人教版(新教材)高中物理选择性必修1学案3：2 5 实验：用单摆测量重力加速度

人教版（新教材）高中物理选择性必修第一册PAGEPAGE22.5实验：用单摆测量重力加速度〖实验探究〗一、实验目的1．明确用单摆测量重力加速度的原理和方法。2．学会用单摆测量当地的重力加速度。3．知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。4．会用平均值法、图像法求解重力加速度。二、实验原理单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可以看成简谐运动。其周期为T＝2πeq\r(\f(l,g))，由此可得g＝eq\f(4π2l,T2)。据此，只要测出摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度值。三、实验器材铁架台及铁夹、金属小球(带有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺。四、实验步骤1．做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结。然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记。2．测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量出摆球的直径d，则单摆的摆长l＝l线＋eq\f(d,2)。3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过最低位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期T＝eq\f(t,N)。4．变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。五、数据处理1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g值，最后求出g的平均值。设计如下所示实验表格实验次数摆长l/m周期T/s重力加速度g/(m·s－2)重力加速度g的平均值/(m·s－2)1g＝eq\f(g1＋g2＋g3,3)232．图像法：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l，作出T2l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴。其斜率k＝eq\f(4π2,g)，由图像的斜率即可求出重力加速度g。六、误差分析1．单摆的振动不符合简谐运动的要求引起的系统误差(1)单摆不在同一竖直平面内振动，成为圆锥摆。(2)振幅过大，摆线偏离竖直方向的角度超过5°。2．测定摆长l时引起的误差(1)在未悬挂摆球前测定摆长或漏加摆球半径。(2)测摆长时摆线拉得过紧或以摆球的直径与摆线长之和作为摆长。(3)悬点未固定好，摆球摆动时出现松动，使实际的摆长不断变长。3．测定周期时引起的误差(1)开始计时和停止计时，秒表过早或过迟按下。(2)测定N次全振动的时间为t，次数N数错。(3)计算单摆的全振动次数时，未从摆球通过最低点位置时开始计时。七、注意事项1．摆线要选1m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数。2．测量摆长时要先悬挂好摆球后再测量，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细线会发生形变。3．摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响。4．摆角要小于5°，不要过大，因为摆角过大，单摆的振动不是简谐运动，公式T＝2πeq\r(\f(l,g))不适用。5．单摆要保证在同一个竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆。6．计时要从摆球经过平衡位置开始计时，不要从摆球到达最高点时开始计时。要准确记好摆动次数，不要多记或少记。〖典例精析〗例1一位同学用单摆做测量重力加速度的实验，他将摆球挂起后，进行了如下步骤(1)测摆长l：用米尺量出摆线的长度。(2)测周期T：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按秒表停止计时，读出这段时间t，算出单摆的周期T＝t/60。(3)将所测得的l和T代入单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))中，算出g，将它作为为实验的最后结果写入报告中去。上面一个步骤中，若有遗漏或错误的地方，请在下面的横线做相应的改正，若没有，就不用填写(不要求进行误差计算)(1)______________________________(2)______________________________(3)______________________________例2某同学利用单摆测定当地的重力加速度。(1)实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、秒表、游标卡尺。除此之外，还需要的器材有__________。A．长度约为1m的细线 B．长度约为30cm的细线C．直径约为2cm的钢球 D．直径约为2cm的木球E．最小刻度为1cm的直尺 F．