全国高中数学赛课一等奖作品教学设计模板二

全国高中数学赛课一等奖作品教学设计精品模板

（二）

目录

全国高中数学褰课一等奖作品25教案：《直线的倾斜角和斜率》.doc

全国高中数学褰课工奖作品26然：《醴与图的隰^》.doc

全国高中数学褰课T奖作品27教案：《直线与平面垂直的判定》.doc

全国高中数学褰课T奖作品28般:回归分析.doc

全国高中数学赛课T奖作品29教案:《循斶构（二）》.doc

全国高中数学褰课T奖作品30教案：《数学归纳法及其应用举例》.doc

全国高中数学赛课T奖作品31教案：《数学归纳法》.doc

全国高中数学赛课T奖作品32教案：《三角函数模型的简单应用》.doc

全国高中数学褰课一等奖作品33教学设计:《数列极限》.doc

全国高中数学褰课工奖作品3瞰集：《三角函数的诱导公式》.doc

全国高中数学赛课T奖作品35教学设计：《三角函数的诱导公式》.doc

全国高中数学褰课T奖作品3儆学设计：《简单的线聊划问题》doc

全国高中数学褰课一等奖作品37教案:直线方程的概念与直线的斜率,doc

全国高中数学褰课工奖作品39蟾：《三角函数图象》.doc

全国高中数学褰课工奖作品标：《同角云函数的基本痂》.doc

M全国高中数学褰课T奖作品然：彝不等式.doc

叵全国高中数学褰课碧奖作品教案及教学设计：《直线的豳角和斜率》.doc

全国高中数学赛课一等奖作品教案及说课：充分条件与必要条件.doc

全国高中数学褰课一等奖作品教案及说课稿：《空间中直线与直线的位置关系》doc

全国高中数学褰课一等奖作品^!^»课稿：等可能性耕的蜘oc

全国高中数学赛课一等奖作品教学骸：《函数的崎.doc

全国高中数学赛课一等奖作品教学设计：《假不同增长函数模型》.doc

全国高中数学赛课一等奖作品教学设计：《球面距离》.doc

全国高中数学褰课一等奖作品教学设计：《正弦定理》doc

全国高中数学褰课一等奖作品教学骸：简单随机抽样.doc

教学设计：§7.1直线的倾斜角和斜率

（教材：人教版全日制普通高级中学（必修）数学第二册（上）

教学

教龄

师校

将*授课

学科数学年级高二课题直线的倾斜角和斜率

本课是人教版数学必修第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的

开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代

数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线

位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直

角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法•本课

教

有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，

材

分课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念：当直线与X

析轴相交时，取X轴作基准，X轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角，当直

线与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为零。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置

关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正

确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。“坐标法”思想与数形结合思想

是本课内容蕴含的核心思想。

授课班级中，大部分学生有一定的学习能力，数学基础较好，部分学生喜欢学数学。虽

学

然学生能用数学语言表达自己的观点，但是这种表述大多时候仅仅停留在感性层面，不严谨，

情

不完整，学生还没有独立抽象、概括出一个新概念的能力。在此之前，学生已经接触过直线：

分

平面内，两点确定一条直线；一次函数的图象是不与x轴，y轴平行或重合的直线。同时他

析

们也接触过坡度的概念。这些就为倾斜角和斜率概念的得出打下了基础。

14、知识与技能：

正确理解直线的倾斜角和斜率概念，并能应用过两点的直线的斜率公式解决简单问题。

教

14、过程与方法：

学

通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能

目

力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力。

标

14、态度情感与价值观：

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学

生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度。

教教

抽象概括直线的倾斜角和斜率概念，探究倾斜角概念形成，斜率概

学学

发现过两点的直线的斜率公式。念的理解。

重难

点点

教学师生互动、引导学生主动

多媒体课件教学方法

手段发现探索

教学过程

教学

教学内容师生互动设计意图

环节

生：相互讨论设计意图：通

完成引例.

过对已有知识

1、在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，师：引导学

及思想方法的

这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数生分析归纳概

回忆，寻找新

形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问括得出结论.

