高中数学排列数教案

高中数学排列数教案第一章教学目标与教学内容

1.确定教学目标

高中数学排列数的教学目标是使学生理解排列数的概念、性质及其应用，能够熟练地计算排列数，并运用排列数解决实际问题。具体包括以下方面：

-掌握排列数的定义及性质

-学会排列数的计算方法

-能够运用排列数解决实际问题

2.确定教学内容

教学内容主要包括以下几个方面：

-排列数的概念

-排列数的性质

-排列数的计算方法

-排列数在实际问题中的应用

3.教学重点与难点

重点：排列数的定义、性质及计算方法。

难点：排列数在实际问题中的应用。

4.教学方法

采用启发式教学，引导学生通过观察、思考、讨论的方式，理解排列数的概念及性质，并通过实际例题讲解，让学生掌握排列数的计算方法和应用。

5.教学步骤

-引入排列数的概念，让学生了解排列数的背景和意义。

-讲解排列数的性质，如乘法原理、排列数公式等。

-通过例题，讲解排列数的计算方法，如排列数公式推导、排列数计算技巧等。

-分析排列数在实际问题中的应用，如排列组合问题、概率问题等。

-进行课堂练习，巩固所学知识。

6.教学评估

第二章引入排列数的概念

1.生活实例引入

首先，可以从学生的日常生活中找到一个熟悉的例子来引入排列数的概念。比如，让学生想象一下，如果他们要组织一个班级的篮球比赛，需要从全班50个同学中选出5个同学组成一支队伍，有多少种不同的选法？这个问题就可以用排列数来解决。

2.概念讲解

接着，可以向学生解释，排列数就是指在一定条件下，从n个不同的元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排列的方式的数量。这里的关键是“顺序”，因为不同的顺序被认为是不同的排列。

3.实操演示

在黑板上，可以现场演示如何计算排列数。比如，假设我们要从3个不同的元素中取出2个进行排列，我们可以这样操作：

-写下所有可能的排列：12,13,21,23,31,32

-让学生数一数，一共有多少种排列方式，答案是6种。

然后，可以引导学生发现，对于n个元素，如果我们每次取m个元素进行排列，那么总共的排列数可以用一个公式来计算：P(n,m)=n!/(n-m)!，这里的“!”表示阶乘。

4.讨论实际意义

让学生讨论排列数在现实生活中的应用，比如排列组合问题、彩票中奖概率计算、运动员比赛顺序安排等，让学生理解排列数不仅仅是数学问题，它在生活中有着广泛的应用。

5.课堂互动

鼓励学生参与进来，让他们尝试解决一些简单的排列数问题，比如从5个同学中选出3个同学参加比赛，有多少种不同的排列方式？让学生亲自计算并验证结果。

第三章探究排列数的性质

1.性质讲解

在这一章节，我们要探究排列数的一些基本性质。比如，排列数是随着选取元素数量的增加而增加的，也就是说，选的越多，排列的方式就越多。还有一个性质是，如果两个元素相同，那么它们的排列数会减少，因为相同的元素不能产生新的排列。

2.实例分析

我们可以用学校的运动会来举例。比如，100米赛跑有8个选手参加，那么金牌、银牌和铜牌的排列方式有多少种？这里就是典型的排列数问题，因为每个选手的顺序很重要，金牌、银牌和铜牌的归属是不一样的。

3.操作演示

在黑板上，我们可以这样操作：

-写下排列数公式：P(8,3)=8!/(8-3)!

-计算阶乘：8!=8×7×6×5×4×3×2×1

-计算分母：5!=5×4×3×2×1

-进行计算：P(8,3)=(8×7×6×5×4×3×2×1)/(5×4×3×2×1)=8×7×6=336

所以，有336种不同的排列方式来决定金牌、银牌和铜牌的归属。

4.性质应用

5.练习与巩固

给学生发放一些练习题，让他们独立计算一些排列数问题，比如从10个同学中选出4个同学参加不同的比赛项目，有多少种排列方式？通过这样的练习，学生可以加深对排列数性质的理解，并学会如何应用这些性质解决问题。

第四章学会排列数的计算方法

1.公式介绍

排列数的计算有一个专门的公式，我们要让学生知道这个公式，并且会用它来计算。公式是这样的：P(n,m)=n!/(n-m)!，这里面的n!就是n的阶乘，意思是n乘以n-1乘以n-2一直到1。而(n-m)!就是从n里减去m之后的结果的阶乘。