最小刻度为1mm的直尺(2)该同学在测量单摆的周期时，他用秒表记下了单摆做50次全振动的时间，如图甲所示，秒表的读数为________s。(3)下表是该同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。组次123摆长l/cm80.0090.00100.0050次全振动时间t/s90.095.5100.5振动周期T/s1.801.91重力加速度g/(m·s－2)9.749.73请计算出第3组实验中的T＝______s，g＝______m/s2。(4)该同学经测量得到多组摆长l和对应的周期T，画出，lT2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图乙所示。则当地重力加速度的表达式g＝________。例3伽利略曾经提出和解决了这样一个问题：一根细绳悬挂在黑暗的城堡中，人们看不到它的上端，只能摸到它的下端。为了测出细绳的长度，在细绳的下端系一个金属球，使之在竖直平面内做小角度的摆动。主要实验步骤如下：①将一小球系于细绳的下端制成单摆，让单摆在竖直平面内做小角度摆动；②当小球通过平衡位置时启动秒表(记为第1次)，在小球第n1次通过平衡位置时止动秒表，读出秒表时间为t1；③将细绳截去一段，重复实验步骤①②，测出小球n2次通过平衡位置的时间为t2。回答下列问题：(1)要达到测出细绳长度的目的，首先要测量当地的重力加速度。测量重力加速度还需要测量的物理量是______(填序号字母)。A．小球的质量m B．细绳摆动的角度θC．截去的细绳长度Δl D．小球的直径d(2)测得的当地重力加速度g＝__________。(3)细绳截去一段前，细绳的长度L＝____________(当地重力加速度用g表示，小球的直径用d表示)。〖随堂演练〗1．在利用单摆测定重力加速度的实验中，某同学测出了多组摆长和运动周期，根据实验数据，作出T2l的关系图像如图所示。(1)为了减小测量误差，如下措施中正确的是________；(填字母)A．单摆的摆角应尽量大些B．摆线应尽量短些C．选体积较小、质量较大的摆球D．测量周期时，应取摆球在最高点时做为计时的起、终点位置(2)图像不过坐标原点，原因可能是________；(3)虽然实验中出现了疏漏，但根据图像仍可算出重力加速度，其值为________m/s2(结果保留三位有效数字)。2．某同学利用单摆测量重力加速度。(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________。A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约为1m的单摆。实验时，由于仅有量程为20cm、精度为1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL。用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________。3．(1)物理课外小组探究“用单摆测定重力加速度”实验，他们依照教材实验直接测量单摆摆线长l0、摆球直径d和单摆完成n次全振动的时间t，则该单摆的摆长为________，振动周期为________。(2)他们测出不同的摆长l所对应的周期T，在进行数据处理时：①甲同学以摆长l为横坐标，周期T的平方为纵坐标作出了T2l图像，若他测得的图像的斜率为k，则测得的重力加速度g＝________。若甲同学测摆长时，忘记测摆球的半径，则他用图像法求得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”)。②乙同学根据单摆振动的周期公式计算重力加速度，若乙同学测摆长时，也忘记了测摆球的半径，则他测得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”)。(3)某小组测量5种不同摆长下单摆的振动周期，以摆长l为横坐标、周期T的平方为纵坐标，作出T2l图像如图所示，利用此图像求出的重力加速度为________m/s2(保留三位有效数字)。4．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度的大小。(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。A．由于没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出lT2图像，如图乙所示。①实验得到的lT2图像是________；②小球的直径是________cm；B．在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值______。(填“偏大”“偏小”或“不变”)(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图丙所示，将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丁所示的vt图线。A．由图丁可知，该单摆的周期T＝________s；B．更换摆线长度l后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2l图线(l为摆线长)，并根据图线拟合得到方程T2＝4.04l＋0.024。由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2。