人教A版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理 课时分层练习题及章末检测（含答案解析）

第六章计算原理

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理.............................................1

6.2排列与组合.....................................................................19

6.2.1-6.2.2排列与排列数....................................................19

6.2.3-6.2.4组合与组合数.....................................................27

6.3二项式定理....................................................................35

6.3.1二项式定理..............................................................35

6.3.2二项式系数的性质........................................................43

章末检测.........................................................................54

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

A基础练

一、选择题

1.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这

9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）

A.5种B.4种C.9种D.45种

【答案】C

【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4

个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择，

2.（2021•甘肃兰州市•高三）2019年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，

一列地铁有6节车厢，两人进入车厢的方法数共有（）

A.13种B.30种C.36种D.64种

【答案】C

【详解】每位同学都可以进入地铁中的任何一节车厢，每个人都有6种方法，所以两人进入车厢的

方法数共有6x6=36种方法.故选：C

3.（2021•全国高三专题练习）为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食、

3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积

极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）

A.48种B.36种C.24种D.12种

【答案】B

【详解】解：由题意可知，分三步完成：

第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；

第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；

第二步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，

根据分步计数原理，共有2x3x6=36不同的选取方法，故选：B

4.（2021•全国高二课时练习）某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规

定每人可以依次点击4次，每次都会来得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现

的顺序不同对应的奖次也不同•员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖•则他获得奖次的

不同情形种数为（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】C

【详解】根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红

包，则中第4次获得的红包有3种情况，

前三次获得的红包为其余的2种，有23-2=6种情况，

则他获得奖次的不同情形种数为3x6=18种；故选C.

5.（2021•全国高二课时练）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实

际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此，3可表示为“三”，26

可表示为“=_L"，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9数字表示的两

位数的个数为（）

__==^J_JL==

123456789

A.9B.13C.16D.18

【答案】C

【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,

3、3,3、7,7、7；数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中，每组可以表示2个

两位数，则可以表示2x7=14个两位数；

数字组合3、3,7、7,每组可以表示1个两位数，则可以表示2x1=2个两位数；

则一共可以表示14+2=16个两位数.故选:C

6.（多选题）（2021.全国高二课时练）某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政

治这三科，且生物在8层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课

各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（）

第1节第2节第3节第4节

地理1班化学A层3班地理2班化学4层4班

生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史8层1班

物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班

物理B层2班生物B层1班物理8层1班物理A层4班

政治1班物理A层3班政治2班政治3班

A.此人有4种选课方式B.此人有5种选课方式

C.自习不可能安排在第2节D.自习可安排在4节课中的任一节

【答案】BD

【详解】由于生物在B层，只有第2,3节有，故分两类：

若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，

其他两节政治、自习任意选，

故有2x2=4种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；

若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有I种.

根据分类加法计数原理可得选课方式有4+1=5种.

综上，自习可安排在4节课中的任一节.故选：BD.

二、填空题

7.（2021•全国高二课时练）如图，在由电键组A与8组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中

的一个电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有种.

【答案】6

【详解】要完成的“一件事”是“使灯泡发光“，只有先合上A组中2个电键中的任意一个，再合上B

组中3个电键中的任意一个时，接通电源，灯泡才能发光.因此要完成这件事，需要分步，只有各

个步骤都完成才能使灯泡发光，所以接通电源使灯泡发光的方法有2x3=6种.

7.（2021•全国高二课时练习）已知某体育场有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的

种数为_.

【答案】12

【详解】根据题意，某体育场有4个门，从一个门进，有4种走法，另一个门出，有3种走法，则

有4x3=12种不同的走法.

8.5个人参加100m、200机、400团跑的决赛，同一个项目中，并列冠军的情况不发生，则冠军

分配的不同情况有种.

【答案】125

【解析】由题意可知，每个冠军都有5种可能，由分步乘法计数原理可知，冠军分配的不同情况

5、125种.

10.（2021•福建原门一中高二）2020年初，湖北面临侯务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，原

门人民心系湖北，志愿者纷纷驰援，若将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到4,8两家医院（每

人去一家，每家医院至少安排1人），且甲医生不安排在A医院，则共有_________种分配方案.