2.计算步骤

我们要教会学生按照步骤来计算排列数。首先，确定你有多少个元素，也就是n的值。然后，确定你想要排列多少个元素，也就是m的值。接着，用n!除以(n-m)!，得到的结果就是排列数。

3.实际操作

比如，我们要计算从10个不同的球中，拿出4个来排列，有多少种不同的顺序。我们就在黑板上这样操作：

-写下n和m的值：n=10,m=4

-计算n!：10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

-计算n-m!：6!=6×5×4×3×2×1

-用n!除以(n-m)!：P(10,4)=10!/6!=(10×9×8×7×6×5×4×3×2×1)/(6×5×4×3×2×1)

-简化计算：P(10,4)=10×9×8×7=5040

所以，一共有5040种不同的排列方式。

4.注意事项

在计算的时候，要注意分子和分母中相同的部分可以约掉，这样可以简化计算过程。另外，如果m的值很大，接近n的值，有时候直接计算n!可能会很麻烦，这时候我们可以考虑使用计算器或者电脑软件来帮助我们计算。

5.练习与应用

给学生一些练习题，让他们自己动手计算，比如从8个不同的书签中选择3个来排列，有多少种不同的顺序？让学生自己按照步骤计算，然后分享他们的答案和计算过程，这样可以加深他们的理解和记忆。

第五章排列数在实际问题中的应用

1.解决实际问题

排列数并不仅仅是一个数学概念，它在我们的生活中有着广泛的应用。比如，当我们组织一场比赛，需要安排出场顺序时，就会用到排列数。再比如，当我们设计产品组合，考虑不同组合的排列时，也离不开排列数。

2.具体例子讲解

我们可以用一个开生日派对的例子来说明。假设小明的生日派对上有5个游戏环节，每个环节都需要一个不同的游戏主持人，而小明有7个朋友愿意做游戏主持人，那么小明有多少种不同的安排方式呢？

-我们先确定n和m的值：n=7（7个朋友），m=5（5个游戏环节）

-然后用排列数公式计算：P(7,5)=7!/(7-5)!=7!/2!=(7×6×5×4×3×2×1)/(2×1)=7×6×5×4×3=2520

所以，小明有2520种不同的安排游戏主持人的方式。

3.讨论排列数的重要性

4.动手操作

让学生自己动手解决一些实际问题，比如：

-一个乐队有6个成员，要排练一首歌的表演顺序，有多少种不同的排列方式？

-一个班级有10个学生，要选出3个学生组成一个小组，并安排他们的座位顺序，有多少种不同的排列方式？

5.总结与反思

最后，让学生总结一下排列数在实际问题中的应用，并反思在学习排列数的过程中遇到了哪些困难，又是如何克服的。这样的总结和反思有助于学生更好地掌握排列数的应用。

第六章排列数与组合数的区别和联系

1.区分排列数和组合数

在这一章，我们要让学生明白排列数和组合数的区别。简单来说，排列数是考虑顺序的，不同的顺序算不同的排列；而组合数是不考虑顺序的，只要元素相同就算一种组合。

2.举例说明

比如，小明要从5个不同的朋友中挑选3个朋友去公园玩，如果考虑谁先谁后，那就是排列数问题；如果只是简单地挑选3个朋友，不考虑顺序，那就是组合数问题。

3.实际操作区分

我们可以这样操作来区分排列数和组合数：

-对于排列数问题，我们会问：“谁第一个去？第二个是谁？第三个是谁？”

-对于组合数问题，我们只问：“哪些人去？”

4.计算方法对比

排列数的计算方法我们在前面已经讲过了，而组合数的计算方法也类似，但公式不同。组合数的公式是C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]。这里的C表示组合数。

5.练习区分

给学生一些题目，让他们判断是排列数问题还是组合数问题，并计算结果。比如：

-从5个不同的球中挑选3个球，有多少种不同的挑选方式？（不考虑顺序）

-从5个不同的球中挑选3个球，有多少种不同的排列方式？（考虑顺序）

6.总结联系

最后，让学生总结一下排列数和组合数之间的联系。虽然它们考虑问题的角度不同，但都是基于从n个元素中选取m个元素这个问题。在实际应用中，我们要根据具体情况来判断是使用排列数还是组合数。通过这样的练习和总结，学生可以更好地理解和运用这两个概念。

第七章排列数在概率问题中的应用

1.概率基础

在这一章节，我们要让学生了解排列数在概率问题中的应用。首先，得给学生普及一下概率的基础知识，就是某个事件发生的可能性大小。排列数在概率中经常用来计算不同事件发生的可能性。