的知识“生长

导题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方

点”，引导学生

法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，

用“坐标法”

入它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。

师生：共同的思想来思考

2、问题：直线上点的坐标与方程的解之间有什么关系？

总结出直线方新的问题。

程的概念。同时使学生明

问题：如何用代数的方法表示平面中简单图形一一直线？

确本课学习的

内容。

问题：如图1,对于平面直角坐标系内的一直线1,你认明确思维方

为它的位置由哪些条件确定？向，探索确定

一指定学生回直线位置的几

答，教师给与何要素。

探

补充、纠正

图1

究

引导学生发现

问题:如图2,在直角坐标系中，过点P的不同直线的区

新师生：引导学过定点的不同

别在W明里？

生发现：两点直线，其倾斜

知确定一条直程度不同。从

线，过一点不而发现直线上

能确定一条直一点和直线的

图2线。倾斜程度也能

确定一条直

线。

生：观察图形，探索描述直线

相互讨论，但的倾斜程度的

概

是在倾斜角定几何要素，由

问题：在直角坐标系中，任何一条直线与轴都有一个相

X义得出时会有此引出倾斜角

念对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直

困难。的概念。

线与X轴的相对倾斜程度呢？

形

师：给学生鼓让学生明确倾

依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？

励、引导，师斜角的取值范

成

生共同得出倾围是0°Wa

斜角概念。<180°

告知目标，明

从实例入手，确思维的方

才'X引出用倾斜角向，将几何要

的正切值表示素代数化。

1

图3斜率。

1、问题：我们己经给出了确定平面直角坐标系中一条直

线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何

要素呢？

在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？

组2、问题：（1）观察图中楼梯，我们发现坡越陡，坡面与

地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数师：引导学生基于学生的客

织量变化有关？坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高在生活中举观现实，结合

量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量例，山坡,楼已有的生活经

探和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子梯等，教师楼验寻找几何要

来表示它们之间的关系？梯的教学情素代数化的方

究景。法。

上：

探索描述直线

------------------1BAD

A图5D3图6生：探索、交的倾斜程度的

流。用数学语代数表示，由

言表达自己的此引出斜率概

发现。念

图7ED

3,问题：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”

的概念，“坡度”实际就是“倾斜角a的正切值”，由此你

认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

组

学生自己完成沟通数形关

织

然后教师组织系，充分利用

同桌间互相交正切函数的图

探4、任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定

流，共同得出象，加深概念

不相同吗？

结论。理解。明确可

究是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？

以用斜率表示

（倾斜角与斜率一一对应吗？）

教师指定学生直线的倾斜程

强调易犯的错度。但根据正

误切函数的定义

域，并非所有

的直线都有斜

率

J兀

/图8

组

织5、推导过两点的直线的斜率公式：

问题：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，

让学生自己推

探斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点指定学生回

导出过两点的

Pl(XlM),P2(X2,以)(其中X1#X2)的坐标来表示,你能自己答，如果有错

直线的斜率公

究导出它们的关系吗？误，教师组织

式。

学生纠正。

问题：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗？师生：总结两通过自己的探

点式斜率计算索，完善两点

八1P公式：式斜率公式

TD___________上—/2-/1

•12--1

k=心-勺

h-八

「X°\(EWX2),检

TH图12图11（xiH及）o验得到公式与

P\,2两点的顺

序无关。

【例1】判断下列命题的真假：

1.任何一条直线都有倾斜角，所以任何一条直线都有斜

率；

帮助学生巩固

2.直线的倾斜角与直线的斜率一一对应；

学生回答基本概念，发

3.直线的倾斜角为a，贝Using20；

练现易错点。

4.直线的倾斜角越大，则直线的斜率也越大；

习5.直线斜率的范围是(-8,+»)

巩

固

【例2】已知4(3,2),8(-4,1),C(0,-1)，求直线

AB,BC,。的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是设计意图：根

据斜率的定义

钝角？

式，结合图象，

3万熟悉倾斜角和

变式L直线的斜率为k,倾斜角为a,若4Va<4,斜率的关系。

则"的范围是(

)根据斜率的定

A.(-1,1)B.(-8-1)U(1,+8)C.[-1,1]D.义式，结合图

练(-8,-1]U[1,+8)师：引导学生象，熟悉倾斜

充分利用正切角和斜率的关

习函数的图象解系。

变式2.设直线的斜率为k,倾斜角为a,若TCAQ,则a决问题，数形

巩的取值范围是()结合。

固万万。my丸

(-,4,)B.

