八年级数学下册第一章三角形的证明等腰与直角三角形省公开课一等奖新课获奖课件

等腰、直角三角形1/34基础知识自主学习1．等腰三角形：

(1)性质：

相等，

相等，底边上高线、中线、顶角角平分线“三线合一”；

(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一三角形是等腰三角形．2．等边三角形：

(1)性质：

相等，三内角都等于

；

(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°等腰三角形是等边三角形．关键点梳理两腰两底角三边60°2/343．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90°.(1)性质：边与边关系：(勾股定理)a2＋b2＝

；

(2)角与角关系：∠A＋∠B＝

；

(3)边与角关系：若∠A＝30°，则a＝c，b＝c；若a＝c，则∠A＝30°；若∠A＝45°，则a＝b＝c；若a＝c，则∠A＝45°；斜边上中线m＝c＝R.其中R为三角形外接圆半径．

(4)判定：有一个角是直角三角形是直角三角形；假如三角形三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；假如三角形一条边上中线等于这条边二分之一，那么这个三角形是直角三角形．c290°3/34[难点正本疑点清源]

1．等腰三角形特殊性

“等边对等角”是今后我们证实角相等又一个主要依据．“等角对等边”能够判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证实两条线段相等主要依据．等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形拥有等腰三角形全部性质，但不分顶角、底角、腰、底边．因为等边三角形任何一个角都为60°，任何一条边都可看做腰或底边．解答等腰三角形相关问题时，常作辅助线，结构出“三线合一”基本图形．在添加辅助线时，要依据详细情况而定，表示辅助线语句，不能限制条件过多，如一边上高而且要平分这条边；作一边上中线而且垂直平分这条边；作一个角平分线并且垂直对边等等，这些都是不正确．4/34基础自测1．(·济宁)假如一个等腰三角形两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形周长是(

)A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm

答案D

解析这个三角形周长是5＋5＋6＝16或6＋6＋5＝17.5/342．(·铜仁)以下关于等腰三角形性质叙述错误是(

)A．等腰三角形两底角相等

B．等腰三角形底边上高、底边上中线、顶角平分线互相重合

C．等腰三角形是中心对称图形

D．等腰三角形是轴对称图形

答案C

解析等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．6/343．(·芜湖)如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE交点，CD＝4，则线段DF长度为(

)A．2

B．4C．3

D．4

答案B

解析在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，可得AD＝BD，易证△BDF≌△ADC，所以DF＝CD＝4.7/348/349/345．(·鸡西)如图，在Rt△ABC中，AB＝CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连结DE、EF.以下结论：①tan∠ADB＝2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD＝BF；⑤S四边形DFOE＝S△AOF，上述结论中正确个数是(

)A．1个B．2个C．3个D．4个答案C10/3411/3412/34题型分类深度剖析【例1】

(1)方程x2－9x＋18＝0两个根是等腰三角形底和腰，则这个三角形周长为(

)A．12B．12或15C．15D．不能确定

答案C

解析解方程x2－9x＋18＝0，得x1＝3，x2＝6，周长为3＋6＋6＝15，应选C.(2)假如等腰三角形一个内角是80°，那么顶角是________度．

答案80或20

解析顶角是80°，或当底角是80°时，顶角是180°－2×80°＝20°.探究提升在等腰三角形中，假如没有明确底边和腰，某一边能够是底，也能够是腰．一样，某一角能够是底角也能够是顶角，必须仔细分类讨论．题型一等腰三角形相关边角讨论13/34知能迁移1

(1)(·株洲)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.①求∠ECD度数；②若CE＝5，求BC长．14/34解①解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36°.

解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90°.

又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD＝∠A＝36°.15/34②解法一：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵∠ECD＝∠A＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°，∴∠BEC＝180°－36°－72°＝72°＝∠B，∴BC＝EC＝5.

解法二：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.16/34(2)(·烟台)等腰三角形周长为14，其一边长为4，那么，它底边为___________________．

答案4或6

解析①等腰三角形底边为4；②等腰三角形两腰为4时，则底边等于14－4－4＝6.17/34题型二等腰三角形性质【例2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，且AE＝BF，试判断△DEF形状．18/34解题示范——规范步骤，该得分，一分不丢！解：连接AD，在等腰Rt△ABC中，∵AD是中线，∴AD⊥BC，∠DAE＝∠BAC＝45°，AD＝BD.

又∵∠B＝∠C＝45°，∴∠B＝∠DAE.[2分]

在△BDF和△ADE中，∴△BDF≌△ADE(SAS)．[4分]∴DF＝DE，∠1＝∠2.

又∵∠3＋∠1＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°.∴△DEF也是等腰直角三角形．[6分]19/34探究提升作等腰三角形底边中线，结构等腰三角形“三线合一”基本图形，是常见辅助线作法之一．20/34知能迁移2已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC距离分别为DE、DF.当D点在什么位置时，DE＝DF？并加以证实．21/34解当点D在BC中点时，DE＝DF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵点D是BC中点，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.22/34题型三等边三角形【例3】

(1)已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC度数．23/34解∵AP＝PQ＝AQ，∴△APQ是等边三角形．∴∠PAQ＝60°，∠APQ＝60°.∵AP＝BP，∴∠B＝∠BAP＝×60°＝30°.

同理：∠C＝∠CAQ＝30°，∴∠BAC＝30°＋60°＋30°＝120°.24/34(2)(·大兴安岭)如图所表示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点

O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则以下结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC.

其中正确结论个数(

)A．1个B．2个C．3个D．4个

答案D25/34解析由△BCD≌△ACE，可得①AE＝BD成立；由△ACG≌△BCF，可得②AG＝BF成立；∵△ACG≌△BCF，∴CG＝CF，又∠ACD＝60°，∴△FCG是等边三角形，∴∠CFG＝60°＝∠ACB，∴③FG∥BE成立；过C画CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别是M、N，∵△BCD≌△ACE，∴CM＝CN，∴点C在∠BOE角平分线上，OC平分∠BOE，即④∠BOC＝∠EOC成立．26/34探究提升在解题过程中要充分利用等边三角形特有性质，每个角都相等，每条边都相等，这能够让我们轻松找到证实全等所需条件．27/34知能迁移3如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.

(1)求证：AD＝CE；

(2)求∠DFC度数．28/34解(1)在等边△ABC中，

AB＝AC，∠BAC＝∠CBA＝60°，又BD＝AE，∴△ABD≌△CAE，∴AD＝CE.

(2)∵△ABD≌△CAE，∴∠BAD＝∠ECA.∵∠DFC是△AFC外角，∴∠DFC＝∠ECA＋∠DAC

＝∠BAD＋∠DAC

＝∠BAC＝60°.29/34答题规范考题再现在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC度数．学生作答

解：如图1，在Rt△BHD和Rt△ACD中，∠C＋∠CAD＝90°，∠C＋∠HBD＝90°，∴∠HBD＝∠CAD.