个点到的距离，得出圆心到直线的距离小于直径，结合距离公式即可得出结论；D项，由几何知识即可得出结论.【详解】由题意，的三个顶点坐标分别为，，在圆中，，半径，A项，过作圆的切线，切点为，如图所示，∴,在中，由勾股定理得，∴∴当时，取最小值，，故A错误；B项，重心坐标即,所在直线，即线段的中点,∴的垂直平分线为：，同理可得，的垂直平分线为：，，解得：，∴外心由几何知识得，垂心与外心重合，∴过和，，即，直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，∴直线过圆心，∴，即，B正确；C项，圆上有且只有两个点到的距离都为1，∴圆心到直线即的距离小于直径.∴，解得：，故C正确；D项，由几何知识得，圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误；故选：BC.11．ABD【分析】根据题意可得固定平面，求出各线段长度，结合圆内接四边形可求得，即A正确，利用线面角定义作出其平面角可得B正确，由三棱锥锥体体积公式计算可得可判断C错误，求得三棱锥的外接球的球心位置和半径即可求得D正确.【详解】如下图所示：易知，由可得；固定平面，由二面角的大小为可知为一个与平面夹角为的平面与的交点（在的右侧），如图中过平面的虚线形成的劣弧所示：取的中点为，作平面，则有，又易知，如下图所示：在劣弧上运动，对于A，易知，因此可得是钝角三角形，即A正确；对于B，设直线与平面所成的角为，则，为定值，即B正确；对于C，作，易知三棱锥的体积的最大值为，即C错误；对于D，设三棱锥的外接球的球心为，如下图：由于是的外心，则平面，因此三点共线，设，在中由勾股定理可得，解得；因此三棱锥的外接球的表面积为，即D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题目条件固定平面，再根据二面角大小求得线段长度得出点轨迹，再结合线面角、外接球等进行计算即可.12．【分析】利用偶函数的定义可求得，进而可得，计算可求得的值.【详解】因为是偶函数，则，可得，所以，所以或，则（舍去）或，所以，又，所以，所以，又，解得.故答案为：.13．【分析】求得总的取法数，进而求得符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解.【详解】每次均有4种不同的取法，故总的取法数有种，这列数中恰有3个不同整数，则必有一个数取了2次，故这列数中恰有3个不同整数的取法数有种，故这列数中恰有3个不同整数的概率为.故答案为：.14．【分析】如图建立直角坐标系，设AC，BD交点为E，由的面积是的面积的2倍可得E坐标，然后由B，E，D三点共线结合可得B点坐标，即可得答案.【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴，以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系.又则.过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则.又注意到，则.设，则，则.注意到B，E，D三点共线，则，则.又则或，又由图可得，则.则.故答案为：

15．(1)(2)证明见解析【分析】（1）解法1：由题意可求得，当时，求得，当时，，可得，可求通项公式；解法2：由题意可得，先求得前几项，猜想通项公式，再利用数学归纳法证明即可；（2）由题意可得，可求得，可证结论.【详解】（1）解法1：因为是和8的等差中项，所以，即.①当时，，得.当时，，②①－②得，得，即.所以数列是以首项为8，公比为2的等比数列.所以.解法2：因为是和8的等差中项，所以，即.当时，，得.当时，，得.当时，，得.猜想：.（下面用数学归纳法证明）1当时，可知猜想成立，2假设时，猜想成立，即，依题意，得，得，又，得，则，得.即当时，猜想也成立.由1，2可知猜想成立，即.（2）因为，得，所以.由于，得，得，所以.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，进而可证四边形是平行四边形，可得，由已知可证，可得，可证结论；（2）解法1：由已知可求得，分别以直线为轴，以的边上的高线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量，利用向量法可求得线面角的正弦的最大值，进而求得的长.解法2：由已知可求得，连接，设，连接，设，以为原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量，利用向量法可求得线面角的正弦的最大值，进而求得的长.解法3：由已知可求得，由（1）知平面且点在直线上，，过作，交的延长线于点，连接，结合余弦定理求解即可.【详解】（1）取的中点，连接，因为为的中点，所以，且.又，且，则，且.