【答案】7

【解析】甲只能安排在B医院，乙、丙、丁3名医生共有2x2x2=8种安排方法，其中乙、丙、丁

3名医生都安排在8医院不合题意，所以符合题意的分配方案共有8-1=7种.

三、解答题

11.（2021•全国高二课时练习）有红、黄、蓝低各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向

排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？

【详解】每次升1面旗可组成3种不同的信号：每次升2面旗可组成3x3=9种不同的信号：每次

升3面旗可组成3x3x3=27种不同的信号，根据分类加法计数原理得，共可组成3+9+27=39种

不同的信号.

12.有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.

（1）若只需选1人参加，则有多少种不同的选法？

（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？

（3）若需要1名老师、1名学生参加，则有多少种不同的选法？

【解析】（1）需一人参加，有三类：第一类选老师，有3种不同的选法；第二类选男生，有8种不

同的选法；第三类选女生，有5种不同的选法.共有3+8+5=16种不同的选法；

（2）需老师、男同学、女同学各一人，则分3步，第一步选老师，有.3种不同的选法；第二步选男

生，有8种不同的选法；第三步选女生，有5种不同的选法.共有3x8x5=120种不同的选法；

（3）第一步选老师有3种不同的选法，第二步选学生有8+5=13种不同的选法，共仃3x13=39种

不同的选法.

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）-

B提高练

一、选择题

1.（2021・吉林扶余市第一中学高二）若准备用1个字符给一本书编号，其中可用字符为字母A，B,

C,也可用数字字符1,2,3,4,5,则不同的编号有（）

A.2种B.5种C.8种D.15种

【答案】C

【详解】由题意这本书的编号可能是字母4，B,C,有3种，可能是数字：1,2,3,4,5,有效

种，共有3+5=8种.故选：C.

2.（2021•全国高二课时练）设M、N是两个非空集合，定义M⑥N={（a,若？={0,

1,2）,Q={\,2},则PgQ中元素的个数是（）

A.4B.9C.6D.3

【答案】C

【详解】因为尸={0,1,2},2={1,2},所以。有3种选法，》有2种取法，

根据乘法原理，可得中元素的个数是：3x2=6（个）.故选C.

3.（2021•陕西西安市高二期末）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同

的分配方案有（）

A.12种B.9种C.8种D.6种

【答案】C

【详解】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的分配

方案总数为23=8种.故选：C

4.（2021•全国高二课时练）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把

这样的三位数定义为“单重数例如：232,114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22

个“单重数”是（）

A.166B.171C.181D.188

【答案】B

【详解】由题意可得：不超过200的数，

两个数字一样同为。时，有100,200有2个，

两个数字一样同为1时，有110，101,112,121,113,131,一直到191,119,共18个，

两个数字一样同为2时，有122,有1个

同理，两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个，

综上，不超过200的“单重数”共有2+18+8=28,

其中最大的是200,较小的依次为199,191,188,181,177,171,

故第22个“单重数”为171,故选：B.

5.（多选题）（2021•全国高二课时练）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是

（）

A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种

B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有4?种

C.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种

D.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33种

【答案】AC

【详解】对于A选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3

种报法，根据分步计数原理共有34种结果，A正确，B错误；对于C选项，每个社团限报一个人,

则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理共

有4x3x2=24种结果，C正确，D错误.

6.（多选题）（2021•辽宁本溪市•高二月考）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，

已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，8,C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝

Q,E，尸；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,X，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击

到树枝8,D，H;（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝/,C,E,下列结论正确的是（）

A,最高处的树枝为G、/当中的一个

B.最低处的树枝一定是尸

C.这九棵树枝从高到低不同的顺序共有33种

D.这九棵树枝从高到低不同的顺序共有32种

【答案】AC

【详解】解：由题判断出部分树枝由高到低的顺序为GA3CM,还剩下O，H，I，且树枝/比

。高，树枝。在树枝9，E之间，树枝〃比。低，故A选项正确;

先看树枝/，有4种可能，若/在8,C之间，

则。有3种可能：①。在B，/之间，〃有5种可能；

②。在/,C之间，〃有4种可能；

③。在C,E之间，”有3种可能，

此时树枝的高低顺序有5+4+3=12（种）。

若/不在8，C之间，则/有3种可能，。有2中可能，

若。在8，C之间，则”有3种可能，

若0在C,七之间，则”有三种可能，

此时树枝的高低顺序有3X（4+3）=21（种）可能，

故这九根树枝从高到低不同的顺序共有12+21=33种，故C选项正确.故选：AC.

