第03讲 平行线的性质（知识解读+达标检测）（解析版）

第03讲平行线的性质【题型1利用平行线性质求角度】【题型2利用平行线性质解决三角板问题】【题型3利用平行线性质解决折叠问题】【题型4平行线性质的实际应用】【题型5利用平行线的判定与性质的综合】【题型6命题的判定】【题型7真假命题的判断】【题型8命题的改写】【题型9命题的证明过程】考点1：平行线性质性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。几何语言：∵a∥b∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。几何语言：∵a∥b∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。几何语言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）【题型1利用平行线性质求角度】【典例1】（2023秋•涟源市期末）如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【解答】解：如图所示，∵m∥n，∴∠CAD+∠1＝180°，∴∠1+∠BAC+∠2＝180°∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∵∠1＝50°，∴50°+90°+∠2＝180°，∴∠2＝40°，故选：C．【变式1-1】（2022秋•芮城县期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（）A．122° B．120° C．118° D．115°【答案】A【解答】解：延长DC交AE于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DFE＝94°，∵∠DCE是△CEF的一个外角，∴∠DCE＝∠DFE+∠E＝122°，故选：A．【变式1-2】（2022秋•白银期末）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝85°，则∠2＝（）A．15° B．85° C．95° D．115°【答案】C【解答】解：如图，根据生活意义，得到a，∴∠3＝∠1＝85°；∵∠3+∠2＝180°，∴∠3＝95°．故选：C．【变式1-3】（2023秋•前郭县期中）如图，把一根铁丝折成图示形状后，AB∥DE，若∠D＝30°，∠DCB＝80°，则∠B等于（）A．60° B．80° C．100° D．130°【答案】D【解答】解：∵∠D＝30°，∠DCB＝80°，∴∠E＝80°﹣30°＝50°．∵AB∥DE，∴∠B＝180°﹣∠E＝130°．故选：D．【题型2利用平行线性质解决三角板问题】【典例2】（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15° B．25° C．35° D．45°【答案】B【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故选：B．【变式2-1】（2022秋•新绛县期末）将等腰直角三角形和直尺按图中方式叠放在一起，若∠1＝76°，则∠2的度数为（）A．14° B．31° C．36° D．76°【答案】B【解答】解：∵尺子的对边平行，∴∠4＝∠3，∵∠＝76°，∴∠3＝180°﹣90°﹣76°＝14°，∴∠4＝∠14°，∴∠2＝45°﹣14°＝31°．故选：B．【变式2-2】（2022秋•邓州市期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（）A．60°15′ B．39°45′ C．29°85′ D．29°45′【答案】D【解答】解：如图，由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，故选：D．【变式2-3】（2022秋•淇县期末）如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠2＝35°，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，∵直尺对边平行，∴∠1＝∠3＝55°．故选：C．【题型3利用平行线性质解决折叠问题】【典例3】（2023秋•蕲春县期中）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝35°，则∠ADE的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【解答】解：由折叠的性质可得，∠CDB＝∠EDB，∵AD∥BC，∠CBD＝35°，∴∠CBD＝∠ADB＝35°，∵∠C＝90°，∴∠CDB＝55°，∴∠EDB＝55°，∴∠ADE＝∠EDB﹣∠ADB＝55°﹣35°＝20°，故选：B．【变式3-1】（2023秋•长治期中）如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（）A．112° B．116° C．138° D．148°【答案】B【解答】解：∵∠EFB＝32°，∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°，∴∠EFD′＝∠EFD＝148°，∴∠BFD′＝∠EFD′﹣∠BFE＝148°﹣32°＝116°，故选：B．【变式3-2】（2023秋•临渭区期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的点D′处，点C落在点C′处，若∠AD′M＝50°，则∠MNB的度数为（）A．40° B．70° C．80° D．100°【答案】B【解答】解：∵在正方形ABCD中，∠A＝90°，∴∠AMD′＝90°﹣∠AD′M＝90°﹣50°＝40°∴∠DMD′＝180°﹣∠AMD′＝180°﹣40°＝140°，由折叠可得，∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠MNB＝∠DMN＝70°．故选：B．【变式3-3】（2023秋•桥西区期中）如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（）A．74° B．106° C．122° D．148°【答案】B【解答】解：∵∠1＝32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1＝180°，∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣32°＝148°．∴∠BMA1+∠CMD1＝74°．∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝74°+32°＝106°．故选：B【题型4平行线性质的实际应用】【典例4】（2023•广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（）A．160° B．150° C．140° D．130°【答案】D【解答】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∴AC∥BD，∴∠B＝∠A＝130°．故选：D．【变式4-1】（2023春•鸡西期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°．第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C的度数（）A．160° B．150° C．140° D．135°【答案】A【解答】解：如图，延长AB，交DC延长线于点E，由题意得，AF∥DE，∴∠A＝∠E＝130°，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，∴∠BCD＝∠CBE+∠E＝30°+130°＝160°．