2025年山东日照高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页参照秘密级管理★启用前试卷类型：A2022级高三校际联合考试数学2025.4考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（

）A．1 B．-1 C．2 D．-23．“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知一组样本数据，，，，恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为（

）A．30 B．40 C．50 D．605．如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．6．将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（

）A．30种 B．60种 C．90种 D．180种7．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（

）A．20 B．21 C．22 D．23二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知样本空间，其中每个样本点出现的可能性相等，事件，，，则下列结论正确的是（

）A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C相互独立C． D．10．已知函数，则（

）A．是偶函数 B．的最小正周期是πC．的值域为 D．在上单调递增11．在三棱锥中，是边长为的正三角形，，P为其表面上一点，记点与四个顶点的距离分别为，则下列结论正确的是（

）A．该三棱锥的外接球的表面积为B．若，，则点P存在且唯一C．若，则的最小值为D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则．13．已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为．14．定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．记的内角的对边分别为，已知(1)求；(2)设的中点为，若，求的面积．16．如图，在三棱柱中，，，，，．(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值．17．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若方程有3个不同的实数解，求a的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E．（ⅰ）证明：；（ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由．19．设，数对按照如下方式生成：①规定；②抛掷一枚质地均匀的硬币，当硬币正面朝上时，，；当硬币反面朝上时，，(1)写出数对的所有可能结果；(2)当时，记的概率为．（ⅰ）求及的最大值；（ⅱ）设的数学期望为，求．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】解一元二次不等式求出集合B，再求交集即可.【详解】易知，解之得，即，所以.故选：A2．D【分析】先化简复数，再由复数的几何意义即可得出答案.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，所以.故选：D.3．A【分析】根据对数函数的单调性和条件的判断方法进行判断.【详解】因为函数在单调递增，所以等价于，所以“”是“”的充要条件.故选：A4．C【分析】根据等差数列的性质及平均值求法得均值为，再应用方差公式求方差即可.【详解】由题设，所以.故选：C5．C【分析】由题意，结合图形，易得，且，设，求出，由的两种表示式整理得到，从而建立不等式，解之即得.【详解】设依题意，，因点P落在阴影部分（不含边界），且，易得，且，由，可得，由，又，故可得：，即，因，则，即，由，可得，整理得：，因，故得，即；由，可得，整理得：显然成立.综上分析，可得.故选：C.6．A【分析】利用分步计数原理和组合数计算.【详解】先从5名志愿者选2名参加卫生项目，有种，再在剩下的3人中选2人参加宣传项目，有种，剩下的1名志愿者参加审计项目，所以共有种分配方案.故选：A7．D【分析】当时，单调递增，所以值域为：，由分段函数的值域为R，所以当时，的取值包含的每一个取值，求解参数a的取值范围即可.【详解】因为函数，当时，单调递增，所以值域为：，要使得分段函数的值域为R，则当时，的取值包含的每一个取值，所以，解得，故选：D8．B【分析】根据已知列举出的项，再根据数列构成求、，即可得.【详解】由题设，数列各项依次为，当时，，当时，，所以成立的n的最小值为21.故选：B9．BD【分析】根据已知及互斥事件定义判断A；由已知得、，根据独立事件的判定、条件概率公式判断B、C、D.【详解】由，即不是互斥事件，A错；由，则且，故，B对；由，则，且，显然，C错；由，则，故，D对.故选：BD10．AC【分析】利用奇偶性定义判断A；由奇偶对称性，只需写出上解析式，画出部分图象分析判断B、C、D即可.【详解】函数的定义域为R，且，所以是偶函数，A对；在上，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，函数部分图象如下(注意偶函数的对称性)，

由图知，所以的最小正周期为，值域为，B错、C对；由且，结合图知在上不单调，D错.故选：AC11．ACD【分析】A：通过正方体外接球即可判断；B：找出线段的中垂面与线段的中垂面的交线与表面的交点即可；C：确定满足的点的轨迹是以为焦点的椭球面与三棱锥的表面的截线，然后判定线段与椭球面必有交点，即可得到最小值为，从而判断C正确；D：建立空间坐标系，设，确定满足的条件，用可以表示四个距离的平方和，由对称性只需讨论点在面内和在面内两种情况，利用配方法和不等式方法可求最小值，然后比较得到总得最小值，从而判定D正确.【详解】

由，△ABC是边长为的正三角形，结合勾股定理易知两两垂直，所以该三棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，易知球的直径为，所以外接球的表面积为，A正确；因，则为线段的中垂面与线段的中垂面的交线与表面的交点，如图，