所以四边形是平行四边形.所以.因为，则为的中点.又为的中点，则所以.因为平面平面，所以平面.（2）解法1：由于直四棱柱的体积为，得，得，由于为锐角，则.分别以直线为轴，以的边上的高线为轴，建立空间直角坐标系.则，，设，，设平面的法向量为，直线与平面所成角为，由，即，取，则平面的一个法向量为.则.当时，取得最大值.此时.所以的长为.解法2：由于直四棱柱的体积为，得，得，由于为锐角，则.连接，设，连接，设，以为原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系.则，.设，即，则.设平面的法向量为，直线与平面所成角为，由，即，令，则，则平面的一个法向量为，,为，则.当时，取得最大值.此时.所以的长为.解法3：由于直四棱柱的体积为，得，得，由于为锐角，则.由（1）知平面且点在直线上，则点到平面的距离为定值.设直线与平面所成角为，则.当最小时，取得最大值.如图，过作，交的延长线于点，连接，由于，，则平面.又平面，则.则为所求.在中，.，在中，.17．(1)8(2)【分析】（1）解法1：设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的意可求得，进而求得切线方程，联立切线与，利用可求解；解法2：设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的意可求得，进而求得切线方程，设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的几何意义可求解；（2）解法1：当时，计算可得，不符合题意，当时，由题意可得，令，利用导数可求得的最小值，可求解.解法2：由题意可得，令，利用导数求得的最小值即可.【详解】（1）解法1：设直线与曲线的切点坐标为，由于，则，解得，则切点坐标为.直线，即.由得，由，解得或（舍去），当时，得，符合题意，所以.解法2：设直线与曲线的切点坐标为，由于，则，解得，则切点坐标为.直线，即.当时，函数的定义域为，设直线与曲线的切点坐标为，由，得，得.得，即，则.解得.（2）解法1：①当时，则函数的定义域为.由于，则，不符合题意.所以不符合题意.②当时，则函数的定义域为.显然.当时，由，得，即.令，则.当时，在上单调递减，当时，在上单调递增.则当时，取得最小值，其值为.则，即.综上所述，的取值范围为.解法2：当时，由，得，即，得.令，则.当时，在上单调递减，当时，在上单调递增.则当时，取得最小值，其值为.则，即.综上所述，的取值范围为.18．(1)(2)（i）证明见解析；（ii），【分析】（1）由点到直线距离公式结合题意可得，据此可得答案；（2）（ⅰ）设切线的方程为，由圆心到切线的距离，可得，再将切线方程与双曲线方程联立，由韦达定理结合可得，据此可完成证明；（ⅱ）方法1，注意到，由（ⅰ）可得，据此可得答案；方法2，设切线与圆的切点为，则可得，据此可得答案；方法3，由题可得，又设切线与圆的切点为，由，结合，可得，由基本不等式可得，据此可得答案.【详解】（1）解：由于双曲线的右焦点为，所以.双曲线的渐近线方程为，即为，由于点到的一条渐近线的距离为，则.解得所以的方程为.（2）（ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在，设切线的方程为，由于切线不平行的渐近线，则.由圆心到切线的距离，得.由消去得，由题意知.设，则，而.则，则.所以，即.（ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.则的面积.设切线与圆的切点为，则，.由（ⅰ）得，又，则.当时，.此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.得点的坐标为，所以直线的方程为，直线的方程为.解法2：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.则的面积.设切线与圆的切点为，则.在中，，在中，，则，当时，，即的面积的最小值为3.此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.得点的坐标为，所以直线的方程为，直线的方程为.解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.则的面积.设切线与圆的切点为，则.在中，，在中，，由于，则，根据基本不等式得，得，则，即的面积的最小值为3.当且仅当等号成立，根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.得点的坐标为，所以直线的方程为，直线的方程为.

19．(1)(2)，，(3)分布列见解析，【分析】（1）设设，，，根据定义列方程求，由此可得结论；（2）方法一：根据定义，由条件可得，由二项式