故选：A．【变式4-2】（2023春•西安期末）如图是自来水公司安装的一条自来水管道，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，∠BCD等于（）A．45° B．40° C．35° D．30°【答案】B【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF＝∠ABC＝80°，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠CDE＝140°，∴∠DCF＝40°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝40°．故选：B．【变式4-3】（2023春•渠县校级期末）如图是中国机器人创意设计大赛中一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径；机器人从A点出发，到达B点，第一次拐的∠B是140°，第二次拐的∠C是100°，第三次拐的角是∠D，这时机器人行走的路径恰好和出发时行走的路径平行，那么∠D的度数是（）A．100° B．120° C．140° D．90°【答案】B【解答】解：过点C作FC∥AB，由题意可得：AB∥FC∥ED，则∠B+∠1＝180°，∠2+∠D＝180°，故∠B+∠1+∠2+∠D＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°，则∠D＝360°﹣140°﹣100°＝120°．故选：B．【题型5利用平行线的判定与性质的综合】【典例5】（2023秋•文山市期末）如图，已知∠BAD＝∠BDA，AD平分∠BDC．（1）求证：AB∥CD；（2）若AD⊥AC，∠C＝70°，求∠B的度数．【答案】（1）证明见解答过程；（2）140°．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDC，∴∠BDA＝∠ADC，∵∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠BDC＝180°，∵AD⊥AC，∠C＝70°，∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝180°﹣70°﹣90°＝20°，∴∠BDC＝2∠BDA＝2∠BAD＝40°，∴∠B＝180°﹣∠BDC＝180°﹣40°＝140°．【变式5-1】（2022秋•汝州市期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）请说明：AB∥CD；（2）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，又∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD；（2）解：∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，∴∠CGF＝∠GHD+∠D＝80°+30°＝110°，又∵CE∥GF，∴∠C+∠CGF＝180°，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，又∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝70°，∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．【变式5-2】（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°【变式5-3】（2023秋•香坊区校级期中）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD与EC平行吗？请说明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝76°，求∠FAB的度数．【答案】（1）AD与EC平行，理由见解析；（2）∠FAB＝52°．【解答】（1）AD与EC平行，证明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°，∴∠BDC＝76°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC＝∠BDC＝38°（角平分线定义），∴∠2＝∠ADC＝38°（已证），又∵DA⊥FA，AD∥CE，∴CE⊥AE，∴∠AEC＝90°（垂直定义），∵AD∥CE（已证），∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°．考点2：：命题内容定义能判断一件事情的语句，叫做命题。组成命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项表达形式通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。分类题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。【题型6命题的判定】【典例6】（2022秋•白银期末）下列语句是命题的是（）A．你喜欢数学吗？ B．小明是男生 C．大庙香水梨 D．加强体育锻炼【答案】B【解答】解：A、不是命题，故该项错误，不符合题意；B、是命题，故该项正确，符合题意；C、不是命题，故该项错误，不符合题意；D、不是命题，故该项错误，不符合题意；故选：B．【变式6-1】（2022秋•耒阳市期末）下列语句中不是命题的是（）A．两点之间线段最短 B．连接AB C．锐角都相等 D．两条直线不是相交就是平行【答案】B【解答】解：A、对一件事情做出判定，故是命题；B、因为这是一个陈述句，没有对一件事情做出判定，故不是命题，符合题意；C、对一件事情做出判定，故是命题；D、对一件事情做出判定，故是命题；故选：B．【变式6-2】（2022秋•余姚市期末）下列语言叙述是命题的是（）A．画两条相等的线 B．等于同一个角的两个角相等吗？ C．延长线段AO到C，使OC＝OA D．两直线平行，内错角相等【答案】D【解答】解：A、画两条相等的线，没有做错判断，不是命题；B、等于同一个角的两个角相等吗？没有做错判断，不是命题；C、延长线段AO到C，使OC＝OA，没有做错判断，不是命题；D、两直线平行，内错角相等，是命题；故选：D．【题型7真假命题的判断】【典例7】（2023春•翁源县期末）下列各命题的逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补 B．若两个数a+b＝0，则这两个数为相反数 C．对顶角相等 D．如果a2＝b2，那么a＝b【答案】C【解答】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；B、逆命题为如果两个数互为相反数，那么a+b＝0，是真命题，不符合题意；C、逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符合题意；D、逆命题为如果a＝b，那么a2＝b2，是真命题，不符合题意．故选：C．【变式7-1】（2022秋•项城市期末）下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②实数与数轴上的点是一一对应的；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题说法是假命题；②实数与数轴上的点是一一对应的，本选项说法是真命题；③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本小题说法是假命题；④平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称，本小题说法是真命题；故选：B．