第02讲 平行线及其判定（知识解读+达标检测）（原卷版）

第02讲平行线及其判定【题型1平行线定义】【题型2平行线公理及推论】【题型3平行线判定-同位角相等，两直线平行】【题型4平行线判定-内错角相等，两直线平行】【题型5平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】考点1：平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【题型1平行线定义】【典例1】（2023春•青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对【变式1-1】（2023春•榕城区期末）下列说法正确的是（）A．两点之间，直线最短 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离【变式1-2】（2023春•宣化区期中）如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定【变式1-3】（2022秋•姑苏区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（）A．BC B．CG C．EH D．HG考点2：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性【题型2平行线公理及推论】【典例2】（2023春•利川市期中）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【变式2-1】（2023春•新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（）A．在同一个平面内 B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一个平面内【变式2-2】（2023春•南宁月考）a、b、c是直线，下列说法正确的是（）A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a∥b，b⊥c，则b∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）下列说法正确的是（）A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c考点3：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。∵∠2＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行。∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【题型3平行线判定-同位角相等，两直线平行】【典例3】（2023秋•南岗区校级期中）如图，点A在射线DE上，点C在射线BF上，∠B+∠BAD＝180°，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整．证明：∵∠B+∠BAD＝180°（已知），∠1+∠BAD＝180°，∴∠1＝，∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝（），∴AB∥CD（）．【变式3-1】（2023春•禅城区校级期中）如图，已知E，B，C三点共线，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB，试说明：BF∥AC．因为BE平分∠DBF（），所以＝（），又因为∠1＝∠ACB（），所以∠2＝∠ACB（)．所以BF∥AC（）．【变式3-2】（2023春•泸县校级期末）如图，已知∠1＝∠2，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：BC∥DE．【变式3-3】（2022秋•城阳区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，CD与EF相交于点H，且∠BDC+∠DHF＝180°，∠DEF＝∠B．求证：DE∥BC．【题型4平行线判定-内错角相等，两直线平行】【典例4】（2023春•阿荣旗期末）已知：如图，CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD证明∵CE平分∠ACD（）∴∠＝∠（）∵∠1＝∠2（已知）；∴∠1＝∠（）∴AB∥CD（）【变式4-1】（2023春•门头沟区期末）按要求完成下列证明：已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．证明：∵CD⊥AB（已知），∴∠1+＝90°（）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴＝∠2（）．∴DE∥BC（）．【变式4-2】（2022秋•秦州区校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（），∠AGC+∠AGD＝180°（），所以∠BAG＝∠AGC（）．因为EA平分∠BAG，所以∠1＝（）．因为FG平分∠AGC，所以∠2＝，得∠1＝∠2（），所以AE∥GF（）．【变式4-3】（2023春•中山区期末）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证BE∥CF．【题型5平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】【典例5】（2022秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．【变式5-1】（2023春•船营区期末）如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD对吗？为什么？【变式5-2】（2022秋•城阳区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，CD与EF相交于点H，且∠BDC+∠DHF＝180°，∠DEF＝∠B．求证：DE∥BC．【变式5-3】（2022•青山区模拟）如图，E在四边形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于F，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，求证：AB∥CD．一．选择题（共10小题）1．（2022秋•新野县期末）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行2．（2023•沙坪坝区校级三模）如图，可以得到DE∥BC的条件是（）A．∠ACB＝∠BAC B．∠ABC+∠BAE＝180° C．∠ACB+∠BAD＝180° D．∠ACB＝∠BAD3．（2022秋•洛江区校级期末）如图，下列条件中，一定能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠B＝∠C D．∠1＝∠D4．（2023•岳麓区一模）如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接AB．下列条件中，能得到a∥b的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1+∠4＝180° D．∠1+∠3＝180°5．（2023春•黄岛区校级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A6．（2022秋•丹东期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE7．（2023春•通榆县期末）下列图形中，已知∠1＝∠2，则可得到AB∥CD的是（）A． B． C． D．8．（2022秋•绿园区期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．15° B．25° C．35° D．50°9．（2023春•新罗区期末）如图，在下列给出的条件中，可以判定AB∥CD的有（）①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠4；④∠DAB+∠ABC＝180°；⑤∠BAD+∠ADC＝180°．A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．②③⑤10．（2023春•凤台县期中）下列说法错误的个数是（）①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题）11．（2023秋•香坊区校级期中）同一平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是：．12．（2023春•同江市期末）如图，点A，D，E三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，如果添加一个条件，使AB∥CD，则可以添加的条件为．（任意添加一个符合题意的条件即可）13．（2023春•衢江区期末）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱BA垂直地面AE于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏CD∥AE，此时∠ABC+∠BCD＝°．14．（2023春•漳平市期末）如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1＝140°，则当∠2等于时，AB∥CD．15．（2023春•莲池区期末）一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝°时，DE∥AB．16．（2023春•甘州区校级期中）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠B＝∠5；③∠3＝∠4；④∠5＝∠D；⑤∠D+∠BCD＝180°．其中能够得到AD∥BC的条件是．（填序号）三．解答题（共3小题）17．（2022秋•碑林区校级期末）已知：如图，AE与BD相交于点F，∠B＝∠C，∠1＝∠2．求证：AB∥CE．18．（2023春•长清区期中）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（）．∵∠ABC＝∠ADC（），∴∠＝∠（等量代换）．∵∠1＝∠3（），∴∠2＝∠3（