第三单元倍数与因数·基础篇【十六大考点】-2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列（解析版）北师大版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份，编者也常常为此苦恼。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样？再结合自身教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学讲解，又适宜课后作业练习，还适宜阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学工作室2023年9月20日2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列第三单元倍数与因数·基础篇【十六大考点】专题解读本专题是第三单元倍数与因数基础篇。本部分内容主要是考察因数与倍数的基础知识和基本概念，包括因数和倍数的定义及特点，2、5、3的倍数特征，质数与合数的定义及特征等，考试多以填空、选择、判断等基础题型为主，题目相对简单，建议重点进行讲解，一共划分为十六个考点，欢迎使用。目录导航目录TOC\o"1-1"\h\u【考点一】因数与倍数 3【考点二】求一个数的因数 4【考点三】求一个数的倍数 5【考点四】因数与倍数综合 5【考点五】因数与倍数的实际应用 7【考点六】2、5的倍数特征 9【考点七】2、5倍数特征的实际应用 10【考点八】3的倍数特征 11【考点九】3倍数特征的实际应用 13【考点十】2、5、3的倍数特征组数 14【考点十一】奇数与偶数 16【考点十二】奇数与偶数的基本性质 17【考点十三】奇数与偶数的实际应用 19【考点十四】质数与合数 20【考点十五】质数的分解和组合 21【考点十六】因数、倍数、质数、合数的综合应用 22典型例题【考点一】因数与倍数。【方法点拨】1.因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。

例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。2.三点注意：（1）因数与倍数是相互依存的：在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。（2）0不作为研究因数与倍数的对象。（3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。【典型例题】（1）12÷2＝6，所以，()是2倍数，2是12的()。解析：12；因数（2）根据4×6＝24，我们说4和()是()的因数，()是()和6的倍数。解析：6；24；24；4【对应练习1】25、15、3三个数中，()是()的因数，()是()的倍数。解析：3；15；15；3【对应练习2】根据18÷3＝6，我们可以说18是3和6的()数，3和6都是18的()数。解析：倍；因【对应练习3】5×6＝30中，（）是（）和（）的倍数；（）和（）是（）的因数。解析：30；5；6；5；6；30【考点二】求一个数的因数。【方法点拨】1.求一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。2.因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。【典型例题】找出40的所有因数。解析：1、2、4、5、8、10、20、40【对应练习1】18的因数有哪些？解析：18的因数有：1、2、3、6、9、18。【对应练习2】请你有序写出36的因数有哪些？解析：1、2、3、4、6、9、12、18、36【对应练习3】写出下面各数的因数。25124936.解析：25的因数：1、5、25；12的因数：1、2、3、4、6、12；49的因数：1、7、49；36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。【考点三】求一个数的倍数。【方法点拨】1.求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非0自然数。2.倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。【典型例题】若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。解析：12、24、36、48【对应练习1】写出100以内15的全部倍数。解析：100以内15的倍数有：15，30，45，60，75，90。【对应练习2】写出50以内8的倍数。解析：8、16、24、32、40、48【对应练习3】若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。解析：12、24、36、48【考点四】因数与倍数综合。【方法点拨】1.因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。2.倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。【典型例题】一个数既是6的倍数，又是54的因数，这个数最小可能是()，最大可能是()。解析：6；54【对应练习1】一个数既是8的倍数又是24的因数，这个数是（）。解析：8或24【对应练习2】猜数，它是5的倍数，又是50的因数，这个数是（）。解析：5、10、25、50【对应练习3】有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？