【变式7-2】（2023秋•农安县期末）在下列各命题中，是假命题的是（）A．在一个三角形中，等边对等角 B．全等三角形的对应边相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．等角的补角相等【答案】C【解答】解：A、在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，不符合题意；B、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；C、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，符合题意；D、等角的补角相等，正确，是真命题，不符合题意．故选：C．【变式7-3】（2022秋•鄄城县期末）下列四个命题中，是真命题的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．无限小数都是无理数【答案】B【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题不是真命题；B、如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，是真命题；C、三角形的一个外角大于不相邻的内角，故原命题不是真命题；D、无限不循环小数都是无理数，故原命题不是真命题；故选：B．【变式7-4】（2022秋•金安区期末）下列命题是真命题的是（）A．若a＜b，b＞c，则a＜c B．若a＜b，则ac＜bc C．若a≠b，则ac≠bc D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c【答案】D【解答】解：若a＝2，b＝3，c＝1，满足a＜b，b＞c，但不能得到a＜c，故A是假命题，不符合题意；若c＜0，当a＜b时，有ac＞bc，故B是假命题，不符合题意；若c＝0，当a≠b时，有ac＝bc，故C是假命题，不符合题意；若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D是真命题，符合题意；故选：D．【题型8命题的改写】【典例8】（2022秋•辉县市期末）把命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．【答案】见试题解答内容【解答】解：命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．故答案为如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．【变式8-1】（2023•零陵区模拟）命题“等边对等角”的逆命题是“等角对等边”．【答案】见试题解答内容【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；故答案为：等角对等边．【变式8-2】（2023秋•成武县期中）将命题“两个锐角的和是钝角”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．【答案】如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．【解答】解：如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．故答案为：如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．【变式8-3】（2023秋•蜀山区期中）已知命题：“对顶角相等．”写出它的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【答案】见试题解答内容【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【题型9命题的证明过程】【典例9】（2022秋•新田县期末）如图，已知点A、D、C、F在同直线上，有下列关系式：①AB＝DE，②BC＝EF，③AD＝CF，④∠B＝∠E．（1）请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果①②③，那么④．（填写序号）（2）证明（1）中命题的正确性．【答案】（1）①②③，④；（2）见解析．【解答】（1）解：①②③，④（答案不唯一，或者①②④，③）（2）证明：∵AD＝CF，∴AD+DC＝CF+DC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠E．【变式9-1】（2022秋•川汇区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③AC＝BC．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．【答案】见解析．【解答】解：选择①②作为条件，③作为结论，命题正确，理由如下：∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD，∵CE平分∠DCA，∴∠ECA＝∠ECD，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC．【变式9-2】（2023春•西华县期末）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．（1）请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．（2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．已知：如图，a⊥l，b⊥l．求证：a∥b．【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．（2）b⊥l，a∥b．【解答】（1）答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．（2）证明：∵a⊥l，b⊥l，∴∠1＝∠2＝90°，∴a∥b．故答案为：b⊥l，a∥b．【变式9-3】（2023春•宿迁期末）如图，点F、D在△ABC的边BC上，点E、G分别在AB、AC上．请你从三个选项：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC，③EF∥AD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．【答案】条件是：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC；结论是③EF∥AD，证明过程见解答．【解答】解：条件是：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC；结论是③EF∥AD，证明：∵∠DGC＝∠BAC，∴DG∥AB，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠BAD＝180°，∴EF∥AD，一．选择题（共10小题）1．（2023•城中区校级开学）下列命题中正确的是（）A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 B．互补的两个角是邻补角 C．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c D．两直线平行，同旁内角相等【答案】A【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，正确，符合题意；B、互补的两个角不一定是邻补角，故原命题错误，不符合题意；C、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故原命题错误，不符合题意；D、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意．