(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁例1〖解析〗(1)摆长不等于摆线的长度，所以要用游标卡尺测出摆球直径d，摆长l等于摆线长与小球半径之和；(2)一个周期内两次通过最低点，按秒表开始计时，并记数为1，直到摆球第60次通过最低点时，所以共有29.5次全振动，所以T＝eq\f(t,29.5)；(3)不能通过单独一次的实验数据作为最终结果，g应多测几次，然后取平均值作为实验最后结果。〖答案〗(1)要用游标卡尺测出摆球直径d，摆长l等于摆线长与摆球半径之和(2)T＝eq\f(t,29.5)(3)g应测量多次，然后取平均值做实验结果例2〖解析〗(1)细线长度要远大于小球直径；小球需要体积小、质量大，所以选钢球；为了提高测量的精确度，选择毫米刻度尺。故选A、C、F。(2)秒表的读数为95.1s。(3)周期为T＝eq\f(t,n)＝eq\f(100.5,50)s＝2.01s，根据周期公式得g＝eq\f(4π2l,T2)，代入数据得g＝9.76m/s2。(4)根据周期公式得l＝eq\f(gT2,4π2)，所以图像的斜率为eq\f(lB－lA,TB2－TA2)＝eq\f(g,4π2)，解得g＝4π2eq\f(lB－lA,TB2－TA2)。〖答案〗(1)ACF(2)95.1(3)2.019.76(4)4π2eq\f(lB－lA,TB2－TA2)例3〖解析〗(2)根据公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，当小球通过平衡位置时启动秒表(记为第1次)，在小球第n1次通过平衡位置时停止秒表，读出秒表时间为t1，有eq\f(t1,\f(n1－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2),g))，将细绳截去一段，重复实验步骤①②，测出小球n2次通过平衡位置的时间为t2，有eq\f(t2,\f(n2－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2)－Δl,g))联立两式得g＝eq\f(π2Δl,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t1,n1－1)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,n2－1)))2)。(1)由此式可知，需要测量的物理量有Δl，故选C。(3)根据公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，细绳截去一段前，有eq\f(t1,\f(n1－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2),g))，细绳的长度L＝eq\f(gt12,π2(n1－1)2)－eq\f(d,2)。〖答案〗(1)C(2)eq\f(π2Δl,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t1,n1－1)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,n2－1)))2)(3)eq\f(gt12,π2(n1－1)2)－eq\f(d,2)〖随堂演练〗1.〖解析〗(1)单摆在摆角小于5°时的运动是简谐运动，所以单摆的摆角不能太大，故A错误；为了减小实验误差，摆线应适当长些，故B错误；为了减小空气阻力对实验的影响，摆线的长度应远大于摆球的直径，所以应选择质量大，体积小的实心小球作为摆球，故C正确；为了减小测量周期的误差，测量周期时，应取摆球通过最低点时为计时的起、终点位置，故D错误。故选C。(2)图像不过坐标原点，将图像向右平移1cm就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1cm，故可能是测摆长时，仅测了摆线长度而漏测了小球半径。(3)由单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l，图像斜率k＝eq\f(4π2,g)，结合图像数据得到eq\f(4π2,g)＝eq\f(4,1)＝4，则求得g≈9.86m/s2。〖答案〗(1)C(2)测摆长时，仅测了摆线长度漏测了小球半径(3)9.862.〖解析〗(1)组装单摆时，悬线应选用不易伸长的细线；摆球选择体积小、密度大的摆球；单摆摆动时在同一竖直面内摆动；摆的振幅尽量小一些。选项B、C正确。(2)设单摆的周期为T1时摆长为L1，周期为T2时摆长为L2则T1＝2πeq\r(\f(L1,g))①T2＝2πeq\r(\f(L2,g))②且L1－L2＝ΔL③联立①②③式得g＝eq\f(4π2ΔL,T12－T22)。〖答案〗(1)BC(2)eq\f(4π2ΔL,T12－T22)3.〖解析〗(1)单摆长等于摆线长加上摆球的半径，故摆长为l0＋eq\f(d,2)单摆完成n次全振动，即完成了n个周期，所以周期T＝eq\f(t,n)。(2)由单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))得g＝eq\f(4π2l,T2)①对于甲同学：由于T2l图像的斜率为k＝eq\f(4π2,g)，得g＝eq\f(4π2,k)又由于g＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l1＋\f(d,2))),T12)＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l2＋\f(d,2))),T22)＝eq\f(4π2Δl,T22－T12)＝eq\f(4π2,k)所以可知单摆摆长偏大还是偏小不影响图像的斜率k，因此摆长偏小不影响重力加速度的测量值，所以甲同学用图像法求得的重力加速度准确；②对于乙同学：根据单摆振动的周期公式计算重力加速度g＝eq\f(4π2l,T2)，若乙同学测摆长时，也忘记了测摆球的半径，使得摆长偏小，则他测得的重力加速度偏小。