A.c.(o,Z)要求学生画给学生创造一

图，体验数形个动手探究、

K3>10,小佟，万结合的思想方学以致用的机

[4)14J

U(2,4)D.法。会，要求学生

画图，体验数

形结合的思想

方法。熟练应

［例3］在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别用两点式斜率

为1,-1,和2的直线。公式。直接利

用斜率定义式

求解，熟悉斜

率公式，并体

Ph验斜率与倾斜

角之间的关系

1

教师根据课堂

【练习】对斜率进一步

实际时间，确

3巩固。

已知直线的倾斜角为a,若sina=5,求此直线的斜率。定练习与否

学生思考，回

答让学生归纳

出刻画直线倾

提问：斜程度的两种

方法：倾斜角

（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有什

（形）和斜率

么关系？总结本课所学

课（数）。利用确

知识，培养学

堂（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？定直线的两种

生归纳知识能

小方法，归纳出

⑶从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度,到斜率（数）、力及反思的习

结求斜率的两个

惯。

也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数计算公式。在

学思想？倾斜角和斜率

相互转化的过

程中体现了数

形结合的数学

思想。强调“坐

标法”是解决

解析儿何问题

的基本方法。

通过训练，巩

1.已知直线片xsin求该直线倾斜角范围。固本课所学知

识，检测运用

作2.在x轴上有一点夕与。（2,招）倾斜角为150”,求点〃所学知识解决

业问题的能力。

坐标。学生独立完成

扩

展3.求证：点A(-2,3),B(7,6),C(4,5)在一条训练学生应用

直线上。基础知识的能

力，培养学生

探究的兴趣，

加深学生思

考。

课题三、直线的斜率

练习

一、直线方程

小结

板

书四、斜率公式

设二、直线的倾斜角

作业

计

§2.3直线与圆的位置关系

教材分析：

"直线与圆的位置关系”是北师大版必修（ID第二章第二节《直线与圆，圆与圆的位置

关系》第一课时。

学生在初中的学习中已了解了直线与圆的位置关系，并知道可以利用直线与圆交点的

个数以及圆心到直线距离d与圆的半径r的关系判断直线与圆的位置关系，但是在初中学习

时，这两种方法却以结论性的形式呈现。在高一学习了解析几何以后，要求学生掌握如何用

直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法，解决问题的方法主要是解析法。其中一种

判断方法是初中学习的基础上结合高中所学的点到直线的距离公式，求出圆心的到直线的距

离d后，与圆的半径r比较，从而做出判断；另一种方法是类比求两条直线交点的方法，联

立直线与圆的方程，通过解方程组，根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系。由于考

虑到圆这个图形性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽力选择简捷途径。课堂师生着力

解决用圆心到直线的距离d与圆半径r的大小比较来判断直线与圆的位置关系。由于前面学

生学习了用解方程的思想求两条直线交点的方法，也为后续学习直线与圆锥曲线的位置关系

奠定基础，也为了进一步培养学生自主探究的能力，所以把联立方程组，判断方程组解的个

数，来确定直线与圆的位置关系，留给学生自主探究，教师做适当的点拨总结。

这样处理教材，既符合学生的认知结构特征，也抓住了教材重点内容，强化了学生用

解析法解决问题的意识，也起到逐步转变学生学习方式的作用。

§2.3.直线与圆的位置关系

三维目标：

（―）知识目标

1.理解直线与圆的位置关系.

2.掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数来判断直

线与圆的位置关系的方法.

（二）能力目标

1.通过两种方法的判断直线与圆位置关系，进一步培养学生用解析法解决问题的能力.

2.通过两种方法的比较，进一步培养学生分析问题和灵活应用所学知识解决问题的能

力.

（三）情感与价值观

通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，使学生在学

习活动中获得成功的体验.锻炼克服困难的意志，建立自信心.

教学重点：用解析法研究直线与圆的位置关系.

教学难点：学生体会和理解用解析法解决问题的数学思想.

课时安排：1课时

教具准备：多媒体课件

教学过程：

（一）创设问题情境，导入新课

［问题1］：初中我们已学习了直线与圆的位置关系，请同学们回顾直线与圆有哪几种

位置关系？并画图表示。

［学生活动］:回顾交流，并动手作图。

［教师明晰］:直线与圆有三种位置关系，分别是相交、相切、相离，如图：

（相交）（相切）（相离）

［问题2］：对上述直线和圆的三种不同位置关系，你将用怎样的方法判断是哪一种

位置关系呢？试说说.

