第1章 解直角三角形 重难点检测卷（解析版）

第1章解直角三角形重难点检测卷注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（22·23·模拟预测）的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【详解】解：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．2．（22·23下·温州·三模）如图楼梯示意图，，，米．则楼梯的高度是（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】根据三角函数定义解答即可．【详解】解：在中，；即（米）．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形-坡度坡角问题，熟悉三角函数的定义是解题的关键．3．（22·23下·温州·二模）如图是一个长方体柜子的俯视图，柜子长(不计柜门厚度)，当柜门打开的角度为时，柜门打开的距离的长度为(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：∵∴∴，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．4．（22·23下·杭州·期中）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可．【详解】解：如图，∴故选C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．5．（19·20上·无锡·期中）如图所示，已知在中，弦的长为，测得圆周角，则直径为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，可证，，由即可求解．【详解】解：如图，连接，

，，∵是直径，∴，()，故选：B．【点睛】本题考查了圆的基本性质，特殊角的三角函数值，掌握基本性质是解题的关键．6．（22·23下·宁波·期中）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为∶，即∶∶，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算即可．【详解】解：坡面的坡度为：，，即，由勾股定理得，，则，解得，故斜坡的水平宽度的长为米．故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．7．（22·23下·温州·三模）图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支撑杆的端点A离地面的高度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等腰三角形的性质求得，在中，利用正弦函数求解即可．【详解】解：在中，，，∴，在中，，，，∴，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质解决问题．8．（22·23下·杭州·阶段练习）如图，在中，，，点P是BC延长线上一点，，且，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，求出，则，求出，分别求出当时，当时的的度数，即可求出的取值范围．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，当时，∴，∴，则；当时，∴，∴，则；∵，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，以及各个特殊角度的锐角三角函数值．9．（22·23下·株洲·期中）中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明．这就是如图所示的“赵爽弦图”，若，则小正方形与直角三角形的面积比为（

）

A． B．1∶1 C． D．1∶5【答案】B【分析】在中，根据锐角三角函数的定义得出，代入，两边平方得出，由“赵爽弦图”，结合图形可知等于小正方形的边长，那么．再根据，即可求解．【详解】解：如图．

在中，∵，∴．∵，∴，∴，即．设，则，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正方形的面积，勾股定理的证明等知识，难度中等．知道“赵爽弦图”中各线段之间的关系是解题的关键．10．（19·20上·周测）如图（1），点为矩形边上一点，点，点同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，它们的运动速度都是，设出发秒时，的面积为，已知与的函数关系的图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②直线的解析式为；③可能与相似；④当秒时，．其中正确的结论个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据图（）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得出、的长度，再根据的长度，可得的长度，从而可得的长度，求出的长度，然后针对各小题分析解答即可【详解】①根据图（）可得，当点到达点时点到过点，点、点的运动速度都是，，，，故①正确；②根据秒面积不变，可得，当点运动到点时，面积变为，此时点走过点路程为，故点的坐标为（，），设直线的解析式为，将点（，）、（，）分别代入得：，解得，故直线的解析式为：，故②正确；③当与相似时，点在上，由，，得，如图所示，，，，，，与不可能相似，故③错误；④时，，此时，，故④错误，综上，可知①②正确，故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数的应用，根据图（2）判断出点到过点时，点到达点是解题的关键．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）11．（22·23下·杭州·二模）若，则锐角的度数是．【答案】/30度【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数．【详解】解：∵，∴，那么锐角的度数为．故答案为：．【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．12．（22·23下·杭州·一模）在中，，，，．【答案】/【分析】根据题意，作出图形，由勾股定理得到，根据三角函数定义直接求解即可得到答案．【详解】解：根据题意，如图所示：

在中，，，，则，，故答案为：．【点睛】本题考查求三角函数值，涉及勾股定理，熟记三角函数值的定义是解决问题的关键．13．（22·23下·杭州·期中）如图，水库大坝截面的迎水坡的坡比（与的长度之比）为4：3，背水坡坡比为1：2，大坝高，坝顶宽，则大坝横截面的周长为m．

【答案】【分析】过C点作与点F，如图，则，，根据坡比的定义得到，，则可计算出，，再利用勾股定理计算出和，然后计算大坝横截面的周长．【详解】解：过C点作与点F，如图，则，，∵水坡的坡比（与的长度之比）为4：3，∴，∴，∴，∵背水坡坡比为1：2，∴，∴，∴，∴大坝横截面的周长．故答案为：．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，又叫做坡比，一般用表示，常写成的形式．14．（22·23下·丽水·二模）一副三角板按图放置，是边的中点，．如图，将绕点逆时针旋转，使得点落在线段上不与点重合，则的长是．

【答案】【分析】连接，证明是等边三角形，进而证明，解，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，

∵是的中点，∴，∴∴，∴是等边三角形，∴，，∴，在中，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．15．（22·23·湖州·中考真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是米．

【答案】4.1【分析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可．【详解】过点作水平线交于点，交于点，如图，

∵是水平线，都是铅垂线．∴米，米，米，∴（米），又根据题意，得，∴，，即，解得：米，∴(米)．故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．16．（22·23下·金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线交x轴于点，交y轴于点C，点D在直线上，且D的横坐标为3，E是线段上的点（不和端点重合），连接，一动点M从点A出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点E的坐标是时，点M在整个运动过程中用时最少．