(3)计算出图像的斜率大约为k＝4.0，依据图像求出重力加速度为g＝9.86m/s2。〖答案〗(1)l0＋eq\f(d,2)eq\f(t,n)(2)①eq\f(4π2,k)准确②偏小(3)9.864.〖解析〗(1)①由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l－\f(d,2),g))得l＝eq\f(g,4π2)T2＋eq\f(d,2)，由数学关系得斜率k＝eq\f(g,4π2)，纵截距b＝eq\f(d,2)，因lT2图像的纵截距为正，则图像应为c。②由图像c的纵截距可得d＝2b＝2×0.6cm＝1.2cm，绳子松动导致摆长变长，但测量值偏小，由T＝2πeq\r(\f(l－\f(d,2),g))得g＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l－\f(d,2))),T2)，则重力加速度的测量值偏小。(2)根据简谐运动的图线知，单摆的周期T＝2.0s，根据T＝2πeq\r(\f(l＋\f(d,2),g))得T2＝eq\f(4π2,g)l＋eq\f(2π2d,g)，则k＝eq\f(4π2,g)＝4.04，解得g＝9.76m/s2。〖答案〗(1)c1.2偏小(2)2.09.762.5实验：用单摆测量重力加速度〖实验探究〗一、实验目的1．明确用单摆测量重力加速度的原理和方法。2．学会用单摆测量当地的重力加速度。3．知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。4．会用平均值法、图像法求解重力加速度。二、实验原理单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可以看成简谐运动。其周期为T＝2πeq\r(\f(l,g))，由此可得g＝eq\f(4π2l,T2)。据此，只要测出摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度值。三、实验器材铁架台及铁夹、金属小球(带有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺。四、实验步骤1．做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结。然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记。2．测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量出摆球的直径d，则单摆的摆长l＝l线＋eq\f(d,2)。3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过最低位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期T＝eq\f(t,N)。4．变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。五、数据处理1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g值，最后求出g的平均值。设计如下所示实验表格实验次数摆长l/m周期T/s重力加速度g/(m·s－2)重力加速度g的平均值/(m·s－2)1g＝eq\f(g1＋g2＋g3,3)232．图像法：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l，作出T2l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴。其斜率k＝eq\f(4π2,g)，由图像的斜率即可求出重力加速度g。六、误差分析1．单摆的振动不符合简谐运动的要求引起的系统误差(1)单摆不在同一竖直平面内振动，成为圆锥摆。(2)振幅过大，摆线偏离竖直方向的角度超过5°。2．测定摆长l时引起的误差(1)在未悬挂摆球前测定摆长或漏加摆球半径。(2)测摆长时摆线拉得过紧或以摆球的直径与摆线长之和作为摆长。(3)悬点未固定好，摆球摆动时出现松动，使实际的摆长不断变长。3．测定周期时引起的误差(1)开始计时和停止计时，秒表过早或过迟按下。(2)测定N次全振动的时间为t，次数N数错。(3)计算单摆的全振动次数时，未从摆球通过最低点位置时开始计时。七、注意事项1．摆线要选1m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数。2．测量摆长时要先悬挂好摆球后再测量，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细线会发生形变。3．摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响。4．摆角要小于5°，不要过大，因为摆角过大，单摆的振动不是简谐运动，公式T＝2πeq\r(\f(l,g))不适用。5．