［师生概括］:

①定义法：看直线与圆公共点的个数;

公共点的个数012

位置关系相离相切相交

②比较法：圆心到直线的距离d与圆的半径r作比较;

d与r的比较d>rd=rd<r

位置关系相离相切相交

［说明］:师生共同讨论后，教师利用多媒体课件给出上述表格，以实现对直线与圆

位置关系的归纳小结。

（二）迁移问题情境，探究新知

［提出问题］：如果将上述图形置于直角坐标系中，对直线与圆位置关系的判断你是否有

新的想法呢？（教师利用多媒体课件给出引例）

引例已知直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=i,判断它们的位置关系.

［分析处理］:引例我先只给出图形

1、观察图形，你能判断出直线

与圆是那种位置关系吗？

2、当学生得出结论后，教师反-0

问：你的结论可靠吗？依据是什

么？如果不可靠那又该如何准确判断呢?

3、在上述直角坐标系中，直线与圆都有他们的方程（课件给1

那么能否利用方程准确判断他们的位置关系呢？

4、让学生自主探索，讨论交流，并阐述自己的解题思路。

［教师点拨］:1、当已知了直线与圆的方程之后，圆心坐标和半径r易得到，问题的关键

是如何得到圆心到直线的距离d,他的本质是点到直线的距离，那么

我们可以直接利用点到直线的距离公式求d（学生通过计算得出结

论）。

2、类比前面所学利用直线方程求两直线交点的方法，联立直线与圆的方

程，组成方程组，通过方程组解得个数确定直线与圆的交点个数，进

一步确定他们的位置关系。

［概括总结］:1、学生明确两种解题思路后，教师让学生对比两种解法，那种更简捷，明

确本节课主要用比较d与r的关系来解决这类问题，对用方程组解的个

数的判断方法，要求学生课外做进一步的探究，下一节课汇报。

2、师生回到本环节开始提出的问题，共同分析，总结解决同类问题的一

般方法。

（三）、例题示范，巩固应用

教师用多媒体课件给出例5,对第（1）问明确解题思路后，教师板书解题过程，以规

范学生的解题步骤；对第（2）问学生独立完成。

解；已知圆的圆心为半径/'=1.

点C到直线X-y-2=0的距离为

d=

因为d>r,所以直线与圆相离.

［课堂训练］:已知直线/：x+2y-l=0,圆C：(x—1)2+(y_1)2=1,判断直线/与圆C的

位置关系.

解：已知圆的圆心为C(l,l),半径r=l.

点C到直线x+2y-l=0的距离为

,|l+2xl-l|2A/5

a=——.=

V12+225

因为d<r,所以直线与圆相交。

(四)变式探究，强化方法

［变式1］：圆C的方程为(x-l)2+()，-1)2=〃2(/>0),直线/的方程为x-y-2=0,当r

为何值时，直线/与圆C相交、相切、相离？

［处理方法］:①教师让学生独立思考，自主探究，并与小组同学探讨；

②教师积极参与学生讨论中，鼓励学生寻求解决问题的方法。

［概括总结］:①让学生展示自己探究的过程、结论，并及时鼓励；

②教师概括总结解题方法、技巧，用多媒体课件展示解题过程。

解：已知圆的圆心为半径r.

圆心c到直线/的距离d==拉，

.•.当r>"=五时，直线/与圆C相交；

...当r=4=五时，直线/与圆C相切；

当厂<4=拒时，直线/与圆C相离；

［变式2］：已知圆C的方程为：(x-1产+(y-1/=1,直线/的方程为气一了一2=0,

火为何值时，直线/与圆C相交、相切、相离？

［处理方法］:同变式1。

［概括总结］:同变式1

解：已知圆的圆心为C(l,l),半径r=l.

K-l-2||^-3|

圆心C到直线/的距离4=

.•.当《=华3<1时,即々>3时，直线/与圆C相交;

7F7T3

.•.当d=^H=i时,即k=d时，直线/与圆C相切;

7F7T3

.•.当时，即A<△时，直线/与圆C相离；

（五）课堂练习

见课本P83（1）（2）

（六）课堂小结

通过本节课的学习，同学们有哪些收获？

（1）我们共同探究了直线与圆的位置关系的新的判断方法一一解析法.