故选：A．2．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．135° B．125° C．115° D．65°【答案】C【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1＝65°，∴∠3＝∠1＝65°，∴∠2＝180°﹣∠3＝115°．故选：C．3．（2023春•凤城市期中）下列说法：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④同旁内角相等，两直线平行．正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题正确；②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误；④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误．故选：A．4．（2023•柘城县模拟）如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（）A．60° B．55° C．70° D．65°【答案】D【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠ECD＝50°，∴∠AME＝180°﹣∠EMB＝180°﹣50°＝130°，∵MF平分∠AME，∴∠AMF＝65°．故选：D．5．（2023春•房山区期末）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：选项A中的∠1和∠2是由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同位角，∴由AB∥CD，可以得到∠1＝∠2；选项B中∠1和∠2是由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同旁内角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2；选项C中∠1和∠2是由直线AD与BC被直线AC所截的一组内错角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2；选项C中∠1和∠2是由直线AD与BC被直线DC所截的一组同旁内角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2．故选：A．6．（2023•枣庄二模）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E恰好落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为（）A．10° B．15° C．25° D．30°【答案】B【解答】解：∵FD∥BC，∴∠FDB＝∠ABC＝60°，又∵∠FDE＝45°，∴∠BDE＝60°﹣45°＝15°，故选：B．7．（2023•林州市模拟）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝25°，则∠ADE为（）A．75° B．55° C．65° D．60°【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝25°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝65°，∵DE∥BF，∴∠ADE＝∠ABF＝65°，故选：C．8．（2023春•龙岗区校级期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠2+∠4＝90°；（3）∠3＝∠4；（4）∠4+∠5＝180°；（5）∠1+∠3＝90°．其中正确的共有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A【解答】解：如图，根据题意得：AB∥CD，∠FEG＝90°，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，∠2+∠4＝90°；故（1），（2），（3），（4）正确；∴∠1+∠3＝90°．故（5）正确．∴其中正确的共有5个．故选：A．9．（2023春•古田县期中）若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x﹣20）°，则∠α的度数为（）A．70° B．70°或86° C．86° D．30°或38°【答案】B【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x﹣20）°，∴（2x+10）+（3x﹣20）＝180或2x+10＝3x﹣20，x＝38或30当x＝38时，∠α＝86°，当x＝30时，∠α＝70°，故选：B．10．（2023春•兴业县期中）将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝60°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【解答】解：∵∠1+∠2＝90°，∠2＝30°，∴∠1＝60°，∴∠CAD＝∠1+∠EAD＝150°，∵∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°，∴AC∥DE，∴①的结论正确；∵∠BAE＝90°﹣∠1，∠CAD＝90°+∠1，∴∠BAE+∠CAD＝180°，∴②的结论正确；∵BC∥AD，∴∠3＝∠B＝45°．∴∠2＝90°﹣∠3＝45°．∴③的结论错误；∵∠CAD＝150°，∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°，∴AC∥DE．∴∠4＝∠C．∴④的结论正确．综上所述，正确的结论有：①②④，故选：B．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•尧都区期末）如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝90°．【答案】90°．【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1＝∠AOP．∵AB∥CD，OP∥AB，∴OP∥CD，∴∠2＝∠POC，∵∠AOP+∠POC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90°．12．（2023秋•农安县期末）“若ab＞0，则a＞0，b＞0”是命题（选填“是”或“不是”）．【答案】是．【解答】解：若ab＞0，则a＞0，b＞0是命题，故答案为：是．13．（2022秋•邳州市校级期末）如图，D为△ABC中BA延长线上一点，AE∥BC，若∠1＝∠2，∠BAC＝36°，则∠B＝72°．【答案】72．【解答】解：∵∠BAC＝36°，∠1+∠2+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2＝144°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝72°，∵AE∥BC，∴∠1＝∠B，∴∠B＝72°，故答案为：72．14．（2023春•宣恩县期中）命题“内错角相等，两直线平行”是真（填“真”或“假”）命题．【答案】见试题解答内容【解答】解：“内错角相等，两直线平行”是真命题．故答案为：真．15．（2023秋•江都区期中）如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m、n于点B，C，连接AB，BC．若∠1＝40°，则∠ABC＝70°．【答案】70．【解答】解：∵m∥n，∴（∠1+∠2）+∠3＝180°，∵AB＝A