单摆要保证在同一个竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆。6．计时要从摆球经过平衡位置开始计时，不要从摆球到达最高点时开始计时。要准确记好摆动次数，不要多记或少记。〖典例精析〗例1一位同学用单摆做测量重力加速度的实验，他将摆球挂起后，进行了如下步骤(1)测摆长l：用米尺量出摆线的长度。(2)测周期T：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按秒表停止计时，读出这段时间t，算出单摆的周期T＝t/60。(3)将所测得的l和T代入单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))中，算出g，将它作为为实验的最后结果写入报告中去。上面一个步骤中，若有遗漏或错误的地方，请在下面的横线做相应的改正，若没有，就不用填写(不要求进行误差计算)(1)______________________________(2)______________________________(3)______________________________例2某同学利用单摆测定当地的重力加速度。(1)实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、秒表、游标卡尺。除此之外，还需要的器材有__________。A．长度约为1m的细线 B．长度约为30cm的细线C．直径约为2cm的钢球 D．直径约为2cm的木球E．最小刻度为1cm的直尺 F．最小刻度为1mm的直尺(2)该同学在测量单摆的周期时，他用秒表记下了单摆做50次全振动的时间，如图甲所示，秒表的读数为________s。(3)下表是该同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。组次123摆长l/cm80.0090.00100.0050次全振动时间t/s90.095.5100.5振动周期T/s1.801.91重力加速度g/(m·s－2)9.749.73请计算出第3组实验中的T＝______s，g＝______m/s2。(4)该同学经测量得到多组摆长l和对应的周期T，画出，lT2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图乙所示。则当地重力加速度的表达式g＝________。例3伽利略曾经提出和解决了这样一个问题：一根细绳悬挂在黑暗的城堡中，人们看不到它的上端，只能摸到它的下端。为了测出细绳的长度，在细绳的下端系一个金属球，使之在竖直平面内做小角度的摆动。主要实验步骤如下：①将一小球系于细绳的下端制成单摆，让单摆在竖直平面内做小角度摆动；②当小球通过平衡位置时启动秒表(记为第1次)，在小球第n1次通过平衡位置时止动秒表，读出秒表时间为t1；③将细绳截去一段，重复实验步骤①②，测出小球n2次通过平衡位置的时间为t2。回答下列问题：(1)要达到测出细绳长度的目的，首先要测量当地的重力加速度。测量重力加速度还需要测量的物理量是______(填序号字母)。A．小球的质量m B．细绳摆动的角度θC．截去的细绳长度Δl D．小球的直径d(2)测得的当地重力加速度g＝__________。(3)细绳截去一段前，细绳的长度L＝____________(当地重力加速度用g表示，小球的直径用d表示)。〖随堂演练〗1．在利用单摆测定重力加速度的实验中，某同学测出了多组摆长和运动周期，根据实验数据，作出T2l的关系图像如图所示。(1)为了减小测量误差，如下措施中正确的是________；(填字母)A．单摆的摆角应尽量大些B．摆线应尽量短些C．选体积较小、质量较大的摆球D．测量周期时，应取摆球在最高点时做为计时的起、终点位置(2)图像不过坐标原点，原因可能是________；(3)虽然实验中出现了疏漏，但根据图像仍可算出重力加速度，其值为________m/s2(结果保留三位有效数字)。2．某同学利用单摆测量重力加速度。(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________。A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约为1m的单摆。实验时，由于仅有量程为20cm、精度为1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL。用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________。3．(1)物理课外小组探究“用单摆测定重力加速度”实验，他们依照教材实验直接测量单摆摆线长l0、摆球直径d和单摆完成n次全振动的时间t，则该单摆的摆长为________，振动周期为________。(2)他们测出不同的摆长l所对应的周期T，在进行数据处理时：①甲同学以摆长l为横坐标，周期T的平方为纵坐标作出了T2l图像，若他测得的图像的斜率为k，则测得的重力加速度g＝________。若甲同学测摆长时，忘记测摆球的半径，则他用图像法求得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”)。②乙同学根据单摆振动的周期公式计算重力加速度，若乙同学测摆长时，也忘记了测摆球的半径，则他测得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”)。