二、填空题

7.（2021•全国高二课时练）某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、

丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为

【答案】54

【详解】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可

选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为3x2x3x3=54.

8.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗'‘儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学

中有回文数，如343,12521等.两位数的回文数有11,22,3,……，99共9个，则在三位数的

回文数中偶数的个数是.

【答案】40

【详解】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2,4,6,8.如果末（首）位

为2,中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8,

中间一位数均有10种可能,所以有4x10=40个.

9.（2020•福建漳州高二月考）高三年段有四个老师分别为这四位老师要去监考四个班级

每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求。老师不能监考A班,

〃老师不能监考B班，。老师不能监考C班，d老师不能监考。班，则不同的监考方式有一种.

【答案】9

【解析】当。老师监考B班时，剩下的三位老师有3种情况，同理当。老师监考C班时，也有3种，

当。老师监考O班时，也有3种，共9种，

10.（2021•全国高二课时练习）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的

螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不熊连绥固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种

数是.

【答案】60

【解析】根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，

若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以

总共有10x6=60种方法，故答案是60.

三、解答题

11.已知集合A/={-3,-2,-1,0,1,2},若mb,cSM,则：

（1）丁=以2+法+。可以表示多少个不同的二次函数？

（2）丫=以2+法+。可以表示多少个图象开口向上的二次函数？

【解析】（1）根据y=o?+法+。，表示二次函数，由此可判断〃的取值情况，再分别判断Ac

的取值情况，然后利用分步乘法计数原理求解.

（2）根据二次函数的性质，开口向上，则。〉0,由此可判断。的取值情况，再分别判断江。的取

值情况，然后利用分步乘法计数原理求解.

详解：

（1）因为a不能取0,所以有5种取法，方有6种取法，c有6种取法，

所以y=a?+加+。可以表示5x6x6=180个不同的二次函数.

（2）y=依2+辰+。的图象开口向上时，a不能取小于等于0的数，所以有2种取法，b有6种取

法，c有6种取法，

所以y=ar2+灰可以表示2x6x6=72个图象开口向上的二次函数

12.现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人，高三年级9

人.

⑴选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法?

⑵每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？

⑶选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法?

【解析】（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，

若选出的是高一学生，有13种情况，

若选出的是高二学生，有12种情况，

若选出的是高三学生，有9种情况，

由分类计数原理可得，共有12+13+9=34种选法.

（2）根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；

从高二学生中选出1人，有12种情况；

从高三学生中选出1人，有9种情况；

由分步计数原理，可得共有12x13x9=1404种选法.

（3）根据题意，分三种情况讨论：

若选出的是高一、高二学生，有12x13=156种情况,

若选出的是高一、高三学生，有13x9=117种情况，

若选出的是高二、高三学生，有12x9=108种情况，

由分类计数原理可得，共有156+117+108=381种选法.

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2）

A基础练

一、选择题

1.求是中学的教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，某同学从楼上到五楼可能的走法有（）

A.10种B.16种C.25种D.32种

【答案】B

【详解】走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，

一共2'=16种.

2.（2021•北京朝阳区高二期末）一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到

结束的路线称为该程序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路

径的条数是（）

A.6B.14C.49D.84

【答案】C

【详解】由分类加法计数原理.，子模块1或子模块2或于模块3的子路径共有2十2十3=7条；

子模块4或子模块5中的子路径共有4+3=7条，由分步乘法计数原理，整个模块的不同执行路径

共有7x7=49条，故选：C

3.（2021.贵州高三开学考试）如图所示，A地到七地要铺设一条煤气管道，其中需经过三级中间站,

两点之间的连线上的数字表示距离.则从A地到七地铺设煤气管道最短距离是（）

A.19B.21C.22D.23

【答案】A

【详解】对各个路线进行计算可得，rflA到当到C到〃到E，距离共19为最短距离.