解析：A：5的最小倍数是5；B：最小的自然数是0；C：5的最大因数是5；D：它既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4；E：它的所有因数是1，2，3，6，这个数是6；F：它的所有因数是1，3，这个数是3；G：它只有一个因数，这个数是1。由此得：这个电话号码是****﹣5054631。【考点五】因数与倍数的实际应用。【方法点拨】因数与倍数的实际应用注意利用因数和倍数的特征和意义来解决问题。【典型例题1】小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？解析：90÷15＝6（包）90的因数有1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。每包选择合适的千克数即可，可以10千克一包。90÷10＝9（包）答：如果每15千克装一包，能正好装完；还可以10千克一包，装9包。【典型例题2】体操表演队由48名同学组成，表演时要排成长方形队形，都可以怎样排？（至少写出3种排法）解析：48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8答：可以排6行8列、4行12列、3行16列、2行24列。【对应练习1】阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？解析：

48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×848的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝4848以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48。在15到25之间的是24。答：这个文具盒的价格是24元。【对应练习2】五年级有48名同学报名参加义务劳动，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于3，小于10，可以分为几组？每组多少人？解析：48的因数有1，2，3，4，6，8，12，18，24，48，所以组数为4、6或8。当组数为4组时，48÷4＝12（人）当组数为6组时，48÷6＝8（人）当组数为8组时，48÷8＝6（人）答：可以分为4、6或8组，每组12人、8人或6人。【对应练习3】体育课上，老师让60名同学分组做游戏，要求每组人数相同，且每组不多于15名同学，不少于8名同学，有哪几种分法，每组有多少人？解析：60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30；60；符合题意的因数有：10、12、15；共有3种分法：①每组10人，分6组；②每组12人，分5组；③每组15人，分4组；答：共有3种分法，每组有10人、12人或15人。【对应练习4】学校图书馆李阿姨买回一些故事书，平均分给16个班，正好分完，这些故事书比50本多，比100本少，那么李阿姨可能买回多少本故事书？解析：16×4＝64（本）16×5＝80（本）16×6＝96（本）答：李阿姨可能买回64本、80本或96本故事书。【对应练习5】五（1）班7名同学周六相约去植树。准备的小树苗不到40棵，他们发现每人植树的棵相同。这批小树苗最多有多少棵？解析：7的倍数有：7、14、21、28、35、42⋯⋯其中小于40的最大的数是35。答：这批小树苗最多有35棵。【考点六】2、5的倍数特征。【方法点拨】1.个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

2.个位上是0或5的数是5的倍数。【典型例题1】分一分。解析：根据分析可得：【典型例题2】有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填()。如果它是2的倍数，□里最大可以填()。解析：0；8【对应练习1】313至少减去()是5的倍数，至少加上()是2的倍数。解析：3；1【对应练习2】一个两位数，既是2的倍数又是5的倍数，这个数最大是()。解析：90【对应练习3】82至少要加上（）才能既是2的倍数，又是5的倍数。解析：2，8【考点七】2、5倍数特征的实际应用。【方法点拨】1.个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

2.个位上是0或5的数是5的倍数。【典型例题】食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？解析：答：如果每2个装一袋，不能正好装完，如果每5个装一袋，能正好装完。因为65的个位是5，65不是2的倍数，65是5的倍数。【对应练习1】明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？解析：100－18＝82（元）答：售货员阿姨找回的钱不对。因为买纯牛奶和可乐的总价钱应是5的倍数，而82元不是5的倍数，所以找回的钱不对。【对应练习2】敏敏打算买一些花送给妈妈，马蹄莲10元1枝，玫瑰7元1枝，郁金季5元1枝。她买了一些马蹄莲和郁金香，付给售货员100元后，售货员找了她13元，请问找回的钱对吗？为什么？解析：答：找回13元不对；因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几枝，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回13元不对。