(3)某小组测量5种不同摆长下单摆的振动周期，以摆长l为横坐标、周期T的平方为纵坐标，作出T2l图像如图所示，利用此图像求出的重力加速度为________m/s2(保留三位有效数字)。4．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度的大小。(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。A．由于没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出lT2图像，如图乙所示。①实验得到的lT2图像是________；②小球的直径是________cm；B．在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值______。(填“偏大”“偏小”或“不变”)(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图丙所示，将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丁所示的vt图线。A．由图丁可知，该单摆的周期T＝________s；B．更换摆线长度l后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2l图线(l为摆线长)，并根据图线拟合得到方程T2＝4.04l＋0.024。由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2。(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁例1〖解析〗(1)摆长不等于摆线的长度，所以要用游标卡尺测出摆球直径d，摆长l等于摆线长与小球半径之和；(2)一个周期内两次通过最低点，按秒表开始计时，并记数为1，直到摆球第60次通过最低点时，所以共有29.5次全振动，所以T＝eq\f(t,29.5)；(3)不能通过单独一次的实验数据作为最终结果，g应多测几次，然后取平均值作为实验最后结果。〖答案〗(1)要用游标卡尺测出摆球直径d，摆长l等于摆线长与摆球半径之和(2)T＝eq\f(t,29.5)(3)g应测量多次，然后取平均值做实验结果例2〖解析〗(1)细线长度要远大于小球直径；小球需要体积小、质量大，所以选钢球；为了提高测量的精确度，选择毫米刻度尺。故选A、C、F。(2)秒表的读数为95.1s。(3)周期为T＝eq\f(t,n)＝eq\f(100.5,50)s＝2.01s，根据周期公式得g＝eq\f(4π2l,T2)，代入数据得g＝9.76m/s2。(4)根据周期公式得l＝eq\f(gT2,4π2)，所以图像的斜率为eq\f(lB－lA,TB2－TA2)＝eq\f(g,4π2)，解得g＝4π2eq\f(lB－lA,TB2－TA2)。〖答案〗(1)ACF(2)95.1(3)2.019.76(4)4π2eq\f(lB－lA,TB2－TA2)例3〖解析〗(2)根据公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，当小球通过平衡位置时启动秒表(记为第1次)，在小球第n1次通过平衡位置时停止秒表，读出秒表时间为t1，有eq\f(t1,\f(n1－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2),g))，将细绳截去一段，重复实验步骤①②，测出小球n2次通过平衡位置的时间为t2，有eq\f(t2,\f(n2－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2)－Δl,g))联立两式得g＝eq\f(π2Δl,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t1,n1－1)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,n2－1)))2)。(1)由此式可知，需要测量的物理量有Δl，故选C。(3)根据公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，细绳截去一段前，有eq\f(t1,\f(n1－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2),g))，细绳的长度L＝eq\f(gt12,π2(n1－1)2)－eq\f(d,2)。〖答案〗(1)C(2)eq\f(π2Δl,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t1,n1－1)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,n2－1)))2)(3)eq\f(gt12,π2(n1－1)2)－eq\f(d,2)〖随堂演练〗1.〖解析〗(1)单摆在摆角小于5°时的运动是简谐运动，所以单摆的摆角不能太大，故A错误；为了减小实验误差，摆线应适当长些，故B错误；为了减小空气阻力对实验的影响，摆线的长度应远大于摆球的直径，所以应选择质量大，体积小的实心小球作为摆球，故C正确；为了减小测量周期的误差，测量周期时，应取摆球通过最低点时为计时的起、终点位置，故D错误。故选C。(2)图像不过坐标原点，将图像向右平移1cm就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1cm，故可能是测摆长时，仅测了摆线长度而漏测了小球半径。(3)由单