4.（2021•全国高三专题练习）天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲、

乙、丙、丁、戊共5名同学进行决赛,决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很

遗憾，你和乙都未拿到冠军对乙说‘你当然不是最差的“，试从这个回答中分析这5人的名次排列

顺序可能出现的种类有（）

A.54种B.60种C.72种D.96种

【答案】A

【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再

排甲，也有3种情况，余下3人有用=3x2x1=6种情况，利用分步相乘i-数原理知有3x3x6=54

种情况，故选：A.

5.（2021・湖北黄石市黄石二中高二期末）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连

线中构成异面直线的对数为（）

A.18B.30C.36D.54

【答案】C

【详解】解：如图，分以下几类：

棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：3x2=6对；

棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：3x2=6对；

底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：6x2=12对；

底面边与底面边之间所构成的异面直线有：3x2=6对；

6乂2

侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：丁二6对；

2

所以共有6+6+12+6+6=36对.故选：C.

6.（多选题）（2021.江苏苏州中学高二月考）现安排富二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁

四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确

的是（）

A.所有可能的方法有夕种

B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种

C.若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种

D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

【答案】BCD

【详解】所有可能的方法有种，A错误.对于B,分二种情况：第一种；若有1名同学去工厂甲,

则去工厂甲的同学情况为3种，另外两名同学的安排方法有3x3=9种，此种情况共有3x9=27种,

第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有3种，另外一名同学的排法有3种，此种情况

共有3x3=9种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有27+9+1=37种女排

方法，B正确.对于C,若A必去甲工厂，则B,C两名同学各有4种安排，共有4x4=16种安排，

C正确.对于D,若三名同学所选工厂各不同，贝IJ共有4x3x2=24种安排，D正确.

二、填空题

7.3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有种.

【答案】81

【详解】因为3科老师都布置了作业，在同一时刻每个学生做作业的情况有3种可能，

所以4名学生都做作业的可能情况3x3x3x3=81种.

8.（2021•全国高二课时练）假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如图所示.该

市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（4月24日〜4月29日）内选择一天出游，甲只选择空气质量

为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人

出游的不同方法数为.

未来空气质量预报

明天后天In]II周一周二周三

4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日

优优优优良良

【答案】85

【详解】若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数N1=5乂5=25；

若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数7V2=3X4X5=6O.

故这三人出游的不同方法数N=M+N2=85.

9.（2021•广东深圳外国语学校高二期末）回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可

顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有

一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人在数学中也有这样一类顺

读与倒读都是同一个数的自然数,称之为:“回文数”.如44,585,2662等，那么用数字1,2,3,4,

5,6可以组成4位“回文数”的个数为.

【答案】36

【详解】根据题意，分2种情况讨论：

®4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；

②4位“回文数”中有2个不同的数字，有6x5=30种情况，即此时有30个4位“回文数”；

则一共66+30=36个4位、、回文数”.

10.(2021•湖北高三期中)5400的正约数有_____个

【答案】48

【详解】5400=23X33X52»5400的正约数一定是由2的基与3的幕和5的哥相乘的结果，

所以正约数个数为(3+l)x(3+l)x(2+1)=48.

三、解答题

11.现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人，高三年级9

人.

⑴选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？

⑵每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？

⑶选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？

【详解】(1)根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，

若选出的是高一学生，有13种情况，

若选出的是高二学生，有12种情况，

若选出的是高三学生，有9种情况，

由分类计数原理可得，共有12+13+9=34种选法.

(2)根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；

从高二学生中选出1人，有12种情况；

从高三学生中选山1人，有9种情况；

由分步计数原理，可得共有12x13x9=1404种选法.

(3)根据题意，分三种情况讨论：

若选出的是高一、高二学生，有12x13=156种情况，

若选出的是高一、高三学生，有13x9=117种情况，

若选出的是高二、高三学生，有12x9=108种情况，

由分类计数原理可得，共有156+117+108=381种选法.