（2）解析的方法给我们表示、研究、解决几何问题的新视角，开辟了新途径.

（3）事物是相互联系的.

（七）作业

必做题：P85A组6

选做题：P86B组1,2

（八）板书设计

直线与圆的位置关系

解：己知圆的圆心为C（l,l），半径r=1.

点C至镇线x—y—2=0的距离为

（1）两个公共点一个公共点无公共点

又r=l,

(2)(dvr)(d=r)(d>r)

g：Ax+By+C=O圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2所以可知直线与圆相离

圆心C(a,b)到I的距离

|nA+bB+C|

a=-----.--

y/A2+B2

教学反思：

本节课是在初中学习了直线与圆的位置关系的基础上进行的，也为后续学习直线与圆

锥曲线的位置关系奠定了基础，本节的主题是直线与圆的位置关系，在解析几何中，直线与

圆的位置关系的判断方法是一个非常重要的知识，可以对学生的思维有一个很好的锻炼，也

将解析法这种重要的数学思想传输给学生.首先，一开始的复习提问全面又突出重点，特别

是''初中学习的如何判断直线与圆的位置关系？”这个问题，为学生思考提供了很好的引导.

其次对于例题的选择有很高的要求，好的例题是一个好教案的重要保证，在例题设计方面，

由浅入深，从思维容量上层层递进，对学生的思考和分析都有很好的引导作用，通过例5、课

堂练习，对直线与圆的三种位置关系判断方法作了巩固，是每个学生都必须也能掌握的，但

这两个题是基础题也并不是平淡无奇的题，它不但印证了判断直线与圆的位置的方法，而且

同时又强化了利用解析法解题思想方法，变式题型是进一步强化了学生对直线与圆的位置关

系的判断方法，又培养了学生的应用意识，让学生通过具体的练习，通过自主的思考、研究,

进一步来体会解析法对我们解题和研究的作用，例题，变式题的设计都给学生留下了足够的

讨论思考交流空间，组织学生一起思考起来，对应用的加强更是体现了“分类活动，激发潜

能”的基本要求.

课题：直线与平面垂直的判定（一）

【教学目标】

知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生理解直线与平面垂直的定义和

判定定理，并能对它们进行简单的应用；

过程与方法目标：通过对定义的总结和对判定定理的探究，不断提高学生的

抽象概括和逻辑思维能力；

情感态度与价值观目标：通过学习，使学生在认识到数学源于生活的同时，

体会到数学中的严谨细致之美，简洁朴实之美，和谐自然之美，从而使学生更加

热爱数学，热爱生活.

【教学重点及难点】

教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用.

教学难点：对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究.

【教学方法】

教法：启发诱导式

学法：合作交流、动手试验

【教具准备】

计算机、多媒体课件、三角形卡纸

【教学过程】

一、直线与平面垂直定义的构建

1、联系生活一一提出问题在复习了直线与平面的三种位置关系后，给出几幅

现实生活中常见的图片，让学生思考其中旗杆与地面、竖直的墙角线与地面、大

桥的桥柱与水面之间的位置关系属于这三种情况中的那一种，它们还给我们留下

了什么印象？从而提出问题：什么是直线与平面垂直？

设计意图：使学生意识到直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情

况并引出本节课的课题.另外这样设计也吸引了学生的注意力，激发了学生的好

奇心，使其主动参与到本节课的学习中来.

2、创设情境一一分析感知播放动画，引导学生观察旗杆和它在地面上影子的

位置关系，使其发现：旗杆所在直线/与地面所在平面。内经过点B的直线都是

垂直的.进而提出问题：那么直线/与平面a内不经过点B的直线垂直吗？

设计意图：在具体的情境中，让学生去体会和感知直线与平面垂直的定义.

3、总结定义一一形成概念由学生总结出直线与平面垂直的定义，即如果直线

/与平面c内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相垂直.引导

学生用符号语言将它表示出来.然后提出问题：如果将定义中的''任意一条直线”

改成“无数条直线”，结论还成立吗？

设计意图：让学生通过思考和操作（用三角板和笔在桌面上比试），加深对定

义