【对应练习3】小红和朋友去公园玩，她拿出妈妈给她准备的27颗糖准备平均分给自己和她的4个好朋友。至少拿走几颗糖，就可以平均分？每人可以分几颗糖？解析：1＋4＝5（人）27－25＝2（颗）25÷5＝5（颗）答：至少拿走2颗糖，就可以平均分，每人可以分5颗糖。【考点八】3的倍数特征。【方法点拨】1.3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。2.2、5、3倍数特征之间的联系：3.倍数特征的补充：（1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数；（2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数；（3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。（4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。【典型例题】要使207同时是2和3的倍数，里应填()；要使307既含有因数3又是5的倍数，里应填()。解析：0；5【对应练习1】已知三位数42□同时是2和3的倍数，那么□里最小应填()，□里最大应填()。解析：0；6【对应练习2】在510，73，234，91，102，687，870中，是3的倍数有()个，()既是2的倍数，又是5的倍数。解析：5；510，870【对应练习3】既是2的倍数，又是3的倍数的最大两位数是()，最小两位数是()。解析：96；12【考点九】3倍数特征的实际应用。【方法点拨】一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。【典型例题】商店里有69个鸡蛋，每2个装一盒，能正好装完吗？每3个装一盒，能正好装完吗？解析：6＋9＝15，69不是2的倍数，69是3的倍数。答：根据2和3的倍数特征可知：69不是2的倍数，所以每2个装一盒，不能正好装完；69是3的倍数，所以能正好装完。【对应练习1】有一堆糖，2颗2颗地数、3颗3颗地数、5颗5颗地数，最后都剩下1颗，而且这些糖的总数在50－70颗之间，你知道有多少颗糖吗？解析：2×3×5＝3030×2＝6060＋1＝61（颗）50＜61＜70答：一共有61颗糖。【对应练习2】周末，丽丽带57元钱去买课外书，她花的钱数既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数。丽丽买课外书花了多少钱？解析：花的钱数是2和5的倍数，那么钱数的个位是0，又因为钱数还是3的倍数，那么钱数的十位只能是3，所以丽丽买课外书花了30元。答：丽丽买课外书花了30元。【对应练习3】有95个苹果，如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？如果不能，至少还需要多少个苹果才能正好装完？解析：95÷5＝19（袋）95÷3＝31（袋）……2（个）3－2＝1（个）答：如果每5个装一袋，能正好装完，如果每3个装一袋，不能正好装完，至少还需要1个苹果才能正好装完。【考点十】2、5、3的倍数特征组数。【方法点拨】根据倍数特征组数，需要熟悉2、5、3的倍数特征，能够根据不同倍数的特征灵活变换。【典型例题】从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。2的倍数有：3的倍数有：5的倍数有：既是2的倍数又是3的倍数有：既是2的倍数又是5的倍数有：既是3的倍数又是5的倍数有：既是2、3的倍数，又是5的倍数有：解析：2的倍数有：502、702、750、720、270、570；3的倍数有：270、720、570、750、705、507、702、207；5的倍数有：270、720、570、750、705、205；既是2的倍数又是3的倍数有：270，720、750、702、570；既是2的倍数又是5的倍数有：270，720、750、570，250，520；既是3的倍数又是5的倍数有：270，720，570，750；既是2、3的倍数，又是5的倍数有270、720、750、570；【对应练习1】按要求写数用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。（1）是2的倍数，并且最大：（2）是5的倍数并且最小：（3）既是偶数，又是3的倍数：（4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：（5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：解析：（1）是2的倍数，并且最大：854（2）是5的倍数并且最小：405（3）既是偶数，又是3的倍数：450、540、480、840、504、804、408（4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：480（5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：405【对应练习2】写出符合要求的最小的两位数：（1）既是2的倍数，又是3的倍数：（）。（2）既是3的倍数，又是5的倍数：（）。（3）既是2的倍数，又是5的倍数：（）。（4）既是2和5的倍数，又是3的倍数：（）。解析：（1）12；（2）15；（3）10；（4）30【对应练习3】写出符合要求的最小的三位数：（1）既是2的倍数，又是3的倍数：（）。（2）既是3的倍数，又是5的倍数：（）。（3）既是2和5的倍数，又是3的倍数：（）。