12.(2021•四川省眉山高二期末)数学上的“四色问题”，是指“任何一张地图只用四种颜色就能使

具有公共边界的国家着上不同的颜色。“，现有五种颜色供选择，涂色我国西部五省，要求每省涂一

色，相邻各省不同色，有多少种涂色方法.

【详解】对于新疆有5种涂色的方法，

对于青海有4种涂色方法，

对于西藏有3种涂色方法，

对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；

若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法;

根据分步、分类计数原理，则共有5x4x3x（2x2+1x3）=420种方法.

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2）-

B提高练

一、选择题

1.如图所示,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有（）个.

【答案】A

【详解】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：

第一类，有一•条公共边的三角形共有8x4=32（个）；

第二类，有两条公共边的三角形共有8（个）.由分类加法计数原理知，共有32+8=40（个）.

2.（2021•山东荷泽高二期末）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工/

可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）

A.16种B.18种C.37种D.48种

【答案】C

【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4x4x4=64种情况,

其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有

3x3x3=27种方案；则符合条件的有64-27=37种.

3.甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是O、O、2、1S,为遵守当地某月5F1至9日，

共5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），

五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用

车方案种数为（）

A.5B.24C.32D.64

【答案】D

【详解】5日至9日，分别为5,6,7,89,有3天奇数日，2天偶数日，

第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23=8种，

第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其它车，有2x2=4种，

第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有2?=4种，共计4+4=8,

根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有8x8=64.故选D.

4.（2021•张家口市宣化第一中学高三月考）用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四

【答案】A

【详解】5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为炉，有公共边的三角形为同色，

先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为5x43,所

33

以所求概率为尸==5X-4=二4.

5.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、

蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作

为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位同学对

选取的礼物都满意，则选法有（）

A.50种B.60种

c.90种D.180种

【答案】A

【详解】①若甲同学选择牛，则乙同学有2种选择，丙同学有10种选择，选法种数为2x10=20,

②若甲同学选择马，则乙同学有3种选择，丙同学有10种选择，选法种数为3x10=30,

综上，共有选法为20+30=50种.

6.（2021•山东荷泽高二期末）己知△ABC三边。，b,c的长都是整数，a<b<c,如果力=25,

则符合条件的三角形的个数是（）

A.124B.225C.300D.325

【答案】D

【详解】根据题意，。可取的值为1、2、3、…25,

根据三角形的三边关系，有25<cv25+a,

当a=l时，有25WCV26,则。=25,有I种情况，

当。=2时，有25WCV27,则c=25、26,有2种情况，

当。=3时，有25WCV28,则。=25、26、27,有3种情况，

当。=4时，有25WCV29,则。=25、26、27、28,有4种情况,

当a=25时，有有25&CV50,则。=25、26、27、28...49,有25种情况，

则符合条件的三角形共有1+2+3+4+…+25=利+25）=325.

2

二、填空题

7.（2021•三亚华侨学校高二开学考试）某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，

学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年

级，有种不同的选法.

【答案】146

【详解】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级，

2个班为高一和高二各一个班有6x7=42,

2个班为高二和高三各一个班有7x8=56,

2个班为高三和高一各一个班有8x6=48,

所以不同的选法共有42+56+48=146.

8.现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中

至少取一张，共可组成不同的币值种数是______种.

【答案】1535

【详解】除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一

张和取二张3种情况，再减去这"人民币全不取的1种情况，所以共有29x3-1=1535种.

9.（2021•浙江温州市浙鳌高级中学高二期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算

经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂

一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（）

【答案】1560

【详解】解：分4步进行分析：

①，对于区域A,有6种颜色可选；

②，对于区域8,与A区域相邻，有5种颜色可选；

③，对于区域C,与A、8区域相邻，有4种颜色可选；

④，对于区域E,若。与B颜色相同，E区域有4种颜色可选，

若。与8颜色不相同，D区域有3种颜色可选，E区域有3种颜色可选：

则区域E有4+3x3=13种选择，

则不同的涂色方案有6x5x4x13=1560种.