2.实际例子引入

拿抽奖来举例，比如一张彩票上有50个号码，每次抽取一个号码，抽三次，每次抽中的号码都不一样，那么中一等奖的概率是多少？这个问题就需要用到排列数来计算。

3.计算概率

我们可以这样计算：

-首先确定总的排列数，也就是所有可能的抽奖结果。因为每次抽取的号码都不一样，所以总排列数是P(50,3)。

-然后计算中一等奖的排列数，也就是抽中特定三个号码的排列数，只有一种情况，所以是P(3,3)。

-最后，用中一等奖的排列数除以总的排列数，得到中一等奖的概率：P(中一等奖)=P(3,3)/P(50,3)。

4.动手计算

在黑板上演示计算过程，让学生跟着一起算：

-P(50,3)=50!/(50-3)!=(50×49×48)/(3×2×1)=19,600

-P(3,3)=3!/(3-3)!=3!/0!=3!=6（0!等于1）

-P(中一等奖)=6/19,600≈0.0003

所以，中一等奖的概率大约是0.03%。

5.应用拓展

让学生思考排列数在概率问题中还能有哪些应用，比如足球比赛结果的预测、考试及格的概率计算等。通过这些实际例子，让学生感受到排列数在解决实际问题中的重要性。

6.课堂练习

给出一些概率问题，让学生尝试用排列数来解决。比如，一个袋子里有10个不同颜色的小球，随机取出3个，求取出的是红色、蓝色和绿色球的概率。通过练习，学生可以加深对排列数在概率问题中应用的理解。

第八章排列数问题的常见错误与解决方法

1.错误类型一：混淆排列数和组合数

学生在解决排列数问题时，最常见的错误之一就是把它和组合数搞混了。他们会忘记考虑顺序的重要性，导致计算错误。

-解决方法：强调排列数和组合数的定义区别，让学生在解题前先判断问题是要求排列还是组合。

2.错误类型二：忽略元素的不可区分性

有时问题中的元素是不可区分的，比如颜色相同的球，但学生可能会错误地计算每个球的排列。

-解决方法：提醒学生在计算前先判断元素是否可区分，如果不可区分，则不能使用排列数公式。

3.错误类型三：计算过程中的数学错误

在计算排列数时，学生可能会在阶乘的计算中出现错误，或者忘记约分以简化计算。

-解决方法：演示正确的计算步骤，强调在计算过程中注意约分，减少计算量。鼓励学生使用计算器来检查结果。

4.实际案例分析

拿一个具体的例子来说明这些错误。比如，一个班级有6个男生和4个女生，要组成一个9人篮球队，问有多少种不同的组合方式。

-错误一：学生可能会计算P(10,9)来考虑所有学生的排列，而不是C(10,9)来考虑组合。

-错误二：如果学生认为男生和女生是有区别的，他们可能会错误地计算排列数，而不是组合数。

-错误三：在计算阶乘时，可能会出现计算错误。

5.互动纠正

让学生分成小组，互相检查对方的解题过程，指出可能出现的错误，并讨论如何纠正。这样可以提高学生的错误识别和解决能力。

6.总结预防

最后，总结一下避免这些错误的方法，让学生在解决排列数问题时能够更加小心谨慎。提醒他们在解题前要仔细审题，确定问题的类型，并在计算过程中保持注意力集中。通过不断的练习和反思，学生可以逐渐减少错误的发生。

第九章排列数在高考中的应用与备考策略

1.高考中的应用

排列数在高考数学中是一个重要的考点，尤其是概率统计部分。高考题目通常会要求学生运用排列数的知识来解决实际问题，比如运动员的出场顺序、实验设计的排列组合等。

2.备考策略一：掌握基础概念

要想在高考中顺利解决排列数问题，首先得把基础概念和公式搞懂。学生需要清楚地知道什么是排列数，什么是组合数，以及它们的计算方法。

3.备考策略二：大量练习

高考题目的特点是灵活多变，所以学生需要做大量的练习题来提高解题技巧。可以从历年的高考真题开始做起，逐渐增加难度。

4.实战演练

比如，高考题可能会这样出：从5名男生和4名女生中选3名男生和2名女生进行混合接力比赛，有多少种不同的参赛组合？学生需要快速判断这是一个组合数问题，然后使用组合数公式C(5,3)*C(4,2)来计算。

5.备考策略三：注意时间管理

高考时，时间非常宝贵。学生需要学会如何在有限的时间内快速准确地解决排列数问题。这要求他们在平时练习时就要注意提高解题速