安徽省部分示范高中2025届高三第三次联考数学试卷

第页四川天地人教育资料出品安徽省部分示范高中2025届高三第三次联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．[2025届·安徽·三模联考]已知集合,,若,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.1．答案：D解析：由题意,因为,即集合A是集合B的子集,所以.故选:D.2．[2025届·安徽·三模联考]在复平面内,复数z与对应的点关于实轴对称,则()A. B. C. D.2．答案：B解析：由可得,故,故选:B.3．[2025届·安徽·三模联考]函数.若存在,使得为奇函数,则实数的值可以是()A. B. C. D.3．答案：C解析：函数的定义域为R,,存在,函数为奇函数,则或,当时,为奇函数,则函数是偶函数,于是,,解得,,当时,,C符合,ABD不符合;当时,,,此时或,当且仅当时为奇函数,与矛盾,所以实数的值可以是.故选:C4．[2025届·安徽·三模联考]现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里,每个盒子至少放2个小球,则不同的放法共有()A.24种 B.35种 C.56种 D.70种4．答案：B解析：先在每个盒子中分别放入一个小球则剩余8个小球,只需保证4个盒子中分别再放入至少1个小球,则采用隔板法可得有种放法.故选择:B5．[2025届·安徽·三模联考]已知a,b是正实数,若函数对任意恒成立,则的最大值为()A. B. C.1 D.e5．答案：C解析：由题意可知,为增函数,为减函数,且零点分别为,,因对任意恒成立,则函数与有相同的零点,则,即,则,当且仅当,即,时取等号,则的最大值为1.故选:C.6．[2025届·安徽·三模联考]若函数是减函数,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.6．答案：B解析：由题意得,函数定义域为.,,且,,则,,,解得,当时,,,不合题意,a的取值范围是.故选:B.7．[2025届·安徽·三模联考]设等差数列的前n项和为,且,,将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列,则()A. B. C. D.7．答案：A解析：因为,,当时,则,两式相减得,整理可得,且,则,可得,即,可知等差数列的公差,当时,则,解得;所以,可知数列为正奇数列,对于数列,当时,可得为偶数;当时,可得为奇数;所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为,则,所以.故选:A.8．[2025届·安徽·三模联考]已知抛物线的焦点为F,准线与x轴交于点P,直线l过焦点F且与C交于A,B两点,若直线的斜率为,则()A.1 B.2 C.4 D.88．答案：C解析：抛物线的焦点,准线,过A作准线的垂线,垂足为,作轴于D,由直线的斜率为,得,而,,则,设点,,令,,于是,解得,同理,因此,当为钝角时,同理求得,所以.故选:C二、多项选择题9．[2025届·安徽·三模联考]已知,样本数据,,,,,,则()A.的平均数一定等于的平均数 B.的中位数一定小于的中位数C.的极差一定大于的极差 D.的方差一定小于的方差9．答案：AC解析：对,分别求平均数,均为,故A正确;的中位数为,的中位数为,大小关系不确定,不妨设原数据为:1,2.5,3,中位数为2.5,则新数据为:1.75,2.75,2,中位数为2,故B错误;的极差为,的极差为,故C正确;由,且和的平均数相等,从而,故D错误.故选:AC.10．[2025届·安徽·三模联考]已知函数,则下列说法正确的是()A.的周期为B.的图象关于对称C.在上恰有3个零点D.若在上单调递增,则的最大值为10．答案：BD解析：①当时,,②当时,,③当时,④当时,,因此,,所以函数的图象,如图所示:A选项:因为,故A不正确;B选项:因为,所以的图象关于对称,故B正确;C选项:由的函数解析式以及函数图像可知:当时,,当时,,当时,,所以在上有无数个零点,故C错误;D选项:由,,得,因为在上单调递增,所以由的图象可知,解得,则的最大值为,故D正确;故选:BD.11．[2025届·安徽·三模联考]设,函数,则()A.有两个极值点B.若,则当时,C.若有3个零点,则a的取值范围是D.若存在s,,满足,则11．答案：BCD解析：对于A选项,,当时,,单调递增,无极值点;当时,得或,,得,则在和上单调递增,在上单调递减,此时有两个极值点,故A选项错误;对于B选项,当,时,由上述知,在上单调递增,在上单调递减,则,故B选项正确;对于C选项,当时,单调递增,至多只有一个零点,不合题意;当时,若有3个零点,则由单调性可知必然有,解得.而当时,,,在区间,,中分别各有一个零点,故C选项正确;对于D选项,,等价于或,,故D选项正确.故选:BCD三、填空题12．[2025届·安徽·三模联考]已知具有线性相关性的变量x,y,设其样本点为,经验回归方程为,若,,则________.12．答案：8解析：由题意可得:,,可知经验回归方程为过样本中心点,则,可得.故答案为:8.13．[2025届·安徽·三模联考]在三棱锥中,平面,若,且,则三棱锥的体积的最大值为________.13．