山东滨州惠民县2023-2024学年高一下学期期中阶段性质量检测数学试题（解析版）

第页，共页2023—2024学年第二学期阶段性质量检测高一数学学科注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由复数乘除法运算化简，然后由复数的几何意义判断即可.【详解】，则其在复平面内对应点的坐标为，位于第三象限.故选:C.2.已知向量，，那么向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量共线的充要条件计算即可判断.【详解】向量，，则存在，使得故只有向量符合.故选：A.3.如图，向量，，，则向量可以表示为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解.【详解】由题图可知，.故选：C.4.已知点A∈直线l，又A∈平面，则（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系判断．详解】点A∈直线l，又A∈平面，则与平面至少有一个公共点，所以或．故选：D．5.如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根据正弦定理求解即可【详解】因为，故，由正弦定理，，故m故选：D6.的斜二测直观图如图所示，则的面积是（）A. B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则，求出的底边及这边上的高即可计算得解.【详解】依题意，由斜二测画法规则知，的底边，边上的高，所以的面积是.故选：D7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面，又因为平面平面，，且平面，所以平面，所以①正确；对于②中，由平面，且平面，可得，又因为，且，平面，所以平面，所以②正确；对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确；对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面ABC=AB，可得平面，又因为平面，所以，因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误.故选：C.8.某圆柱的轴截面是面积为12的正方形为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，平面与球的交线长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件知当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，作出图形后，计算即可.【详解】由题意知，当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，因为正方形的面积为12，所以，如图1，记所在底面的圆心为所在底面的圆心为，平面与球的交线为圆形，如图即为截面圆的直径，易知，易知RtRt，故，所以，所以交线长为.故选:D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，，.则下列选项中正确的有（）A. B.C. D.在复数范围内，为方程的根【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，结合复数模、共轭复数及复数的乘法逐项计算判断.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，都是虚数，不能比较大小，C错误；对于D，由，得在复数范围内，为方程的根，D正确.故选：ABD10.已知正方体，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则下列说法正确的是（）A.不存在点，使平面B.三棱锥的体积为定值C.直线与直线的夹角为定角D.平面截正方体所得的截面是有一组对边平行的四边形【答案】BCD【解析】【分析】根据线面平行、锥体体积、线线角、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，连接，则是的中点，连接交内切圆于，由于平面，平面，所以平面，也即平面，所以A选项错误.B选项，由于三角形的面积为定值，到平面的距离是定值，也即到平面的距离为定值，所以为定值，B选项正确.C选项，设正方形的中心为，则平面，由于平面，所以，所以在以为轴，为母线的圆锥的底面圆的圆上，所以与所成角为定值，也即直线与直线的夹角为定角，C选项正确.D选项，由于平面平面，平面平面，设平面平面，根据面面平行的性质定理可知，所以D选项正确.故选：BCD11.a、b、c为ABC的三边，下列条件能判定ABC为等腰直角三角形为（）A.且B.C.且D.:sinB:sinC=：：【答案】ACD【解析】【分析】A选项通过向量的平行四边形法则以及向量垂直即可判断；B、C、D选项借助正弦定理以及三角恒等变换进行判断.【详解】A选项：分别为方向上的单位向量，设为的角平分线，按照平行四边形法则知与共线，又，说明，即的角平分线与垂直，故ABC为等腰三角形，又，两边平方得，即，故，即ABC为等腰直角三角形，A正确；B选项：，由正弦定理得，即，可得或，即ABC为等腰或直角三角形，B错误；C选项：，由正弦定理得，即，可得，，又，即，，由正弦定理得，即，故，即ABC为等腰直角三角形，C正确；D选项：由正弦定理得，可得，即ABC为等腰直角三角形，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度，其中小雨､中雨､大雨､暴雨，勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？__________.【答案】中雨【解析】【分析】先利用圆锥的体积公式求得水的体积，再利用圆柱的体积公式求得高即可.【详解】解：由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，积水厚度，这天降雨属于中雨.故答案为：中雨.13.已知向量，其中，且，则向量与的夹角等于____；【答案】##120°【解析】【分析】利用夹角公式求出向量与的夹角.【详解】因为，所以，即，所以，所以.而，所以，因为，所以.故答案为：14.如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，则当时，函数的值域__________．【答案】【解析】【分析】根据已知条件，所得截面可能是三角形，也可能是六边形，分别求出三角形与六边形周长的取值情况，即可得到函数的值域.【详解】如图：∵正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为6，∵（i）当x=1或时，三角形的周长最小.设截面正三角形的边长为，由等体积法得：∴∴，（ii）x=2或时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为26∴（iii）当时，截面六边形的周长都为∴∴当时，函数y=f(x【点睛】本题考查多面体表面的截面问题和线面垂直，关键在于结合图形分析截面的三种情况，进而得出与截面边长的关系.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设复数．（1）若是实数，求；（2）若是纯虚数，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得.（2）利用复数除法及复数的分类求出即得.小问1详解】由，得，而是实数，于是，解得，所以．【小问2详解】依题意，是纯虚数，因此，解得，所以．16.如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点.（1）若，则的值（2）若为中点，连接，交于点，求证.【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系利用向量的坐标表示联立方程组解得；（2）利用三点共线求出，即得.【小问1详解】如下图，以点为坐标原点，分别以方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，则，由可得，即，解得，因此；【小问2详解】易知F0,1，设P易知三点共线，可得，即，可得，即，又三点共线，且，所以，解得，则，所以，，易知；即可得.17.在锐角中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且的外接圆半径为．（1）求角C；（2）求AB边上的高h．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦二倍角公式化简即可求解结果；（2）由正弦定理解得，再由余弦定理得，结合面积公式即可求解高h．【小问1详解】由得则，因为，则，；【小问2详解】由正弦定理得，所以由余弦定理得，又，所以；由，得．18.（1）已知直线a，b，平面满足：，，，求证：（2）已知直线a，b，平面，满足：，，，求证：（3）如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形，其中，将图形沿AB、CD折起使得点E、F重合于点P，如图利用（1）（2）问的结论判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）平行，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意利用反证法，假设直线a与平面不平行，由此进行证明假设不成立，即可得到（2）利用直线与平面平行的定义证明a与b没有公共点，利用直线与直线平行的定义证明a与b是同一个平面内没有公共点的两条直线，由此即可得到（3）利用直线与平面平行的判定证明平面PCD，利用直线与平面平行的性质证明平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD平行．【详解】（1）证明：如图所示，（反证法）假设直线a与平面不平行，由于，则a与相交，设，若点上，则，这与矛盾，若点上，则a与b是异面直线，这与相矛盾，故假设不成立，原命题正确，即（2）证明：，，即，与b没有公共点，又，b⊂β与b是同一个平面内没有公共点的两条直线，（3）平面PAB和平面PCD的交线l//平面ABCD如图，，平面PCD，平面PCD，平面PCD，平面PAB，平面平面，，平面ABCD，l⊂平面ABCD，平面19.在中，向量等式或，沟通了几何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性