有两个点，故B错误；对于C：取的中点，易得,设点在面上，，故点在以为焦点，2为长轴长的椭圆上，.而，故点在椭圆外，在空间中将该椭圆绕旋转一周得到椭球面，则椭球面上任一点都，由于点必须是三棱锥的表面上的一点，所以点的轨迹是上述椭球面与该三棱锥的表面的截线.而，故点在椭球面内，因为，所以也在椭球面外，因此线段与椭球面必有2个不同交点，两点中的任意一点到的距离之和都等于，根据两点之间线段距离最短，其余的点到的距离之和都大于，故的最小值为，故C正确；如图建立空间直角坐标系，则，设，则.①若点在坐标平面上，由对称性，不妨设平面，则，，此时，当且仅当时取等号；

②若点平面，平面的法向量为，由得，且，消去整理得因，则，当且仅当时取等号.综上，，故D正确.故选：ACD12．【详解】试题分析：或，．考点：（1）同角三角函数的基本关系（2）二倍角公式13．8【分析】由两圆内切可以判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值.【详解】如图，设以为直径的圆的圆心为，，因为两圆内切，所以，又为的中位线，所以，所以，所以的轨迹为以，为焦点的椭圆，，，显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大，最大值为.故答案为：814．【分析】先求出在区间的单调性，再结合K-条件的定义进行分析，从而求K的取值范围，即可求出K的最小值.【详解】因为，令，，当时，，所以在上单调递减，又因为，所以在上恒成立，所以，则在上单调递增，设，所以，若函数在区间上满足K-条件因此对任意恒成立，所以对任意恒成立，则对任意恒成立，令，所以在上单调递减，在恒成立，所以，又因为在上单调递减，.所以，所以K的最小值为.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解即可；（2）利用和和向量数量积的运算律联立解出和，再根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）因为的内角的对边分别为，，所以由正弦定理边化角可得①，又因为中，所以②，将②式代入①式可得，因为，，所以，即，因为，所以，.（2）因为为中点，，所以③，④，③④联立解得，，所以，的面积.16．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由已知得，应用线面垂直的判定证明面，再由面面垂直的判定证明结论；（2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，根据线面角的正弦值及向量法求得，进而确定相关向量的具体坐标，最后应用向量法求面面角的余弦值.【详解】（1）在中，，，则，所以，则，由，都在面内，则面，又面，所以面面；（2）由（1）及，即两两垂直，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图示，设，由（1），则，所以，若是面的一个法向量，则，取，则，设直线与面所成角为，则，所以，则，在中，则，若是面的一个法向量，则，取，则，设面与面所成角为，则.17．(1)(2)【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，确定每种情况下函数的零点个数，并结合零点存在定理可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，的定义域为，所以，，又因为，所以切点为，所以曲线在点处的切线方程为：，化简可得：.（2）令，函数的定义域为，．①当时，，函数在区间上单调递减，函数至多一个零点，不合题意；②当时，设函数，，当时，，即对任意的恒成立，即，所以函数在区间上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；当时，因为，所以方程有两个实数根、，且满足，，不妨设，则，、的情况如下：增极大值减极小值增所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是．因为，所以为的一个零点．又，，且，所以存在唯一实数，使得．又，，且，所以存在唯一实数，使得．所以函数有个不同的零点，方程有3个不同的实数解，综上，的取值范围为．18．(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）存在，4条.【分析】（1）根据已知有点在抛物线上，代入抛物线求参数，即可得方程；（2）（i）设，，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，导数的几何意义求点处切线方程，且，进而得到、，易得，即可证；（ii）连接，由（i）得，则有四边形为平行四边形，再由且，结合已知及导数研究根的个数，即可得.【详解】（1）当直线轴时，则点在抛物线上，故，所以抛物线方程为；（2）（i）由题设，直线的斜率存在且不为0，设，则斜率，若，，联立，得，所以，，由，则，故点处切线斜率为，所以对应切线方程为，令，故，由，令，则，故，所以，所以，即，所以；（ii）连接，由（i）得，，则，又，所以轴，即四边形为平行四边形，所以，若四边形的面积为，则，整理得，令且，则，令，则，故在上单调递增，又，所以使，在上，在上单调递减，在上，在上单调递增，而，，存在使，所以在上有两个零点，为和，即在上有2个不同根，由对称性，四边形的面积为的直线共有4条.19．(1)答案见解析；(2)①，最大值为；②.【分析】（1）写出所有抛掷结果即可得到答案；（2）①分析计算得，再构造等比数列即可得到和其最值；②分析得，再分类讨论和的情况即可.【详解】（1）当抛郑两次硬币结果为（正，正）时，；当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，；当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，；当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，．（2）易知当时，；