答案：/解析：在三棱锥中,平面,,设,,则,以线段的中点O为原点,直线为x轴建立平面直角坐标系,则,,设,由,得,整理得,点C在以为圆心,为半径的圆上,则点C到直线距离的最大值为,面积的最大值为,三棱锥体积的最大值为,设,,求导得,当时,;当时,,函数在上递增,在上递减,因此,所以三棱锥体积的最大值为.故答案为:14．[2025届·安徽·三模联考]已知,分别为双曲线（,）的左、右焦点,过的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（其中A在第一象限）,的内切圆半径为,的内切圆半径为,若,则直线l的斜率为________.14．答案：解析：设的内切圆的圆心为,的内切圆的圆心为,记边,,上的切点分别为P,M,,由切线的性质可得:,,,由双曲线定义可得:,即,则,又.则,又,则,即.同理可得,的内切圆也与轴相切于点.连接,则与x轴垂直,设圆与l相切于点N,连接,,过点作,记垂足为R,则,.设直线倾斜角为,则.在四边形中,注意到,又四边形内角和为,则,在中,,,则,则直线斜率,即.故答案为:.四、解答题15．[2025届·安徽·三模联考]两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个,现设计一个抽球游戏,规则如下:先从第一个箱子中随机抽一个小球,抽后放回,记抽中黑球得4分,抽中白球得分,且抽中黑球的概率为;再从第二个箱子中随机抽一个小球,抽后放回,记抽中黑球得1分,抽中白球得3分,且抽中黑球的概率为.记一次游戏后,得分总和为X分.（1）求X的分布列和数学期望;（2）若有3人玩该游戏各一次,求恰有2人游戏得分不低于4分的概率.15．答案：（1）分布列见解析,（2）解析：（1）由题知,X可能取的值为2,4,5,7.,,,,X的分布列为:X2457P故.（2）由（1）知,得分不低于4分和低于4分的概率均为故3人玩该游戏各一次恰有2人游戏得分不低于4分的概率为.16．[2025届·安徽·三模联考]已知函数.（1）当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;（2）若不等式恒成立,求a的取值范围.16．答案：（1）（2）解析：（1）,,.,∴切点坐标为,函数在点(1,f（1）处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,,所求三角形面积为.（2）［方法一］:通性通法,,且.设,则在上单调递增,即在上单调递增,当时,,,成立.当时,,,,存在唯一,使得,且当时,当时,,,因此>1,,恒成立;当时,,,不是恒成立.综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).［方法二］【最优解】:同构由得,即,而,所以.令,则,所以在R上单调递增.由,可知,所以,所以.令,则.所以当时,,单调递增;当时,,单调递减.所以,则,即.所以a的取值范围为.［方法三］:换元同构由题意知,,令,所以,所以.于是.由于,,而在时为增函数,故,即,分离参数后有.令,所以.当时,,单调递增;当时,单调递减.所以当时,取得最大值为.所以.［方法四］:因为定义域为,且,所以,即.令,则,所以在区间内单调递增.因为,所以时,有,即.下面证明当时,恒成立.令,只需证当时,恒成立.因为,所以在区间内单调递增,则.因此要证明时,恒成立,只需证明即可.由,得.上面两个不等式两边相加可得,故时,恒成立.当时,因为,显然不满足恒成立.所以a的取值范围为.17．[2025届·安徽·三模联考]如图,在四棱锥中,底面,,,,侧棱与底面所成的角为,且,.（1）求;（2）求平面与平面夹角的余弦值.17．答案：（1）2（2）解析：（1）因为平面,平面所以,又,,,平面,所以平面,又平面,所以,因为平面,所以在平面上的射影为,所以为直线与底面所成的角,因为与底面所成的角为,所以,又,所以,设,因为,,,所以,,又,故,则,因为因为平面,平面所以,所以,所以,解得或（舍去）,故.（2）以C为坐标原点,、分别为x、y轴的正方向,过C作垂直于平面的直线为z轴,如图建立空间直角坐标系,则,,,,则,,设平面的法向量为,,令,得,,则为平面的一个法向量,设平面的法向量为,,令,可得,,得为平面的一个法向量,设平面与平面的夹角为,则.所以平面与平面夹角的余弦值为.18．[2025届·安徽·三模联考]在平面直角坐标系中,点和是中心为坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆E上的两点.（1）求椭圆E的标准方程;（2）若P为椭圆E上任意一点,以点P为圆心,为半径的圆与圆的公共弦为.证明:的面积为定值,并求出该定值.18．答案：（1）（2）证明见解析,定值为2解析：（1）设椭圆E的方程为,由题意知:,,解得,所以椭圆E的方程为.（2）设,则,且圆P的方程为,即圆P的方程为.因为圆C的方程为,将圆P的方程与圆C的方程作差得,所以的方程为,点到直线的距离,又因为,所以的面积为为定值.19．[2025届·安徽·三模联考]已知无穷数列满足以下条件:①,当时,;②若存在某项,则必有,使得（且）.（1）若,写出所有满足条件的;（2）若,证明:数列为等差数列;（3）设,求正整数k的最小值.19．答案：（1）满足条件的可能为2,0,4,（2）证明见解析（3）3035解析：（1）由题意,当时,,,或,或,,,①若,则或;②若,则或;综上所述,满足条件的可能为;（2）先证当正整数时,,,,…,是以2为首项,2为公差的等差数列,且,①由（1）得,或,又,,当时,,是以