解析：（1）102；（2）105；（3）120。【对应练习4】从4、5、8、0这4个数字中任意选出其中的3个组成三位数，至少各写三个。（1）组成的数是2的倍数：____________________。（2）组成的数是3的倍数：____________________。（3）组成的数是5的倍数：____________________。（4）组成的数同时是含有因数2、3、5的倍数：____________________。解析：（1）584548480480450（2）450540804504408（3）450540485845840（4）450540480840【考点十一】奇数与偶数。【方法点拨】四种数的相关概念：1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。4.自然数：像0、1、2、3、4、……都是自然数。【典型例题】在0、1、2、3、4、5、6、7、8中，奇数是：()；偶数是：()。解析：1、3、5、7；0、2、4、6、8【对应练习1】在40、12、37、39、45、18、10、26、91、69、234、76、600这些数中（1）奇数有：_____________________________。（2）偶数有：_____________________________。解析：奇数：37、39、91、69偶数：40、12、18、10、26、234、76、600【对应练习2】个位是（）的自然数，叫做奇数。两位数中，最小的奇数是（），最大的偶数是（）。自然数中最小的奇数是（），最小的偶数是（）。解析：1、3、5、7、9；11；98；1；2【对应练习3】28的因数有()，其中奇数有()，偶数有()。解析：1、28、2、14、4、7；1、7；28、2、14、4【考点十二】奇数与偶数的基本性质。【方法点拨】奇数与偶数的基本性质：

。【典型例题】用“偶数”和“奇数”填空。偶数+偶数=（）奇数+奇数=（）（）+偶数=奇数偶数×偶数=（）奇数×（）=偶数奇数-（）=偶数解析：偶数；偶数；奇数；偶数；奇数；奇数【对应练习1】判定下面的结果是偶数还是奇数。①2+5的结果是（）②如果A是自然数（A≠0），2A表示（）③2×3的结果是（）④一个数只有1和本身两个因数，它是（）⑤785＋547的和是（）⑥675+54－465的结果是（）⑦75×71的积是（）⑧奇数×奇数的积是（）解析：奇数；偶数；偶数；奇数或偶数；偶数；偶数；奇数；奇数【对应练习2】选择正确的序号填在括号内（1）同时是2、3、5的倍数的数是（）。A．奇数B．偶数（2）如果a表示自然数，那么下面一定可以表示偶数的是（）。A.a+1B.a+2C.2a（3）几个质数的积一定是（）。A.奇数B.偶数C.无法判断（4）小明晚上放学回家，打开灯，亮了，再开50次，灯是（）。A.亮着B.灭了（5）从1到2005个自然数相加的和是（）。A.奇数B.偶数解析：（1）B（2）C（3）C（4）A（5）A【考点十三】奇数与偶数的实际应用。【方法点拨】1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。【典型例题】晚上，平平打开灯做作业，淘气的弟弟跑过来，一下子按了27下电灯的开关，请问现在灯是亮了还是不亮？解析：27是奇数答：灯是不亮。【对应练习1】晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是亮还是暗？如果按了50下呢？你是怎么想的？请用喜欢的方式说明理由。解析：原来灯是开着的，按奇数次为关闭，按偶数次为开启。因此按5次灯呈关闭状态，50次为开启状态。【对应练习2】甲、乙、丙、丁四盏灯都是亮的，一个调皮的小朋友不断按这几盏灯的开关，他从甲依次按到丁，再从丁依次按到甲，不停地按开关，如果按了2007次，这时候哪几盏灯是关着的？解析：（组）……3（次）；答：这时候甲盏灯是关着的。【对应练习3】第1个小朋友第1次面对竹竿跑过去，等绕过竹竿后，第2次返回原地；把接力棒交给下一个小朋友。以此类推，第19次是跑去还是返回？是第几个小朋友？解析：跑向竹竿的都是奇数次，每次回原地的都是偶数次，19是奇数，则第19次是跑去；19÷2＝9……1；答：是第9个小朋友。【考点十四】质数与合数。【方法点拨】质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的：1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。注意：①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。②最小的质数是2，没有最大的质数。

2.一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。注意：①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。②最小的合数是4，没有最大的合数。3.注意：0、1既不是质数，也不是合数。【典型例题】在1，2，14，25，16，29，12，31，91，87这些数中，合数有()，质数有()，奇数有()，偶数有()。解析：14，25，16，12，91，87；2，29，31；1，25，29，31，91，87；2，14，16，12【对应练习1】在17、6、13、9、2、34、1、33中，奇数有()，偶数有()，质数有()，合数有()。解析：17、13、9、1、33；6、2、34；17、13、2；6、9、34、33【对应练习2】在1、5、2、16、9、11、22中，奇数有()，偶数有()，质数有()，合数有()。解析：1、5、