10.（2021•山东前泽高二期末）从集合｛1,2,3,4,•••,15｝中任意选择三个不同的数，使得这三个数组

成等差数列，这样的等差数列有个

【答案】98

【详解】当公差为1时，数列可以是：1,2,3,2,3,4,3,4,5,……13,14,15,共13种情况.

当公差为2时,数列可以是：1,3,5,2,4,6,3,5,7..........11,13,15,共公种情况.

当公差为3时,数列可以是：1,4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9种情况.

当公差为4时，数列可以是：1,5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7种情况.

当公差为5时，数列可以是：1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5种情况.

当公差为6时，数列可以是：1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3种情况.

当公差为7时，数列可以是：1,8,15,共1种情况.

总的情况是13+11+9+7+5+3+1=49.

又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，所以这样的等差数处共有98个.

三、解答题

11.（2021•全国高三专题练）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行:，决定按照乘客经过地铁站的数

量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：

乘坐站数0V烂33VH66<JT<9

票价（元）234

现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各

自在每个站下地铁的可能性是相同的.

（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？

（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的概率.

【详解】

（1）小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站

数有1,2,3三种选择，付费3元的乘坐站数有4,5,6三种选择，所以小华、小李下地铁的方案

共有2x3x3=18种;

（2）小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人句费4元或两人都付费3元,

付费4元的乘坐站数也有7,8,9三种选择，因此小华、小李下地铁的方案共有2x3x3+3x3=27

种；其中小华比小李先下地铁的方案共有3x3+3=12种；因此小华比小李先下地铁的概率为

12_4

27~9

12.用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面两个小题.

（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；

（2）若直线方程依+0），=。中的。泊可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表

示的不同直线共有多少条？

【详解】（1）当末位数字是0时，百位数字不是3,第一步，放百位有4种方法,

第二步，放剩余的:•个位置有4x3x2=24种，则共有4x24=96个；

当末位数字是5,首位数字是3时，共有1x4x3x2x1=24个；

当水位数字是5时，首位数字是1或2或4时，共有3x3x3x2x1=54个;

故共有96+24+54=174个.

（2）a/中有一个取0时，有2条；〃都不取0时，有5x4=20条：

a=l,b=2与a=2,b=4重复；a=2,Z?=1,与。=4,6=2重复.

故共有2+20—2=20条.

6.2排列与组合

6.2.1-6.2.2排列与排列数

A基础练

一、选择题

1.下列问题中属于排列问题的是（）.

A.从10个人中选出2人去劳动

B.从10个人中选出2人去参加数学竞赛

C.从班级内30名男生中选出5人组成一个篮球队

D.从数字5、6、7、8中任取2个不同的数做log”6中的底数与直数

【答案】D

【详解】A.从10个人中选出2人去劳动，与顺序无关，故错误；

B.从10个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；

C.从班级内30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，故错误；

D.从数字5、6、7、8中任取2个不同的数做log’b中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与

顺序有关，故正确；故选：D

2.（2021•江苏宿迁市宿迁中学高二月考）89x90x91x……xlOO可表示为（）

A.喘B.%C.碣D.戒

【答案】C

【详解】A联二100x99xLx(100-12+l)=100x99xLx89.

3.已知用x=100A；,则工=().

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【详解】At=100A；=>2x-(2x-l)(2x-2)=100x(x-l),则

2x(2x-l)-2(x-l)=100x(x-l),

约分得：2x-1=25,解得：x=13,经检验满足题意.

4.(2021.全国高二课时练)某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》

和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进

酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六

场开场诗词的排法有()

A.72种B.48种C.36种D.24种

【答案】C

【详解】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，

共有8=6种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，

共有6=6种排法，则后六场开场诗词的排法有6x6=36种，故选：C.

5.(多选题)(2021•山东泰安一中高二期末)5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不

同的排法种数可以是()

A.B.60C.72D.3用

【答案】AC

【详解】先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共A；=3x2x"6种不同的排法，再将甲、乙两人

从产生的4个空中选2个插入共用=12种不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人

不相邻，那么不同的排