【答案】【分析】将点代入，可求出直线的解析式，过点作轴，轴点．过点作，交延长线于点．只要能证明当、、三点共线时所用的时间最小即可．【详解】解：如图，过点作轴，轴点．过点作，交延长线于点．

动点从点出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止点在整个运动过程的用时，点在直线上，，解得，直线的解析式为：点的坐标为：，即点在整个运动过程所用的时间是线段与的长度之和，当、、三点共线时，取得最小值．点的横坐标与点的横坐标相等，点在直线上点的坐标为：点的坐标为故答案为：．【点睛】此题主要考查一次函数坐标点的特征，求出函数的解析式，灵活运用函数上的点的特征是解决此题的关键．三、解答题（8小题，共66分）17．（22·23下·金华·阶段练习）计算：．【答案】4【分析】先进行算式平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂运算，再加减运算即可求解．【详解】．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及算式平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．18．（22·23下·温州·阶段练习）如图，长500米的水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽，坝高，斜坡的坡比，斜坡的坡比，

(1)求坝底宽的长(2)修筑这个堤坝需要土方多少立方米？【答案】(1)(2)（立方米）【分析】（1）根据题意可得：，，，，然后根据已知易得，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；（2）先求出梯形的面积，然后再求出修筑这个堤坝需要的土方，即可解答．【详解】（1）解：由题意可得：，，，，∵斜坡的坡比，斜坡的坡比．，，，，，∴坝底宽的长为；（2），，，∴梯形的面积，∴修筑这个堤坝需要土方，∴修筑这个堤坝需要土方立方米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．19．（23·24上·宁波·阶段练习）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以千米/小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．

(1)甲船从处追赶上乙船用了多少时间？(2)求甲船追赶乙船时的速度．（结果保留根号）【答案】(1)小时(2)【分析】（1）过作于点，作交于点，结合题意和三角形的内角和定理求得，，，根据直角三角形中两锐角互余和等角对等边可得，根据甲船的速度和勾股定理求得千米，根据含角的直角三角形的性质可求得的长，根据乙船的速度即可求解；（2）根据勾股定理求得和的长，根据（1）中的结果即可求解．【详解】（1）解：如图，过作于点，作交于点，

∵甲船沿北偏西方向前进，乙船沿东北方向前进，∴，，，∴；∵，∴，∵甲船沿北偏东的方向追赶乙船，∴，∴，∴，∴；在中，，，∴，∴，∵甲船以千米/小时的速度航行小时到达处，∴（千米）；在中，，∴（千米），∴（千米），∵，，∴（千米），且乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，故甲船从处追赶上乙船的时间是：（小时）．（2）解：在中，，∴（千米），故甲船追赶乙船的速度是（千米/小时）．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形中两锐角互余，等角对等边，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．20．（22·23下·温州·阶段练习）如图，在四边形中，，，连结，于点F，G，且F是的中点．

(1)求证：四边形是菱形．(2)当，时，求的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）连接，根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质和勾股定理以及解直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接，

∵，∴，∵F是的中点，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，，∴，∴四边形是平行四边形，∵，，∴，∴平行四边形是菱形；（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，∴，，在中，，∵，∴，即，设，，在中，由勾股定理可得，，即，解得：，或（舍去），∴．【点睛】此题是四边形综合题．关键是根据平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质以及解直角三角形的性质解答．21．（22·23下·绍兴·一模）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．

(1)转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．(2)将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）【答案】(1)；(2)减少了，【分析】（1）作于O．解直角三角形求出即可解决问题．（2）作于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．【详解】（1）如图2中，作于点O．

根据题意有：，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴（），∴（）；（2）作于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，

∵根据（1）求出，，∴，∵，∴，∴（），（），∴（），∴下降高度：（）．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（19·20上·周测）已知：如图，内接于为直径，弦于是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，分别交于点．(1)求证：；(2)若，求的长；(3)求证：．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）由互余证得，进而得到答案．（2）分别求得、、的长，再证得，进而由相似比即可求得的长．（3）根据圆周角定理得到，得到，根据相似三角形的性质得到，推出，于是得到结论．【详解】（1）解：∵是弧的中点，为的直径∴，∵∴∴（2）解：∵，设，则，则∴由垂径定理得∴∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：由垂径定理得∴∵∴∽即．【点睛】本题考查相似三角形、解直角三角形、圆的性质定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．23．（22·23下·温州·期中）如图，四边形的顶点是坐标原点，点、分别落在轴正半轴和轴正半轴上，，，过点作交边于点，点的坐标为．

(1)的长为______，的长为______；(2)在线段上取一点，使得．①如图，连接，当时，求证：四边形是平行四边形；②如图，在线段上取一点，满足，连接．当与四边形中一边平行时，在线段上取一点，使得，求此时的长．【答案】(1)；(2)①见解析

②或或【分析】（1）过点作轴于，根据点的坐标和的度数，在内解直角三角形即可求出的长，过点作于，易得．（2）①求出当时的长，然后根据锐角三角函数求出的度数，判定与平行，即可得证；②分别根据和两种情况进行讨论，计算即可求出的长．【详解】（1）解：如图，过点作轴于，

点的坐标为，，，，，即，，，，过点作于，，，，，又，，，四边形是矩形，，又，，故答案为：；．（2）①证明：，，，在中，，，，，，又，四边形是平行四